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Chapitre 1
Groupes
1.1
Définitions - Premières propriétés
Définition : On appelle groupe le couple formé par un ensemble G et une loi
de composition interne ∗ sur G telle que
1. ∗ est associative : ∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
2. ∗ admet un élément neutre e : ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x.
3. tout élément x de G admet un symétrique x0 pour la loi ∗ : ∀x ∈ G, ∃x0 ∈
G, x ∗ x0 = x0 ∗ x = e.
Par loi de composition interne, on entend une application de G × G dans G.
On dira que le groupe (G, ∗) est commutatif (ou abélien) si la loi ∗ est commutative :
∀x, x0 ∈ G, x ∗ x0 = x0 ∗ x.
On dira que le groupe est fini si l’ensemble G a un nombre fini d’éléments.
Lorsque la loi est commutative, il pourra être commode de noter le groupe
additivement en notant + la loi de composition interne, le symétrique de x
sera alors noté −x et appelé opposé de x. On pourra aussi utiliser la notation
multiplicative qui consiste à noter . la loi de composition et x−1 le symétrique
alors appelé inverse.
Remarques : L’élément neutre est unique.
Le symétrique d’un élément x de G est unique.
Preuve : Supposons que e et e0 soient deux éléments neutres, alors e∗e0 = e0 = e.
Si x a deux inverses y et z alors x ∗ y = e. En multipliant à droite par z on
obtient
y = (z ∗ x) ∗ y = z ∗ (x ∗ y) = z ∗ e = z.
♦
Règles de calcul dans un groupe :
– Comme la loi est associative, on peut noter x1 ∗· · ·∗xn = x1 ∗(x2 ∗· · ·∗xn−1 )
(pas besoin de parenthèses).
1
2
CHAPITRE 1. GROUPES
– Pour n ∈ N∗ , on notera xn l’élément x ∗ · · · ∗ x n-fois.
– On pose x0 = e et x−n le symétrique de xn .
– On a ∀x, y ∈ G, (xy)0 = y 0 x0 .
Exemples : (Z, +), (R, +), (R∗ , .)
(Q, +), (Q∗ , .), (C, +), (C∗ , .)
(Z/nZ, +).
1.2
Exemple fondamental : Sn
Théorème et définition : Soit E l’ensemble à n éléments E = {1, 2, · · · , n}. On
appelle groupe symétrique d’ordre n et on note Sn l’ensemble des bijections
de E dans E muni de la loi de composition interne ◦.
Preuve : L’élément Id qui à k ∈ E associe k est un élément neutre pour la loi de
composition ◦. Celle-ci est associative et tout élément de Sn a un inverse pour
◦, sa bijection réciproque. ♦
On notera
σ=
1
2
···
n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
la permutation k 7→ σ(k).
On rappelle que Card Sn = n!.
On appelle transpositions les éléments Tij de Sn tels que Tij (k) = k si k ∈
/
{i, j}, Tij (i) = j, Tij (j) = i.
On appelle cycle de longueur p, tout élément σ de Sn tel qu’il existe i1 , · · · , ip
dans E tels que σ(ik ) = ik+1 pour 1 ≤ k < p, σ(ip ) = i1 et σ(j) = j si
j∈
/ {i1 , · · · , ip }. L’ensemble {i1 , · · · , ip } est appelé support du cycle.
1.3
1.3.1
Sous-groupes
Définition
Définition : Une partie H de G est un sous-groupe de (G, ∗) si la loi ∗ de G
confère à H une structure de groupe.
Théorème : Soit H une partie de G, H est un sous-groupe de G si et seulement
si H est non vide et
∀x, y ∈ H, xy 0 ∈ H (1)
si et seulement si H est non vide et
∀x, y ∈ H, x0 ∈ H et xy 0 ∈ H. (2)
Preuve : Les propriétés (1) et (2) sont nécessaires pour que H soit un sousgroupe.
Montrons maintenant qu’elles sont suffisantes. Pour cela, montrons que (1) et
(2) sont équivalentes pour une partie H non vide, puis que si H est non vide et
vérifie (2), alors H est un sous-groupe.
On voit tout d’abord que (2) implique (1). Supposons maintenant (1). Soit x
1.3. SOUS-GROUPES
3
un élément de H, alors x ∗ x0 = e ∈ H, donc e ∈ H. On applique alors (1) à y
et x = e et on obtient que pour tout y ∈ H, y 0 ∈ H. Puis on applique (1) à y 0
et x et on obtient que x ∗ (y 0 )0 = x ∗ y ∈ H. On a donc la propriété (2).
Soit maintenant H une partie non vide de G vérifiant (2). La loi * est alors bien
une loi de composition interne sur H (la composé de deux éléments de H reste
dans H). Elle est associative sur H puisqu’elle l’était sur G, Tout élément x a
un inverse x0 dans H et ∗ a un élément neutre puisqu’il existe x ∈ H tel que
x0 ∈ H et x ∗ x0 = e ∈ H.♦
On remarque que l’élément neutre de G doit être dans H car l’élément neutre
de G va aussi être celui de H.
Exemple fondamental : Les sous-groupes de (Z, +) sont de la forme aZ our
a ∈ N.
Preuve : On remarque tout d’abord que aZ est un sous-groupe de (Z, +). Soit
H un sous-groupe de (Z, +), l’ensemble de ses éléments strictement positifs
admettent un minimum que l’on va noter a. C’est un élément de H, donc aZ ⊂ H
(car H est un sous-groupe). Par ailleurs, si y ∈ H, la division euclidienne de y
par a donne y = aq + r avec 0 ≥ r < a. On remarque alors que si r 6= 0, on
aurait un élément r = y − qa de H strictement positif et strictement plus petit
que a ce qui est impossible donc r = 0 et tout élément de H est un multiple de
a, H = aZ.♦
Autres exemples : 1- L’ensemble U = {z ∈ C, |z| = 1} des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de (C∗ , .).
2- L’ensemble Un = {z ∈ C, z n = 1} des racines n-ièmes de 1 est un sous
groupe de U et donc de (C∗, .).
3- Le centre d’un groupe défini par Z(G) = {x ∈ G, ∀y ∈ G, xy = yx} est un
sous groupe de G.
Théorème : Soit (Hi ) une famille de sous-groupes d’un groupe G, ∩ Hi est
i∈I
un sous-groupe de H
Preuve : Il suffit de vérifier les propriétés.♦
1.3.2
Sous-groupe engendré par une partie non-vide de G
Théorème et Définition : Soit (G, ∗) un groupe et S une partie de G, il existe
un plus petit sous-groupe de G contenant S appelé sous-groupe engendré par S
et noté < S >, c’est l’intersection de la famille des sous-groupes contenant S.
< S > est l’ensemble des éléments y de G qui s’écrivent y = x1 ∗ · · · ∗ xn pour
un certain n ∈ N avec pour tout i ∈ N, ou bien xi ∈ S, ou bien x0i ∈ S.
Preuve : L’ensemble des sous-groupes contenant S est non vide car il contient
G. Par ailleurs l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant S est un
sous-groupe comme intersection de sous-groupes et c’est un élément minimal
pour l’inclusion par construction.
4
CHAPITRE 1. GROUPES
On considère alors l’ensemble
H = {y ∈ G, ∃n ∈ N, y = x1 ∗ · · · ∗ xn , xj ∈ S ou x−1
j ∈ S}.
Cet ensemble est contenu dans < S >. Par ailleurs, c’est un sous-groupe de G,
il contient donc < S >. On en déduit < S >= H.♦
On appelle groupe monogène un groupe engendré par un singleton. On appelle
groupe cyclique, un groupe monogène et fini.
Le groupe (Z, +) est monogène, le groupe (Z/nZ, +) est cyclique.
On dira qu’un élément x ∈ G est d’ordre fini si le sous-groupe engendré par {x}
est cyclique.
1.4
1.4.1
Morphismes de groupes
Définition – premières propriétés
Définition Soit (G, ∗) et (G0 , .) deux groupes et f une application de G dans
G0 . On dira que f est un morphisme de groupe si
∀x, y ∈ G, f (x ∗ y) = f (x).f (y).
(2)
Propriétés 1- f (e) = e0
2- f (x−1 ) = f (x0 )−1
3- ∀n ∈ N, ∀x ∈ G, f (xn ) = (f (x))n .
Preuve : 1- Appliquons (2) à x = y = e, on a alors f (e) = f (e)2 . L’élément
f (e) de G0 a un inverse f (e)−1 et en multipliant à gauche l’égalité pbtenue par
f (e)−1 , on obtient
e0 = f (e)−1 .f (e) = f (e)−1 . (f (e).f (e)) = f (e)−1 .f (e) .f (e) = e0 .f (e) = f (e),
où l’on a utilisé l’associativité et les propriétés de l’inverse et de l’élément neutre.
2- On applique (2) à x et x−1 et on obtient
e0 = f (e) = f (x ∗ x−1 ) = f (x).f (x−1 ).
L’élément f (x) de G0 a un inverse f (x)−1 et en composant à gauche l’égalité
ci-dessus par f (x)−1 , on obtient f (x−1 ) = f (x)−1 .
3- Cette dernière propriété se montre par récurrence sur N.♦
Théorème : Soit f un morphisme du groupe (G, ∗) dans le groupe (G0 , .).
1. Si H est un sous-groupe de G, f (H) = {y ∈ G0 , ∃x ∈ H, f (x) = y} est
un sous-groupe de G0 .
2. Si H 0 est un sous-groupe de G, f −1 (H 0 ) = {x ∈ H, f (x) ∈ H 0 } est un
sous-groupe de H.
3. f est surjectif si et seulement si f (G) = G0 .
4. f est injective si et seulement si f −1 ({e0 }) = {e}.
5. La composée de deux morphismes de groupe est un morphisme de groupe.
1.4. MORPHISMES DE GROUPES
5
Définition : On appelle Noyau de f et on note Ker f le sous-groupe de G,
Ker f = f −1 ({e0 }) = {x ∈ H, f (x) = e0 }.
On a alors, f injective si et seulement si Ker f = {e}.
Preuve : 1- Soit H un sous-groupe de G, alors e ∈ H et e0 = f (e) ∈ f (H).
Donc f (H) est non-vide. Soit maintenant y, z ∈ f (H), il existe x, u ∈ H tels
que y = f (x), z = f (u). On a alors
y.z −1 = f (x).f (u)−1 = f (x).f (u−1 ) = f (x ∗ u−1 ).
Comme H est un sous-groupe de G, x ∗ u−1 ∈ H et donc y.z −1 est l’image
d’un élément de H et donc dans f (H). f (H) vérifie donc bien les propriétés de
sous-groupe.
2- Soit H 0 un sous-groupe de G0 , alors f (e) = e0 ∈ H 0 donc e ∈ f −1 (H 0 ). Soit
maintenant x, u ∈ f −1 (H 0 ), on a donc f (x) ∈ H 0 et f (u) ∈ H 0 . On en déduit
que f (x ∗ u−1 ) = f (x).f (u)−1 ∈ H 0 donc x ∗ u−1 ∈ f −1 (H 0 ). f −1 (H 0 ) vérifie
donc les propriétés de sous-groupe.
3- C’est la définition de la surjectivité.
4- Si f est injective, lélément e0 de G0 a au plus un antécédant. Comme on sait
f (e) = e0 on en déduit qu’il en a exactement un. Réciproquement, supposons
Ker f = {e0 } et considérons y, z ∈ G0 tels que f (y) = f (z). Alors on a f (y ∗
z −1 ) = f (y).f (z)−1 = e0 . Donc y ∗ z −1 = e ce qui donne en composant à droite
par z, y = z.
5- Soit f un morphisme de (G1 , ∗) dans (G2 , .) et g un morphisme de (G2 , .)
dans G3 , ×). Alors g ◦ f est une application de G1 dans G3 telle que pour tout
x, y ∈ G1 ,
g◦f (x∗y) = g (f (x ∗ y)) = g (f (x).f (y)) = g (f (x))×g (f (y)) = g◦f (x)×g◦f (y).
♦
Exemples : 1- Soit H un sous-groupe de G, l’application
i:
H→G
x 7→ x
est un morphisme de groupe injectif appelé injection canonique de H dans
G.
2- L’application déterminant du groupe des matrices 2 × 2 inversibles dans le
groupe R∗ muni de la multiplication qui à une matrice associe son déterminant
est un morphisme de groupe de noyau les matrices de déterminant 1.
1.4.2
Isomorphismes
Définition Soit f un morphisme du groupe G dans le groupe G0 , on dit que f est
un isomorphisme si f est une bijection de G dans G0 ; sa bijection réciproque
est alors elle-aussi un isomorphisme. On dit alors que les groupes G et G0 sont
isomorphes (il existe un isomorphisme de G dans G0 ).
6
CHAPITRE 1. GROUPES
Si f est un morphisme bijectif de G dans lui-même, on dit que f est un automorphisme.
Proposition L’ensemble Aut(G) des automorphismes de G muni de la loi ◦ de
composition interne est un groupe.
Preuve : La loi ◦ est bien une loi de composition interne de Aut(G) car la composée de deux bijections est une bijection et la composée de deux morphismes
est un morphisme. De plus c’est une loi associative, admettant comme élément
neutre l’identité. Tout élément de Aut(G) est alors inversible, son inverse étant
sa bijection réciproque.♦
Exemples 1- Soit a ∈ G, l’application
σa :
G→G
x 7→ a ∗ x ∗ a−1
est un automorphisme de G dans G appelé automorphisme intérieur de G.
2- L’application
G → Aut(G)
σ:
a 7→ σa
est un morphisme de G dans Aut(G) de noyau Z(G) = {a ∈ G, ∀x ∈ G, a∗x =
x ∗ a}.
3- Soit f un homomorphisme injectif d’un groupe G dans un groupe G0 , alors
l’application f˜
G → f (G)
f˜ :
x 7→ f (x)
est un isomorphisme de groupe appelé isomorphisme induit par f .
Preuve du 2− : Regardons τa ◦ τb pour a, b ∈ G. On a
∀x ∈ G, τa ◦ τb (x) = a ∗ τb (x) ∗ a−1 = a ∗ b ∗ x ∗ b−1 ∗ a−1
= (a ∗ b) ∗ x ∗ (a ∗ b)−1 = τa∗b (x).
De plus, si τa = Id, on a pour tout x de G, a ∗ x ∗ a−1 = x ce qui équivaut à
a ∗ x = x ∗ a. Donc a ∈ Z(G).♦
Proposition : Soit E un ensemble fini de cardinal n et SE l’ensemble des
bijections de E dans E, alors (SE , ◦) est isomorphe au groupe Sn .
Preuve : Comme E est de cardinal n, il existe une bijection σ entre E et
{1, 2, · · · , n}. Soit maintenant f ∈ SE , l’application σ ◦ f ◦ σ −1 est un élément
de Sn et l’application f 7→ σ ◦ f ◦ σ −1 est un isomorphisme de groupe.♦
Soit G un groupe, on peut construire l’application
τ:
G → SG
a 7→ τa
où τa est définie par
∀x ∈ G, τa (x) = ax.
1.4. MORPHISMES DE GROUPES
7
τa est appelée translation à gauche.
On remarque que τa est bien une bijection de G (mais pas forcément un homomrphisme). L’application τ est alors un homomorphisme injectif de G dans
G et donc G est isomorphe à τ (G). On montre ainsi le théorème de Cayley :
tout groupe est isomorphe à un sous-groupe de SG .
Remarque : L’exemple 2- montre que tout groupe est isomorphe à un sousgroupe du groupe de ses bijections.
8
CHAPITRE 1. GROUPES
Chapitre 2
Sous-groupes distingués,
classe modulo un
sous-groupe
2.1
Sous-groupes distingués
Définition : Soit (G, ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On dit que H
est un sous-groupe distingué de G si
∀h ∈ H, ∀x ∈ G, x ∗ h ∗ x−1 ∈ H.
On remarque que si G est un groupe commutatif, tous ses sous-groupes sont
distingués.
Propriétés : 1- L’intersection d’une famille de sous-groupes distingués est un
sous-groupe distingué.
2- Si H et K sont deux sous-groupes de G et si H est un sous-groupe distingué
alors H ∩ K est un sous-grope distingué de K.
3- Si f est un morphisme d’un groupe G dans un groupe G0 et H un sous-groupe
distingué de G, alors f (H) est un sous-groupe distingué de Im f . De plus si H 0
est un sous-groupe distingué de G0 alors f −1 (H 0 ) est un sous-groupe distingué
de G.
Exemples : 1- Soit f un morphisme de groupe alors Ker f est un sous-groupe
distingué.
2- Dans le groupe des matrices 2 × 2 inversibles à coefficients dans R, l’ensemble
des matrices de déterminant 1 est un sous-groupe distingué.
4- Soit Int(G) le sous-groupe des isomorphismes intérieurs de G, alors Int(G)
est un sous-groupe distingué de Aut(G).
9
10CHAPITRE 2. SOUS-GROUPES DISTINGUÉS, CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
2.2
Classe modulo un sous-groupe
Soit (G, ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation RH définie sur G
par
x RH y si et seulement si x ∗ y −1 ∈ H
est une relation d’équivalence appelée relation d’équivalence à droite modulo H.
De plus
x RH y si et seulement si y ∈ Hx := {y ∈ G, ∃h ∈ H, y = hx}.
La relation
HR
définie sur G par
x H R y si et seulement si x−1 ∗ y ∈ H
est une relation d’équivalence appelée relation d’équivalence à gauche modulo
H. De plus
x H R y si et seulement si y ∈ xH := {y ∈ G, ∃h ∈ H, y = xh}.
Preuve : Commençons par étudier la relation RH . On a bien xRH x puisque
x ∗ x−1 = e ∈ H, H étant un sous-groupe ; donc RH est réflexive. De plus si
xRH y, alors x ∗ y −1 ∈ H donc (x ∗ y −1 )−1 = y ∗ x−1 ∈ H par la propriété de
sous-groupe, donc yRH x, RH est symétrique. Enfin si xRH y et yRH z, alors
x ∗ y −1 ∈ H et y ∗ z −1 ∈ H donc x ∗ z −1 = (x ∗ y −1 ) ∗ (y ∗ z −1 ) ∈ H et xRH z.
RH est donc aussi transitive et c’est bien une relation d’équivalence.
On montre de même que H R est une relation déquivalence.♦
Considérons les classes modulo ces deux relations. Ce sont les ensembles Hx
pour la relation à droite et xH pour la relation à gauche. On rappelle que ces
classes nous donnent deux partitions du groupe G.
Théorème : Le sous-groupe H est distingué si et seulement si H R = RH .
Soit H un sous-groupe distingué, on note alors R la relation d’équivalence H R =
RH et l’ensemble des classes d’équivalence de R est noté G/H, si x, y ∈ G/H,
la classe x ∗ y est complètement déterminée et la loi ∗ définie par x ∗ y = x ∗ y
donne à G/H une structure de groupe. On parle alors du groupe quotient de G
par H.
Preuve 1- Supposons les deux relation d’équivalences identiques, alors les partitions de G données par les classes sont identiques. Considérons x ∈ G et sa
classe à droite Hx, elle coı̈ncide avec une classe à gauche. Comme x ∈ xH, elle
coı̈ncide avec la classe à gauche de x, donc Hx = xH pour tout x ∈ G. Ceci est
exactement équivalent au fait de dire que H est un sous-groupe distingué.
2- Soient x0 , y 0 des éléments de G tels que xRx0 et yRy 0 . Montrons que (x ∗
−1
y) R (x0 ∗ y 0 ). En effet, (x ∗ y) ∗ (x0 ∗ y 0 )−1 = x ∗ (y ∗ y 0 ) ∗ x−1 . Comme
−1
h = y ∗ y 0 ∈ H et H distingué, x ∗ h ∗ x−1 ∈ H et donc (x ∗ y) R (x0 ∗ y 0 ). On
en déduit que la classe de x ∗ y est indépendante des représentants de la classe
de x et de la classe de y choisies pour les calculer. Donc la loi ∗ est bien définie.
On vérifie alors à la main les propriétés de groupe.♦
2.3. DÉCOMPOSITION CANONIQUE D’UN MORPHISME
11
Si H est un sous-groupe distingué de G, l’application
π: G
x
→
7
→
G/H
x
est un morphisme surjectif appelé surjection canonique de G dans G/H.
2.3
Décomposition canonique d’un morphisme
Soit (G, .) et (G0 , ∗) deux groupes et f un morphisme de G dans G0 .
Proposition : Le sous-groupe Ker f est un sous-groupe distingué de G et
Im f est isomorphe à G/Ker f .
Preuve : On remarque que si x ∈ Ker f et y ∈ G, on a
f (y.x.y −1 ) = f (y) ∗ f (x) ∗ f (y −1 ) = f (y) ∗ e0 ∗ f (y)−1 = e0
donc y.x.y −1 ∈ Ker f et Ker f est un sous-groupe distingué de G.♦
Considérons alors l’application f de G/Ker f dans G0 définie par
∀x ∈ G, f (x) = f (x).
Il s’agit bien d’une application car l’image de x ∈ G/Ker f ne dépend pas du
représentant choisi de x. En effet si x = y, alors x = y.z avec z ∈ Ker f et
f (x) = f (y.z) = f (y) ∗ f (z) = f (y) ∗ e0 = f (y).
On vérifie que f est bien un morphisme de groupe. On a Im f = Im f car si
y ∈ Im f , alors il existe x ∈ G tel que y = f (x) et on a donc y = f (x).
Vérifions enfin que f est injective ; soit x tel que f (x) = e0 , alors f (x) = e0 donc
x ∈ Ker f et x = e. Le morphisme f est donc injectif d’image Im f , on en déduit
l’isomorphisme demandé.♦
On appelle décomposition canonique du morphisme f le schéma suivant :
G
f
→
π↓
G/Ker f
G0
↑i
f
→
Im f
où i est l’injection canonique de Im f dans G0 et π la surjection canonique de G
dans G/Ker f .
2.4
Théorèmes de Lagrange et de Poincaré
Théorème de Lagrange : Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G
alors card H divise card G.
Preuve : On regarde la relations d’équivalence RH . L’ensemble de ces classes
d’équivalence est fini. Notons Hx1 , · · · Hxp les p classes deux à deux distintes
12CHAPITRE 2. SOUS-GROUPES DISTINGUÉS, CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
réalisant une partition de G. On remarque que ces classes ont toutes le même
nombre d’éléments à savoir card H. En effet
Hx = {hx, h ∈ H}.
On a donc
card G = p card H.
♦
Définition : On appelle indice de H dans G et on note [G : H] l’entier
[G : H] =
Card G
.
Card H
On remarque que [G : H] est le nombre de classes d’équivalence pour la relation RH . On montrerait de même que c’est le nombre de classes d’équivalence
de H R.
Théorème de Poincaré : Soient H1 et H2 deux sous-groupes de G alors
[G : H1 ∩ H2 ] = [G : H1 ] × [G : H2 ].
Preuve : Soit x ∈ G, on a H1 x ∩ H2 x = (H1 ∩ H2 )x. On fabrique donc [G : H1 ]
classes d’équivalence pour RH1 ∩H2 avec une classe d’équivalence pour RH2 . On
a donc [G : H1 ] × [G : H2 ] classes d’équivalence pour RH1 ∩H2 , d’où l’égalité
souhaitée.♦
Chapitre 3
Le Groupe Sn
Dans ce chapitre on va étudier quelques propriétés du groupe Sn des permutations de l’ensemble {1, 2, · · · , n}. On a déjà vu que ce groupe est un groupe fini
de cardinal n! et on a exhibé les éléments particuliers que sont les transpositions
et les cycles.
3.1
Générateurs de Sn
Théorème : Le groupe Sn est engendré par l’ensemble des transpositions. Plus
précisément, toute permutation σ de Sn est le produit de composition d’au plus
n transpositions.
Preuve : On démontre ce résultat par récurrence sur n. Si n = 1 ou n = 2, le
résultat est vrai (l’unique élément de S2 autre que Id est une transposition τ
telle que τ ◦ τ = Id).
Supposons le résultat vrai jusquà l’ordre n et considérons σ ∈ Sn+1 . Considérons
l’entier σ(n + 1) : deux cas sont possibles, ou bien σ(n + 1) = n + 1 ou bien
σ(n + 1) = i ≤ n.
Dans le premier cas, on considère alors l’application σ̃ de {1, · · · , n} qui à j ∈
{1, · · · , n} associe σ(j). Comme σ(n + 1) = n + 1, les autres valeurs prises par
σ(j) sont inférieures ou égales à n.b L’application σ̃ envoie donc {1, · · · , n} dans
{1, · · · , n}. Elle est injective comme σ et surjective car σ(j) décrit {1, · · · , n}
lorsque j décrit {1, · · · , n}. On a donc σ̃ ∈ Sn et par l’hypothèse de récurrence,
il existe k ≤ n, et τ̃1 , · · · , τ̃k , k transpositions de Sn telles que
σ̃ = τ̃1 ◦ · · · ◦ τ̃k .
On considère alors les transpositions de Sn+1 définies pour ` ∈ {1, · · · , k} par
τ` (j) = τ̃ (j) si j ∈ {1, · · · , n}, τ` (n + 1) = n + 1.
On a alors
σ = τ1 ◦ · · · ◦ τk .
Considérons maitenant le cas où σ(n + 1) = i ≤ n. Soit τ la transposition
définie par τ (i) = n + 1. Alors τ ◦ σ est une permutation de Sn+1 telle que
13
CHAPITRE 3. LE GROUPE SN
14
τ ◦ σ(n + 1) = n + 1. On lui applique le résultat précédent et on sait qu’il existe
k transpositions τ1 , · · · , τk telles que
τ ◦ σ = τ1 ◦ · · · ◦ τk .
On a alors
σ = τ ◦ τ1 ◦ · · · ◦ τk .
σ est donc la composée d’au plus n + 1 transpositions.♦
On attire l’attention du lecteur sur le fait qu’il n’y a pas unicité de l’écriture
de σ comme produit de transpositions. On va voir maintenant que l’on peut
aussi décomposer σ comme un produit de cycles de support disjoints et cette
fois, on a unicité de la décomposition. Pour cela, il faut d’abord définir les orbites
associées à une permutation
Définition : Soit p ∈ N, on appelle orbite de p selon σ le sous-ensemble de
{1, · · · , n}
Ωp = {σ k (p), p ∈ N}.
Propriétés : Les orbites selon σ vérifient les propriétés suivantes
– Pour tout p ∈ {1, · · · , n}, il existe k(p) ∈ N tel que
Ωp = {p, σ(p), σ 2 (p), · · · , σ k(p)−1 (p)}.
– Soit Ωp et Ωq deux orbites selon σ alors elles sont disjointes ou confondues.
– Les orbites selon σ réalisent une partition de {1, · · · , n}.
Preuve : On commence par remarquer qu’une orbite est un sous-ensemble de
{1, · · · , n} et donc est un ensemble fini, d’où l’existence de k ∈ N tel que
p, σ(p), · · · , σ k−1 soient deux à deux distincts mais
σ k (q) ∈ {p, σ(p) · · · , σ k−1 (q)}.
On en déduit qu’il existe q ∈ {0, · · · , k −1} tel que σ q (p) = σ k (p). En composant
par la bijection réciproque σ −1 de σ, on trouve que p = σ k−q (p) avec 1 ≤ k −q ≤
k. Comme p, σ(p), · · · , σ k−1 sont deux à deux distincts, on a nécessairement
q = 0 et σ k (p) = p, d’où la description de Ωp .
Considérons maintenant deux orbites Ωp et Ωq . Ou bien Ωp ∩ Ωq = ∅, ou
bien il existe t, s ∈ N tels que σ t (p) = σ s (q) avec t ≤ k(p) et s ≤ k(q). Dans ce
dernier cas, on a
p = σ k(p)−t ◦ σ t (p) = σ k(p)−t ◦ σ s (q) = σ k(p)−t+s (q) ∈ Ωq
donc Ωp ⊂ Ωq . En raisonnant de même avec k(q), on obtient Ωq ⊂ Ωp .
On remarque que chaque élément de {1, · · · , n} est dans une orbite. Comme
celles-ci sont disjointes, elles réalisent une partition de {1, · · · , n}. ♦
Théorème : Toute permutation σ se décompose de façon unique en un produit
de cycles de longueur supérieure ou égale à 2 et de support disjoints.
3.2. SIGNATURE D’UNE TRANSPOSITION
15
Des cycles de support disjoints commutent entre eux, l’unicité se comprend
donc à l’ordre près.
Preuve : On considère les orbites disjointes Ωp1 , · · · , ΩpN selon σ et on se restreint aux orbites de cardinal plus grand ou égal à 2. On suppose que ce sont
les K premières (K ≤ N ). Notons pour 1 ≤ j ≤ N ,
Ωpj = {pj , σ(pj ), · · · , σ k(pj )−1 (pj )}.
On considère les K cycles φj définis par
φj = (pj , σ(pj ), · · · , σ k(pj )−1 (pj ).
On vérifie que ces cycles commutent entre eux car leurs supports sont disjoints
(ils ne modifient donc pas les mêmes ensembles de points). Par ailleurs, σ et les
φj ne modifient pas les points des orbites ponctuelles ΩK+1 , · · · ΩN et sur Ωj
pour 1l eqj ≤ K, on a σ = φj . On obtient
σ = φ1 ◦ · · · ◦ φK .
Montrons maintenant que cette décomposition est unique. Soit φ1 ◦ · · · ◦
φK la composée de K cycles de support disjoints et étudions les orbites de
cette permutation. Comme les supports des cycles sont disjoints, les orbites
non ponctuelles sont exactement les supports de ces cycles. Par ailleurs, les
cycles sont uniquement déterminés par leur support. La relation entre orbites
de φ1 ◦· · ·◦φK et support de ces cycles détermine donc les ycles de façon unique.
♦
3.2
Signature d’une transposition
Etant donné une permutation σ on dit que i et j présentent une inversion
par σ si i < j et σ(i) > σ(j).
Soit I(σ) le nombre d’inversions de σ, on dit que σ est paire (resp. impaire)
si I(φ) est pair (resp. impair).
On appelle signature de la permutation σ le nombre ε(σ) = (−1)I(φ) . Ce
nombre est 1 si σ est paire, −1 sinon.
1 2 3 4 5
Exemples : 1- Soit σ =
. I(σ) = 7, ε(σ) = −1, σ est
2 5 4 3 1
impaire
2- La signature d’une transposition est −1.
Preuve : Soit τ la transposition définie par τ (i) = j, i < j. Alors les paires
(i, i + 1), (i, i + 2), · · · , (i, j) ainsi que les paires (i + 1, j), (i + 2, j), · · · (j − 1, j)
sont les seules à présenter des inversions. On a donc
I(σ) = (j − i) + (j − 1 − i) = 2(j − i − 1) + 1
CHAPITRE 3. LE GROUPE SN
16
donc τ est impaire.
Proposition : Soit σ ∈ Sn alors
ε(σ) =
Π
1≤i<j≤n
σ(j) − σ(i)
.
j−i
Preuve : On remarque que
Π
1≤i<j≤n
σ(j) − σ(i)
=
j−i
Π
1≤i<j≤n
σ(j) − σ(i)
Π
1≤i<j≤n
j−i
.
On a donc les mêmes termes au numérateur et au dénominateur au signe près.
Ce signe est − lorsque l’on a une inversion et on a donc autant de −1 que
d’inversions. Ce qui démontre la formule.
Théorème : L’application
ε:
(Sn , ◦) →
σ
7→
({+1, −1}, ×)
ε(σ)
est un morphisme de groupe. L’ensemble An := Ker (ε) des perturbations paires
est donc un sous-groupe distingué de Sn .
En corollaire de ce théorème, on obtient que si σ ∈ Sn , la parité du nombre
de transpositions intervenant dans une écriture deσ comme produit de transpositions est indépendante du choix de l’écriture. En effet, si σ est produit de n
transopositions, le nombre ε(σ) qui ne dépend que de σ est ε(σ) = (−1)n .
Preuve : On utilise la formule de la proposition
Π
0
ε(σ ◦ σ) =
1≤i<j≤n
σ 0 ◦ σ(j) − σ 0 ◦ σ(i)
Π
1≤i<j≤n
=
j−i
Π
σ 0 (j) − σ 0 (i)
Π
σ(j) − σ(i)
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
Π
×
1≤i<j≤n
Π
1≤i<j≤n
On remarque alors que
0
ε(σ ) =
Π
σ 0 (j) − σ 0 (i)
Π
σ(j) − σ(i)
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
♦
σ(j) − σ(i)
.
j−i
.
Chapitre 4
Groupes monogènes –
groupes cycliques
4.1
Définitions, premières propriétés
Définition : Soit (G, .) un groupe. On dit que G est monogène s’il exite x ∈ G
qui engendre G.
Théorème : Soit G un groupe monogène alors,
– ou bien G est infini et isomorphe à Z,
– ou bien G est fini et isomorphe à Z/nZ (n = Card G). On dit alors que G
est cyclique d’ordre n.
Preuve : Soit x un générateur de G. On considère le morphisme de groupe φ
φ: Z →
k 7→
G
xk
Le morphisme φ est surjectif puisque x engendre G.
Si φ est injectif alors φ est un isomorphisme de Z dans G.
Si φ n’est pas injectif, considérons Ker φ. C’est un sous-groupe de Z, il est donc
de la forme nZ pour un certain n ∈ N∗ . On a alors Z/nZ = Z/Ker φ isomorphe
à Im φ = G. Comme Z/nZ est de cardinal n, n est aussi le cardinal de G et
G = {e, x, x2 , · · · , xn−1 }.
♦
Exemple : Un = {e2ikπ/n , 0 ≤ k ≤ n − 1} est un groupe cyclique.
4.2
Sous-groupes d’un groupe monogène
On sait déjà que les sous-groupes de Z sont de la forme nZ avec n ∈ N.
Considérons maintenant les sous-groupes de Z/nZ.
Théorème : Soit H un sous-groupe Z/nZ. Alors, il existe un unique diviseur
p de n tel que p engendre H. De plus card H = np .
17
18
CHAPITRE 4. GROUPES MONOGÈNES – GROUPES CYCLIQUES
Etant donnée la description que l’on a faite d’un groupe monogène G =<
x >, on a le corollaire suivant
Corollaire : Soit G =< x > un groupe monogène et H un sous-groupe de G
alors
– soit H est isomorphe à pZ pour un certain p ∈ N (dans le cas où G est
infini),
– soit H est cycliques et engendré par xp où p est un diviseur de n (dans le
cas où G est fini de cardinal n).
Preuve du théorème : Soit π la surjection canonique de Z dans Z/nZ et K =
π −1 (H). K est un sous-groupe de Z donc il existe p ∈ N tel que K = pZ.
Montrons alors que p est un diviseur de n. Pour cela, considérons 0, c’est un
élément de H donc
nZ = π −1 ({0}) ⊂ K = pZ.
Ceci imlplique que p divise n. Soit q tel que n = pq, on a
H = {0, p, 2p, · · · , (q − 1)p}.
♦
4.3
Générateurs d’un groupe monogène
Théorème : Soit G =< x > un groupe multiplicatif monogène
– soit G est moonogène infini et ses générateurs sont x et x−1 .
– soit G est cyclique de cardinal n et ses générateurs sont les xk pour tout
entier k premier avec n.
Preuve : Il suffit de regarder le cas de Z et Z/nZ. On remarque que lmes seuls
générateurs de Z sont 1 et −1. Etudions maintenant les générateurs de Z/nZ.
Soit k un générateur de Z/nZ. Alors, le sous-gropupe engendré par k est de
cardinal n, ce qui implique que n est le plus petit entier non nul tel que n.k = 0.
On en déduit que nk est le PPCM de p et de n. Les entiers k et n sont donc
premiers entre eux.♦
Proposition : Soit U l’ensemble des généraurs de Z/nZ. L’ensemble U muni
de la multiplication définie par
∀x, y ∈ Z/nZ, x.y = x.y
est un groupe.
Preuve : On commence par vérifier que la loi . est bien une loi de composition
interne puis que 1 est élément neutre. Soit maintenant k ∈ U , k est premier
avec n donc par le théorème de Bezout, il existe u et v tels que uk + np = 1.
On a alors u.p = 1. Donc u est un inverse pour k. ♦
4.4. ORDRE D’UN ÉLÉMENT
4.4
19
Ordre d’un élément
Soit G un groupe quelconque et x un élément de G, alors le sous-groupe
< x > engendré par x est un groupe monogène.
– Si < x > est isomorphe à Z, on dit que x est d’ordre infini.
– Si < x > est isomorphe à Z/nZ, n ∈ N, on dit que x est d’ordre n.
Proposition : Soit G un groupe fini de cardinal n, et alors tout élément x de
G est d’ordre fini et si k est son ordre k divise n.
Preuve : Comme G est fini, le sous-groupe < x > de G est nécessairement fini.
De plus, on a vu que le cardinal d’un sous-groupe divise le cardinal du groupe
(théorème de Lagrange). ♦
20
CHAPITRE 4. GROUPES MONOGÈNES – GROUPES CYCLIQUES
Chapitre 5
Groupe opérant sur un
ensemble
Définition : Soit E un ensemble et (G, ∗) un groupe, on dit que G opère à
gauche sur E s’il existe une application
G×E
(g, x)
→
E
7→ g.x
telle que
– ∀x ∈ E, ∀(g1 , g2 ) ∈ G, g1 .(g2 .x) = (g1 ∗ g2 ).x
– ∀x ∈ E, e.x = x.
Exemples :
– G opère par conjugaison sur lui-même :
G×G
(g, x)
→G
7→
g ∗ x ∗ g −1
– Le groupe des bijections de E dans E muni de la loi de composition des
bijections (SE , ◦) opère sur E par
(g, x) 7→ g(x).
– Soit (A, B, C) un triangle équilatéral, le groupe des isométries de R2 laissant invariant le triangle (A, B, C) opère sur l’ensemble des sommets.
Proposition : Si G opère à gauche sur l’ensemble E, alors pour tout g ∈ G,
l’application
γg : E → E
x 7→ g.x
est une bijection de E dans E.
Par ailleurs, l’application
γ: G
g
→
7→
est un morphisme de groupe.
21
SE
γg
22
CHAPITRE 5. GROUPE OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
Preuve : Tout se vérifie facilement une fois que l’on a remarqué que (γg )−1 =
γg−1 .♦
On appelle noyau de l’action de G sur E, le sous-groupe de G constitué du
noyau du morphisme γ, à savoir
Ker γ = {g ∈ G, ∀x ∈ E, g.x = x}.
Exercice : Déterminer les noyaux des actions données en exemple ci-dessus.