2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2015/2016
Sujet no1
On désigne par kun corps commutatif, et on se place dans GL2(k),l’ensembledes
matrices carrées réelles inversibles de taille 2. On pose :
SL2(k)={MœGL2(k)|det M=1}.
Pour ⁄œk, on définit les matrices de transvection :
T1,2(⁄)=31⁄
01
4œSL2(k)et T2,1(⁄)=310
⁄14œSL2(k),
puis, pour µœkú, les matrices de dilatation :
D1(µ)=3µ0
01
4œGL2(k)et D2(µ)=310
0µ4œGL2(k).
L’objectif est de démontrer la proposition ci-après, et les questions qui suivent ont
pour seul but de vous guider dans la preuve de ce résultat ; vous n’êtes pas tenu(e)
d’y répondre pour y parvenir.
Proposition. (i)Pour toute matrice MœSL2(k), il existe mœNet T1,...,T
m
des matrices de transvection tels que M=T1···Tm.
(ii)Pour toute matrice MœGL2(k), il existe mœN,T1,...,T
mdes matrices de
transvection et Dune matrice de dilatation tels que M=D·T1···Tm.
1) Soient MœGL2(k),⁄œk,µœkú,etk, l œ{1,2}distincts.
a. Rappeler l’effet des produits Tk,l(⁄)·Met Dk(µ)·M.
b. Expliciter les matrices T≠1
k,l (⁄)et D≠1 k(µ).
2) Pourquoi le point (ii) est-il conséquence du point (i) ?
3) Soit M=3ab
cd
4œSL2(k).
a. On suppose a=1. Montrer que Mse réalise comme produit de transvections.
Indication : on pourra chercher Tune matrice de transvection telle que :
TM =31b
01
4.
b. On suppose a”=1. Montrer qu’il existe Pun produit de transvections et
bÕ,c
Õ,d Õœktels que :
PM =31bÕ
cÕdÕ4.
c. Conclure.
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Mathématiques Année 2015/2016
Sujet no2
Soient nœNú,a1,...,a
nœC,et:
A=Q
c
c
c
a
a1an··· a2
a2a1··· a3
.
.
..
.
.....
.
.
anan≠1··· a1
R
d
d
d
b
œMn(C),
i.e. Aest la matrice dont la t-ième colonne, pour tœ1,n, correspond au vecteur
colonne (–kt)kœ1,n, où :
–kt =;ak≠t+n+1 si kœ1,t≠1
ak≠t+1 si kœt, n.
L’objectif est de calculer det A, et les questions qui suivent ont pour seul but de vous
guider dans ce calcul ; vous n’êtes pas tenu(e) d’y répondre pour y parvenir.
Posons Ê=e2ifi/n, et soit œMn(C)la matrice dont le coefficient (s, t), pour
s, t œ1,n, égale Ê(s≠1)(t≠1).
1) Expliquer pourquoi det ”=0.
Indication. Si s, t œ1,n,onaÊ(s≠1)(t≠1) =(Êt≠1)s≠1.
2) Soit P(X)=a1+a2X+···+anXn≠1œC[X].
a. Soient s, t œ1,n,etcst le coefficient (s, t)de A. Montrer que :
cst =Ê(s≠1)(t≠1)P(Ês≠1).
Indication. Pour kœ1,n, on pourra observer que :
Ê(s≠1)(k≠1) =Ê(s≠1)(k≠t)·Ê(s≠1)(t≠1).
b.En déduire que det(A)=1n≠1
r
s=0
P(Ês)2(det ).
3) Conclure.
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Sujet no3
Soient kun corps commutatif, et nœNú. On rappelle que la trace sur Mn(k)est
définie par :
tr : Mn(k)æk,(mij )i,jœ1,n‘æ
n
q
k=1
mkk.
0) Montrer que tr est une forme linéaire vérifiant, pour tous A, B œMn(k):
tr(AB)=tr(BA).
On se propose maintenant de démontrer la proposition ci-après, et les questions qui
suivent ont pour seul but de vous guider dans la preuve de ce résultat ; vous n’êtes
pas tenu(e) d’y répondre pour y parvenir.
Proposition. Soit „une forme linéaire sur Mn(k). Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i)Pour toutes matrices A, B œMn(k),ona„(AB)=„(BA).
(ii)„est proportionnelle à la trace, c’est-à-dire qu’il existe ⁄œktel que „=⁄tr.
1) Montrer que (ii)∆(i).
2) Pour (i, j)œ1,n2, on définit la matrice Eij =(est)s,t œMn(k)par est =1si
(s, t)=(i, j)et est =0sinon.
a. Montrer que, pour tout (i, j, k, l)œ1,n4,Eij ·Ek,l =Eil si j=k,et
Eij ·Ek,l =0sinon.
b. En déduire la valeur de „(Eij )pour tout (i, j)œ1,n2.
c. Conclure.
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Sujet no4
L’objectif est de démontrer la proposition ci-après, et les questions qui suivent ont
pour seul but de vous guider dans la preuve de ce résultat ; vous n’êtes pas tenu(e)
d’y répondre pour y parvenir.
Proposition. Soient kun corps commutatif, nœNú, et f:M
n(k)ækune applica-
tion (non nécessairement linéaire) vérifiant f(AB)=f(A)f(B)pour toutes matrices
A, B œMn(k).Sifn’est pas constante, alors pour toute matrice MœMn(k), les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i)Mest inversible. (ii)f(M)”=0.
1) a. Montrer que f(In)=1.
b.En déduire que (i)∆(ii).
2) Montrer que f(0) = 0.
3) Soient rœ0,n≠1, et notons Dr=(dij )i,j œMn(k)la matrice diagonale dont
les rpremiers coefficients diagonaux valent 1et les autres 0,i.e. telle que dij =1
si iœ1,ret j=i,etdij =0sinon.
a. Montrer qu’il existe EœGLn(k)telle que DrE=N,avec:
12··· r+1
N=
Q
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
a
01 0 0
.........
...1...
...0...
......0
...0
0...0
R
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
b
1
.
.
.
r
...
...
...
...
,
i.e. N=(nij )i,j œMn(k)avec nij =1si iœ1,ret j=i+1,etnij =0
sinon.
b. En remarquant que Nr+1 =0, montrer que f(Dr)=0.
4) a.Déduire de 3)quef(M)=0si MœMn(k)n’est pas inversible.
b. Conclure.
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Sujet no5
Question de cours
Soient kun corps commutatif, Eun k-espace vectoriel de dimension finie n>0,
et E=(e1,...,e
n),B=(b1,...,b n)deux bases de E. On note Eú=(eú
1,...,e
ú
n)la
base duale de E,Bú=(bú
1,...,b
ú
n)la base duale de B,etPla matrice de passage de
EàB. Rappeler l’expression de Pú, la matrice de passage de EúàBú, en fonction
de P, puis démontrer la formule proposée.
Indication. Pour i, j œ1,n, on pourra remarquer que la composante (i, j)de Pú
correspond à bú
j(ei).
Exercice
Soient nœNr{0,1},Ele R-espace vectoriel Rn,etEúle dual de E. On considère
les formes linéaires fú
1,...,fú
nœEúdéfinies, pour x=(x1,...,x
n)œE, par :
fú
k(x)=xk+xk+1 si kœ1,n≠1,puisfú n(x)=x1+xn.
La famille Fú=(fú
1,...,fú
n)est-elle une base de Eú? Si oui, déterminer la base
préduale de Fú.
Indication. Notant Ela base canonique de E, on pourra commencer par construire
la matrice PúœMn(R)dont la k-ième colonne, pour kœ1,n, correspond aux
coordonnées du vecteur fú
kexprimé dans la base duale Eúde E, puis s’intéresser à
det Pú...
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