Devoir maison n° 3

Devoir maison n° 4
A rendre pour le
30 / 11 / 04
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O,Error!,Error!). On rappelle que pour tout vecteur
Error! non nul, d'affixe z, on a : | z | = || Error! || et arg(z) = (Error! , Error! ), défini à 2 k  près.
Dans cet exercice, on prend comme prérequis le résultat suivant :
Si z et z' sont deux nombres complexes non nuls alors arg(z z') = arg(z)+arg(z') (à 2 k  près).
1° Soit z et z' sont deux nombres complexes non nuls, démontrer que : arg Error! = arg (z) – arg (z')
On note A et B les points d’affixes respectives 2 i et – 1.
A tout nombre complexe z, distinct de 2 i, on associe le nombre complexe Z = Error! ·
2° Donner une interprétation géométrique de l’argument de Z dans le cas où z  – 1.
3° Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question précédente, les ensembles de points suivants :
a) L’ensemble E des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre réel négatif.
b) L’ensemble F des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre imaginaire pur.
1° z'  Error! = z donc arg Error! = arg z donc arg z' + arg Error! = arg z donc arg Error! = arg z – arg z'
2° z + 1 est l'affixe de Error! et z – 2 i est l'affixe de Error! .
On a arg Z = arg (z + 1) – arg (z – 2 i) = (Error! , Error!) – (Error! ; Error!)= (Error! , Error!)
3° a) M  A
Z  I; R–  arg Z =  [2 ] ou Z = 0  (Error! , Error!) =  ou M = B  M  [AB] – {A}
b) M  A
Z  i I; R  arg Z = Error! [ ] ou M = B  Error!  Error! ou M = B  M est sur le cercle de diamètre
[AB] privé de A.
Remarque : "algébriquement " c'est plus compliqué (surtout pour le a))
Z = Error! = Error! = Error!
= Error! + i Error!
a) x + i y  2 i
Z  I; R–  Error! = 0 et Error!  0  y = 2 x + 2 et x2 + (2 x + 2)2 – 2 (2 x + 2) + x  0.
y = 2 x + 2 et 5 x2 + 8 x + 4 – 4 x – 4 + x  0  y = 2 x + 2 et 5 x2 + 5 x  0  y = 2 x + 2 et 0  x  – 1
On obtient le segment de la droite d'équation " y = 2 x + 2 " d'extrémité A(2 i) et B ( – 1) privé du point A
b) x + i y  2 i
Z  i I; R  Error! = 0  x2 + x + y2 – 2 y = 0  Error!Error! + (y – 1)2 = Error!
On obtient le cercle de centre (– 1/2 + i) de rayon 5/2 privé de A.