Géométrie MEMENTO

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
Page 1/4
MEMENTO DE GEOMETRIE
1) Droites
- Par un point non situé sur une droite, il passe une parallèle à cette droite et u
- Si deux droites sont parall
ne seule (axiome d'Euclide).
èles, toute perpendiculaire à l'une est
une même droite, alors ces deux
édiatrice d'un segment
perpendiculaire à l'autre. Si 12
//dd alors 12 dd∆⊥ ⇒∆⊥
- Si deux droites sont perpendiculaires à
droites sont parallèles. Si 1
d⊥∆ et 2 d⊥∆, alors 12 //dd
M
t [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) et La médiatrice d'un segmen
passant
par le milieu de ce segment.Si un point appartient à la médiatrice d'un segment,
alors il est équidistant des extrémités du segment.
M
MA MB
∈
∆⇒ =
Réciproquement, si un point est à égale distance des extrémités d'un segment,
alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. MA MB M
=
⇒∈∆
La médiatrice d'un segment est axe de symétrie de ce segment.
Bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux
angles de même mesure. Si un point appartient à la bissectrice d'un angle,
alors il est équidistantdes côtés de cet angle.
[
)
IOt IMIN∈⇒=
Réciproquement, si un point est à égale distance des deux côtés d'un angle,
alors ce point appartient à la bissectrice de l'angle.
[
)
IM IN I Ot=⇒∈
La bissectrice d'un angle est axe de symétrie de cet angle
2) Triangles
Dans tout triangle, chaque côté est compris entre la somme et la différence
des deux autres. Autrement dit, si on note a,b et c les longueurs des trois côtés, on a bcabc
−
<<+; cabca
−
<<+ et
bacba−<<+
Droites dans un triangle
Dans tout triangle :
Les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point
O qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les trois médianes sont concourantes en un point G appelé
centre de gravité du triangle, situé aux 2
3de chaque médiane
à partir du sommet.
Les trois hauteurs sont concourantes en un point H appelé
orthocentre du triangle.
Les points O,G et H sont alignés sur la droite d’Euler
Les trois bissectrices sont concourantes en un point qui est le
centre du cercle inscrit dans le triangle. (I)
Droite des milieux
La droite (IJ) joignant les milieux de deux côtés d’un triangle ABC est parallèle au
troisième côté du triangle; et le segment qui joint les milieux a une longueur égale à
la moitié du troisième côté. (IJ)//(AB) et 1
2
IJ BC=
Réciproquement, si dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est
parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
I milieu de [AB] et (IJ)//(AB) impliquent J milieu de [AC] et 1
2
IJ BC=

Cours et exercices de mathématiques http://mathscyr.free.frM. CUAZ,
Page 2/4
Propriété de Thalès (3 configurations)
ABC est un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC).
Si (BC)//(MN) alors AM AN MN
AB AC BC
== .
Réciproque : Si les trois points A,B,M et A,C,N, sont alignés
dans le même ordre et si AM AN
AB AC
= (BC)//(MN).
Triangle rectangle
Dans tout triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse est égale à
la moitié de l'hypoténuse. 1
2
OA BC=
Si le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] alors ce
triangle est rectangle en A.
L' aire du triangle ABC rectangle en A est égale à AB AC BC AH
ou
22
××
Propriété de Pythagore
Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés.
22
ABC rectangle en A 2
B
CABAC⇒=+
Réciproque : Si dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
222
ABC rectangle en ABC AB AC=+⇒
Trigonométrie
Si on note α la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle, alors
ˆ
coté adjacent
cos hypoténuse
AB
B
C
α == ,
ˆ
coté opposé
sin hypoténuse
AC
B
C
α == et ˆ
coté opposé
tan ˆ
coté adjacent
AC
AB
α ==
Angles
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont égaux. (1) = (2)
Si les droites D et D’ sont parallèles alors les angles alternes internes
(2) et (4) sont égaux et les angles correspondants (1) et (4) sont égaux
- La somme des angles d’un triangle est égale à 180°
- La somme des angles d’un quadrilatère non croisé est égale à 360°
Angles inscrits et angles au centre
A et B sont deux points d'un cercle de centre O. Pour tout point M de ce cercle, la mesure de l'angle géométrique
est égale à la moitié de celle de l'angle au centre
n
AMB
n
AOB sous réserve d’intercepter tous les deux le même arc
p
AB .
Sinon ils sont supplémentaires

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
Page 3/4
Si deux points M et N sont situés sur le même arc
p
AB et s’ils interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
n
n
AMB ANB=
3) Quadrilatères
PARALLELOGRAMME
ABCD est un parallélogramme si et seulement si
l’une de ces conditions est réalisée :
1) (AB)//(CD) et (BC)//(AD)
2) AB=CD et BC=AD
3) (AB)//(CD) et AB=CD
4
)
Les dia
g
onales [AC] et [BD] ont le même milieu.
LOSANGE
ABCD est un losange si et seulemen
t
c’est un parallélogramme et si l’une de
ces conditions est réalisée :
1) Deux côtés consécutifs sont de
même longueur
2) Les diagonales sont perpendiculaire
RECTANGLE
ABCD est un rectangle si et seulemen
t
c’est un parallélogramme et si l’une de
ces conditions est réalisée :
1) Deux côtés consécutifs son
t
p
erpendiculaires
2) Les diagonales sont de même
longueur
CARRE
ABCD est un carré si c’est à la
fois un losange et un rectangle

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
Page 4/4
4) Transformations
Symétrie orthogonale
ou réflexion d'axe ∆
Translation
de vecteur 0u
≠
G
G
Symétrie centrale
de centre O
Rotation de centre O
et d'angle orienté α
M' est l'image
de M ssi
∆= med [MM'] si M ∉ ∆
M' = M si M ∈ ∆ '
M
Mu
→→
=
O = m[MM']
(
)
,OM OM
α
′
=
JJJG JJJG
et OM = OM'
Notation S∆ (M) = M'
(
)
u
tM M
′
=
G SO (M) = M'
(
)
;O
rMM
α
′
=
Graphique
∆ M'
M
α
O M
M'
Invariant(s) Les points de ∆ Aucun Le centre O Le centre O
Réciproque S ∆ u
t
−
G
SO ;O
r
α
−
Ces 4 transformations conservent :
Les distances A'B' = AB
Les angles géométriques
n
n
ABC ABC
′′′
=
Le parallélisme si (AB) // (CD) alors (A'B') // (C'D')
L’orthogonalité si (AB) ⊥(CD) alors (A'B')
⊥
(C'D')
L'alignement si A, B et C sont alignés alors A', B' et C' sont alignés
Les aires et les volumes