Algèbre-III Réduction des endomorphismes

Algèbre-III
Réduction des endomorphismes
Alexis Tchoudjem
Université Lyon I
10 octobre 2011

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Dans ce cours est un corps qui peut ê tre Q,Rou C.

Table des matières
1 Un peu de théorie des groupes 7
1.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Associativité, commutativité . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Identité, éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Groupes .............................. 11
1.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Les groupes (Z/nZ,+) .................. 14
1.5 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Sous-groupes distingués . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Classes à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.2 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Rappels sur les matrices 27
2.0.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Applications............................ 31
2.2.1 La suite de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Rappels sur les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Matrices échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 Égalité entre le rang des lignes et le rang des colonnes . 42
2.4.4 Image et noyau d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1 Matrice associée à une application linéaire . . . . . . . 46
3

4TABLE DES MATIÈRES
2.5.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.3 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Le déterminant 53
3.1 Dimension 2et 3......................... 53
3.2 Déterminant en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Définitions du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Valeurs propres, vecteurs propres 67
4.1 Sous-espaces invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Un premier critère de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . 83
4.6 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Polynômes d’endomorphismes 93
5.1 Définition ............................. 93
5.2 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Décomposition spectrale 107
6.1 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Projecteurs spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Décomposition de Dunford-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Calcul pratique des projecteurs spectraux . . . . . . . . . . . . 117
6.4.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5.1 Blocs de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5.2 Matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5.3 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 Puissances 127
7.1 Motivation.............................127
7.2 Cas diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

TABLE DES MATIÈRES 5
8 Exponentielle 133
8.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Suites de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 Définition de exp(A).......................134
8.4 Méthode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.1 Dérivation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.2 Équations différentielles linéaires à coefficients constants140
9 Groupe orthogonal 143
9.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3 Réflexions orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4 Réduction des matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4.1 O2(R)..........................146
9.4.2 O3(R)...........................148
9.4.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.5 Les quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5.2 Norme...........................155
9.5.3 Lien avec les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10 Invariants de similitude 159
10.1 Matrices à coefficients polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.1.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.2 Réduction des matrices à coefficients polynomiaux . . . . . . . 161
10.3 Invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4 Endomorphismes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170