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Chapitre 1
Groupes
1.1 D´efinitions - Premi`eres propri´et´es
D´efinition : On appelle groupe le couple form´e par un ensemble Get une loi
de composition interne ∗sur Gtelle que
1. ∗est associative : ∀x, y, z ∈G, (x∗y)∗z=x∗(y∗z).
2. ∗admet un ´el´ement neutre e:∀x∈G, x ∗e=e∗x=x.
3. tout ´el´ement xde Gadmet un sym´etrique x0pour la loi ∗:∀x∈G, ∃x0∈
G, x ∗x0=x0∗x=e.
Par loi de composition interne, on entend une application de G×Gdans G.
On dira que le groupe (G, ∗) est commutatif (ou ab´elien) si la loi ∗est com-
mutative :
∀x, x0∈G, x ∗x0=x0∗x.
On dira que le groupe est fini si l’ensemble Ga un nombre fini d’´el´ements.
Lorsque la loi est commutative, il pourra ˆetre commode de noter le groupe
additivement en notant + la loi de composition interne, le sym´etrique de x
sera alors not´e −xet appel´e oppos´e de x. On pourra aussi utiliser la notation
multiplicative qui consiste `a noter .la loi de composition et x−1le sym´etrique
alors appel´e inverse.
Remarques : L’´el´ement neutre est unique.
Le sym´etrique d’un ´el´ement xde Gest unique.
Preuve : Supposons que eet e0soient deux ´el´ements neutres, alors e∗e0=e0=e.
Si xa deux inverses yet zalors x∗y=e. En multipliant `a droite par zon
obtient
y= (z∗x)∗y=z∗(x∗y) = z∗e=z.
♦
R`egles de calcul dans un groupe :
– Comme la loi est associative, on peut noter x1∗· · ·∗xn=x1∗(x2∗· · ·∗xn−1)
(pas besoin de parenth`eses).
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2CHAPITRE 1. GROUPES
– Pour n∈N∗, on notera xnl’´el´ement x∗ · · · ∗ x n-fois.
– On pose x0=eet x−nle sym´etrique de xn.
– On a ∀x, y ∈G, (xy)0=y0x0.
Exemples : (Z,+), (R,+), (R∗, .)
(Q,+), (Q∗, .), (C,+), (C∗, .)
(Z/nZ, +).
1.2 Exemple fondamental : Sn
Th´eor`eme et d´efinition : Soit El’ensemble `a n´el´ements E={1,2,· · · , n}. On
appelle groupe sym´etrique d’ordre net on note Snl’ensemble des bijections
de Edans Emuni de la loi de composition interne ◦.
Preuve : L’´el´ement Id qui `a k∈Eassocie kest un ´el´ement neutre pour la loi de
composition ◦. Celle-ci est associative et tout ´el´ement de Sna un inverse pour
◦, sa bijection r´eciproque. ♦
On notera
σ=1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
la permutation k7→ σ(k).
On rappelle que Card Sn=n!.
On appelle transpositions les ´el´ements Tij de Sntels que Tij (k) = ksi k /∈
{i, j},Tij (i) = j,Tij (j) = i.
On appelle cycle de longueur p, tout ´el´ement σde Sntel qu’il existe i1,· · · , ip
dans Etels que σ(ik) = ik+1 pour 1 ≤k < p,σ(ip) = i1et σ(j) = jsi
j /∈ {i1,· · · , ip}. L’ensemble {i1,· · · , ip}est appel´e support du cycle.
1.3 Sous-groupes
1.3.1 D´efinition
D´efinition : Une partie Hde Gest un sous-groupe de (G, ∗) si la loi ∗de G
conf`ere `a Hune structure de groupe.
Th´eor`eme : Soit Hune partie de G,Hest un sous-groupe de Gsi et seulement
si Hest non vide et
∀x, y ∈H, xy0∈H(1)
si et seulement si Hest non vide et
∀x, y ∈H, x0∈Het xy0∈H. (2)
Preuve : Les propri´et´es (1) et (2) sont n´ecessaires pour que Hsoit un sous-
groupe.
Montrons maintenant qu’elles sont suffisantes. Pour cela, montrons que (1) et
(2) sont ´equivalentes pour une partie Hnon vide, puis que si Hest non vide et
v´erifie (2), alors Hest un sous-groupe.
On voit tout d’abord que (2) implique (1). Supposons maintenant (1). Soit x

1.3. SOUS-GROUPES 3
un ´el´ement de H, alors x∗x0=e∈H, donc e∈H. On applique alors (1) `a y
et x=eet on obtient que pour tout y∈H,y0∈H. Puis on applique (1) `a y0
et xet on obtient que x∗(y0)0=x∗y∈H. On a donc la propri´et´e (2).
Soit maintenant Hune partie non vide de Gv´erifiant (2). La loi * est alors bien
une loi de composition interne sur H(la compos´e de deux ´el´ements de Hreste
dans H). Elle est associative sur Hpuisqu’elle l’´etait sur G, Tout ´el´ement xa
un inverse x0dans Het ∗a un ´el´ement neutre puisqu’il existe x∈Htel que
x0∈Het x∗x0=e∈H.♦
On remarque que l’´el´ement neutre de Gdoit ˆetre dans Hcar l’´el´ement neutre
de Gva aussi ˆetre celui de H.
Exemple fondamental : Les sous-groupes de (Z, +) sont de la forme aZour
a∈N.
Preuve : On remarque tout d’abord que aZest un sous-groupe de (Z,+). Soit
Hun sous-groupe de (Z,+), l’ensemble de ses ´el´ements strictement positifs
admettent un minimum que l’on va noter a. C’est un ´el´ement de H, donc aZ⊂H
(car Hest un sous-groupe). Par ailleurs, si y∈H, la division euclidienne de y
par adonne y=aq +ravec 0 ≥r < a. On remarque alors que si r6= 0, on
aurait un ´el´ement r=y−qa de Hstrictement positif et strictement plus petit
que ace qui est impossible donc r= 0 et tout ´el´ement de Hest un multiple de
a,H=aZ.♦
Autres exemples : 1- L’ensemble U={z∈C, |z|= 1}des nombres com-
plexes de module 1 est un sous-groupe de (C∗, .).
2- L’ensemble Un={z∈C, zn= 1}des racines n-i`emes de 1 est un sous
groupe de Uet donc de (C∗, .).
3- Le centre d’un groupe d´efini par Z(G) = {x∈G, ∀y∈G, xy =yx}est un
sous groupe de G.
Th´eor`eme : Soit (Hi) une famille de sous-groupes d’un groupe G,∩
i∈IHiest
un sous-groupe de H
Preuve : Il suffit de v´erifier les propri´et´es.♦
1.3.2 Sous-groupe engendr´e par une partie non-vide de G
Th´eor`eme et D´efinition : Soit (G, ∗) un groupe et Sune partie de G, il existe
un plus petit sous-groupe de Gcontenant Sappel´e sous-groupe engendr´e par S
et not´e < S >, c’est l’intersection de la famille des sous-groupes contenant S.
< S > est l’ensemble des ´el´ements yde Gqui s’´ecrivent y=x1∗ · · · ∗ xnpour
un certain n∈Navec pour tout i∈N, ou bien xi∈S, ou bien x0
i∈S.
Preuve : L’ensemble des sous-groupes contenant Sest non vide car il contient
G. Par ailleurs l’intersection de tous les sous-groupes de Gcontenant Sest un
sous-groupe comme intersection de sous-groupes et c’est un ´el´ement minimal
pour l’inclusion par construction.

4CHAPITRE 1. GROUPES
On consid`ere alors l’ensemble
H={y∈G, ∃n∈N, y =x1∗ · · · ∗ xn, xj∈S ou x−1
j∈S}.
Cet ensemble est contenu dans < S >. Par ailleurs, c’est un sous-groupe de G,
il contient donc < S >. On en d´eduit < S >=H.♦
On appelle groupe monog`ene un groupe engendr´e par un singleton. On appelle
groupe cyclique, un groupe monog`ene et fini.
Le groupe (Z,+) est monog`ene, le groupe (Z/nZ, +) est cyclique.
On dira qu’un ´el´ement x∈Gest d’ordre fini si le sous-groupe engendr´e par {x}
est cyclique.
1.4 Morphismes de groupes
1.4.1 D´efinition – premi`eres propri´et´es
D´efinition Soit (G, ∗) et (G0, .) deux groupes et fune application de Gdans
G0. On dira que fest un morphisme de groupe si
∀x, y ∈G, f(x∗y) = f(x).f (y).(2)
Propri´et´es 1- f(e) = e0
2- f(x−1) = f(x0)−1
3- ∀n∈N, ∀x∈G, f(xn) = (f(x))n.
Preuve : 1- Appliquons (2) `a x=y=e, on a alors f(e) = f(e)2. L’´el´ement
f(e) de G0a un inverse f(e)−1et en multipliant `a gauche l’´egalit´e pbtenue par
f(e)−1, on obtient
e0=f(e)−1.f(e) = f(e)−1.(f(e).f(e)) = f(e)−1.f(e).f(e) = e0.f(e) = f(e),
o`u l’on a utilis´e l’associativit´e et les propri´et´es de l’inverse et de l’´el´ement neutre.
2- On applique (2) `a xet x−1et on obtient
e0=f(e) = f(x∗x−1) = f(x).f(x−1).
L’´el´ement f(x) de G0a un inverse f(x)−1et en composant `a gauche l’´egalit´e
ci-dessus par f(x)−1, on obtient f(x−1) = f(x)−1.
3- Cette derni`ere propri´et´e se montre par r´ecurrence sur N.♦
Th´eor`eme : Soit fun morphisme du groupe (G, ∗) dans le groupe (G0, .).
1. Si Hest un sous-groupe de G,f(H) = {y∈G0,∃x∈H, f(x) = y}est
un sous-groupe de G0.
2. Si H0est un sous-groupe de G,f−1(H0) = {x∈H, f(x)∈H0}est un
sous-groupe de H.
3. fest surjectif si et seulement si f(G) = G0.
4. fest injective si et seulement si f−1({e0}) = {e}.
5. La compos´ee de deux morphismes de groupe est un morphisme de groupe.

1.4. MORPHISMES DE GROUPES 5
D´efinition : On appelle Noyau de fet on note Ker fle sous-groupe de G,
Ker f=f−1({e0}) = {x∈H, f(x) = e0}.
On a alors, finjective si et seulement si Ker f={e}.
Preuve : 1- Soit Hun sous-groupe de G, alors e∈Het e0=f(e)∈f(H).
Donc f(H) est non-vide. Soit maintenant y, z ∈f(H), il existe x, u ∈Htels
que y=f(x), z =f(u). On a alors
y.z−1=f(x).f(u)−1=f(x).f(u−1) = f(x∗u−1).
Comme Hest un sous-groupe de G,x∗u−1∈Het donc y.z−1est l’image
d’un ´el´ement de Het donc dans f(H). f(H) v´erifie donc bien les propri´et´es de
sous-groupe.
2- Soit H0un sous-groupe de G0, alors f(e) = e0∈H0donc e∈f−1(H0). Soit
maintenant x, u ∈f−1(H0), on a donc f(x)∈H0et f(u)∈H0. On en d´eduit
que f(x∗u−1) = f(x).f(u)−1∈H0donc x∗u−1∈f−1(H0). f−1(H0) v´erifie
donc les propri´et´es de sous-groupe.
3- C’est la d´efinition de la surjectivit´e.
4- Si fest injective, l´el´ement e0de G0a au plus un ant´ec´edant. Comme on sait
f(e) = e0on en d´eduit qu’il en a exactement un. R´eciproquement, supposons
Ker f={e0}et consid´erons y, z ∈G0tels que f(y) = f(z). Alors on a f(y∗
z−1) = f(y).f(z)−1=e0. Donc y∗z−1=ece qui donne en composant `a droite
par z,y=z.
5- Soit fun morphisme de (G1,∗) dans (G2, .) et gun morphisme de (G2, .)
dans G3,×). Alors g◦fest une application de G1dans G3telle que pour tout
x, y ∈G1,
g◦f(x∗y) = g(f(x∗y)) = g(f(x).f(y)) = g(f(x))×g(f(y)) = g◦f(x)×g◦f(y).
♦
Exemples : 1- Soit Hun sous-groupe de G, l’application
i:H→G
x7→ x
est un morphisme de groupe injectif appel´e injection canonique de Hdans
G.
2- L’application d´eterminant du groupe des matrices 2 ×2 inversibles dans le
groupe R∗muni de la multiplication qui `a une matrice associe son d´eterminant
est un morphisme de groupe de noyau les matrices de d´eterminant 1.
1.4.2 Isomorphismes
D´efinition Soit fun morphisme du groupe Gdans le groupe G0, on dit que fest
un isomorphisme si fest une bijection de Gdans G0; sa bijection r´eciproque
est alors elle-aussi un isomorphisme. On dit alors que les groupes Get G0sont
isomorphes (il existe un isomorphisme de Gdans G0).