2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 1
On désigne par k un corps commutatif, et on se place dans GL2 (k), l’ensemble des
matrices carrées réelles inversibles de taille 2. On pose :
SL2 (k) = {M œ GL2 (k) | det M = 1}.
Pour ⁄ œ k, on définit les matrices de transvection :
3
4
3
1 ⁄
1
T1,2 (⁄) =
œ SL2 (k)
et
T2,1 (⁄) =
0 1
⁄
puis, pour µ œ kú , les matrices de dilatation :
3
4
3
µ 0
1
D1 (µ) =
œ GL2 (k)
et
D2 (µ) =
0 1
0
0
1
0
µ
4
4
œ SL2 (k) ,
œ GL2 (k) .
L’objectif est de démontrer la proposition ci-après, et les questions qui suivent ont
pour seul but de vous guider dans la preuve de ce résultat ; vous n’êtes pas tenu(e)
d’y répondre pour y parvenir.
Proposition.
(i) Pour toute matrice M œ SL2 (k), il existe m œ N et T1 , . . . , Tm
des matrices de transvection tels que M = T1 · · · Tm .
(ii) Pour toute matrice M œ GL2 (k), il existe m œ N, T1 , . . . , Tm des matrices de
transvection et D une matrice de dilatation tels que M = D · T1 · · · Tm .
1) Soient M œ GL2 (k), ⁄ œ k, µ œ kú , et k, l œ {1, 2} distincts.
a. Rappeler l’effet des produits Tk,l (⁄) · M et Dk (µ) · M .
≠1
b. Expliciter les matrices Tk,l
(⁄) et Dk≠1 (µ).
2) Pourquoi le point (ii) est-il conséquence du point (i) ?
3
4
a b
3) Soit M =
œ SL2 (k).
c d
a. On suppose a = 1. Montrer que M se réalise comme produit de transvections.
Indication : on pourra chercher T une matrice de transvection telle que :
3
4
1 b
TM =
.
0 1
b. On suppose a ”= 1. Montrer qu’il existe P un produit de transvections et
bÕ , cÕ , dÕ œ k tels que :
3
4
1 bÕ
PM =
.
cÕ dÕ
c. Conclure.
2
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Mathématiques
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Année 2015/2016
Sujet no 2
Soient n œ Nú , a1 , . . . , an œ C, et :
Q
a1
an
c a2
a1
c
A = c .
..
a ..
.
an an≠1
···
···
..
.
a2
a3
..
.
···
a1
R
d
d
d œ Mn (C) ,
b
i.e. A est la matrice dont la t-ième colonne, pour t œ 1, n , correspond au vecteur
colonne (–kt )kœ 1,n , où :
;
ak≠t+n+1 si k œ 1, t ≠ 1
–kt =
.
ak≠t+1
si k œ t, n
L’objectif est de calculer det A, et les questions qui suivent ont pour seul but de vous
guider dans ce calcul ; vous n’êtes pas tenu(e) d’y répondre pour y parvenir.
Posons Ê = e2ifi/n , et soit
œ Mn (C) la matrice dont le coefficient (s, t), pour
(s≠1)(t≠1)
s, t œ 1, n , égale Ê
.
1) Expliquer pourquoi det =
” 0.
Indication. Si s, t œ 1, n , on a Ê (s≠1)(t≠1) = (Ê t≠1 )s≠1 .
2) Soit P (X) = a1 + a2 X + · · · + an X n≠1 œ C[X].
a. Soient s, t œ 1, n , et cst le coefficient (s, t) de
A. Montrer que :
cst = Ê (s≠1)(t≠1) P (Ê s≠1 ).
Indication. Pour k œ 1, n , on pourra observer que :
Ê (s≠1)(k≠1) = Ê (s≠1)(k≠t) · Ê (s≠1)(t≠1) .
b. En déduire que det( A) =
3) Conclure.
1 n≠1
r
s=0
2
P (Ê s ) (det ).
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Année 2015/2016
Sujet no 3
Soient k un corps commutatif, et n œ Nú . On rappelle que la trace sur Mn (k) est
définie par :
n
q
tr : Mn (k) æ k, (mij )i,jœ 1,n ‘æ
mkk .
k=1
0) Montrer que tr est une forme linéaire vérifiant, pour tous A, B œ Mn (k) :
tr(AB) = tr(BA).
On se propose maintenant de démontrer la proposition ci-après, et les questions qui
suivent ont pour seul but de vous guider dans la preuve de ce résultat ; vous n’êtes
pas tenu(e) d’y répondre pour y parvenir.
Proposition. Soit „ une forme linéaire sur Mn (k). Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) Pour toutes matrices A, B œ Mn (k), on a „(AB) = „(BA).
(ii) „ est proportionnelle à la trace, c’est-à-dire qu’il existe ⁄ œ k tel que „ = ⁄ tr.
1) Montrer que (ii) ∆ (i).
2
2) Pour (i, j) œ 1, n , on définit la matrice Eij = (est )s,t œ Mn (k) par est = 1 si
(s, t) = (i, j) et est = 0 sinon.
4
a. Montrer que, pour tout (i, j, k, l) œ 1, n , Eij · Ek,l = Eil si j = k, et
Eij · Ek,l = 0 sinon.
2
b. En déduire la valeur de „(Eij ) pour tout (i, j) œ 1, n .
c. Conclure.
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Sujet no 4
L’objectif est de démontrer la proposition ci-après, et les questions qui suivent ont
pour seul but de vous guider dans la preuve de ce résultat ; vous n’êtes pas tenu(e)
d’y répondre pour y parvenir.
Proposition. Soient k un corps commutatif, n œ Nú , et f : Mn (k) æ k une application (non nécessairement linéaire) vérifiant f (AB) = f (A)f (B) pour toutes matrices
A, B œ Mn (k). Si f n’est pas constante, alors pour toute matrice M œ Mn (k), les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) M est inversible.
(ii) f (M ) ”= 0.
1) a. Montrer que f (In ) = 1.
b. En déduire que (i) ∆ (ii).
2) Montrer que f (0) = 0.
3) Soient r œ 0, n ≠ 1 , et notons Dr = (dij )i,j œ Mn (k) la matrice diagonale dont
les r premiers coefficients diagonaux valent 1 et les autres 0, i.e. telle que dij = 1
si i œ 1, r et j = i, et dij = 0 sinon.
a. Montrer qu’il existe E œ GLn (k) telle que Dr E = N , avec :
Q
c
c
c
c
c
c
c
N = c
c
c
c
c
c
c
a
1
2
0
1
..
.
r+1
···
0
..
.
..
.
..
.
1
..
.
..
0
0
.
..
.
0
..
.
..
..
..
.
.
.
R
1
d .
d ..
d
d
d r
d
d ..
d . ,
d
d ..
0 d
d .
d .
.
0 d
b .
..
.
0
i.e. N = (nij )i,j œ Mn (k) avec nij = 1 si i œ 1, r et j = i + 1, et nij = 0
sinon.
b. En remarquant que N r+1 = 0, montrer que f (Dr ) = 0.
4) a. Déduire de 3) que f (M ) = 0 si M œ Mn (k) n’est pas inversible.
b. Conclure.
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Sujet no 5
Question de cours
Soient k un corps commutatif, E un k-espace vectoriel de dimension finie n > 0,
et E = (e1 , . . . , en ), B = (b1 , . . . , bn ) deux bases de E. On note E ú = (eú1 , . . . , eún ) la
base duale de E, B ú = (bú1 , . . . , bún ) la base duale de B, et P la matrice de passage de
E à B. Rappeler l’expression de P ú , la matrice de passage de E ú à B ú , en fonction
de P , puis démontrer la formule proposée.
Indication. Pour i, j œ 1, n , on pourra remarquer que la composante (i, j) de P ú
correspond à búj (ei ).
Exercice
Soient n œ Nr{0, 1}, E le R-espace vectoriel Rn , et E ú le dual de E. On considère
les formes linéaires f1ú , . . . , fnú œ E ú définies, pour x = (x1 , . . . , xn ) œ E, par :
fkú (x) = xk + xk+1 si k œ 1, n ≠ 1 ,
puis
fnú (x) = x1 + xn .
La famille F ú = (f1ú , . . . , fnú ) est-elle une base de E ú ? Si oui, déterminer la base
préduale de F ú .
Indication. Notant E la base canonique de E, on pourra commencer par construire
la matrice P ú œ Mn (R) dont la k-ième colonne, pour k œ 1, n , correspond aux
coordonnées du vecteur fkú exprimé dans la base duale E ú de E, puis s’intéresser à
det P ú . . .
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Sujet no 6
Question de cours
Rappeler l’énoncé et la démonstration du théorème du rang.
Exercices
On désigne par k un corps commutatif.
1) Soient E un k-espace vectoriel de dimension finie paire n = 2k, k œ N, et f un
endomorphisme de E. Démontrer l’équivalence entre les conditions suivantes :
(i) f ¶ f = 0 et rg f = k.
(ii) ker f = im f .
2) Soient E, F, G trois k-espaces vectoriels, et f œ L(E, F ), g œ L(F, G). On suppose
E et F de dimensions finies. Montrer que :
dim[ker(g ¶ f )] 6 dim(ker f ) + dim(ker g).
Indication. On pourra considérer la restriction de f à ker(g ¶ f ).
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Sujet no 7
On fixe k un corps commutatif, E un k-espace vectoriel, et f un endomorphisme de
E. On pose f 0 = idE , puis on définit, pour tout k œ N, l’endomorphisme f k+1 de E
en posant f k+1 = f ¶ f k .
1) Soit k œ N. Montrer que ker f k µ ker f k+1 et im f k+1 µ im f k .
2) On suppose qu’il existe d œ N tel que ker f d = ker f d+1 . Montrer qu’alors, pour
tout entier k œ Nú , on a ker f d = ker f d+k .
Dans tout ce qui suit, on suppose E de dimension finie n > 0.
3) a. Montrer qu’il existe d œ N tel que ker f d = ker f d+1 .
b. Soit r = min{d œ N | ker f d = ker f d+1 }. Montrer que, pour tout k œ 0, r≠1 ,
on a ker f k ”= ker f k+1 et im f k ”= im f k+1 .
4) On suppose f nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe d œ Nú tel que f d = 0. Notons
‹ = min{d œ Nú | f d = 0} l’indice de nilpotence de f . Montrer que ‹ 6 n.
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Sujet no 8
Question de cours
Rappeler l’énoncé et la démonstration de la formule du changement de base (on
pourra se limiter au cas des endomorphismes).
Exercice
On se place dans le Q-espace vectoriel E = Q3 , et on considère l’endomorphisme f
de E dont la matrice dans la base canonique de E est donnée par :
Q
R
0 2 ≠2
M = a 0 3 ≠2 b .
0 1 0
On pose f 0 = idE , puis on définit, pour tout k œ N, l’endomorphisme f k+1 de E en
posant f k+1 = f ¶ f k .
1) a. Montrer que f 3 = 3f 2 ≠ 2f .
b. Supposons qu’il existe ⁄ œ Q et x œ Er{0E } tel que f (x) = ⁄x. Montrer que
⁄ vérifie ⁄3 = 3⁄2 ≠ 2⁄.
c. En déduire que l’ensemble
vérifie µ {0, 1, 2}.
des valeurs ⁄ œ Q telles que ker(f ≠⁄ idE ) ”= {0E }
2) Pour ⁄ œ , on pose E⁄ = ker(f ≠ ⁄ idE ).
a. Démontrer que, pour tout ⁄ œ
générateur b⁄ de E⁄ .
, E⁄ est de dimension 1, et déterminer un
b. Montrer que la famille B = (b0 , b1 , b2 ) ainsi obtenue forme une base de E.
c. Expliciter D, la matrice de l’endomorphisme f dans la base B.
3) Soit P la matrice de passage de E à B.
a. Exprimer M en fonction de D, P et P ≠1 .
b. En déduire l’expression de f n (x, y, z), pour tous n œ N et (x, y, z) œ E.
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