Devoir maison n° 3

Devoir maison n° 4
A rendre pour le
30 / 11 / 04
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O,
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,
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). On rappelle que pour tout vecteur
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non nul, d'affixe z, on a : | z | = ||
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|| et arg(z) = (
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,
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), défini à 2 k  près.
Dans cet exercice, on prend comme prérequis le résultat suivant :
Si z et z' sont deux nombres complexes non nuls alors arg(z z') = arg(z)+arg(z') (à 2 k  près).
1° Soit z et z' sont deux nombres complexes non nuls, démontrer que : arg
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= arg (z) – arg (z')
On note A et B les points d’affixes respectives 2 i et – 1.
A tout nombre complexe z, distinct de 2 i, on associe le nombre complexe Z =
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·
2° Donner une interprétation géométrique de l’argument de Z dans le cas où z – 1.
3° Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question précédente, les ensembles de points suivants :
a) L’ensemble E des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre réel négatif.
b) L’ensemble F des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre imaginaire pur.
1° z'
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= z donc arg
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= arg z donc arg z' + arg
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= arg z donc arg
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= arg z – arg z'
2° z + 1 est l'affixe de
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et z – 2 i est l'affixe de
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.
On a arg Z = arg (z + 1) – arg (z – 2 i) = (
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,
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) – (
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;
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)= (
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,
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)
3° a) M A
Z I; R– arg Z =  [2 ] ou Z = 0 (
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,
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) =  ou M = B M [AB] – {A}
b) M A
Z i I; R arg Z =
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[ ] ou M = B
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ou M = B M est sur le cercle de diamètre
[AB] privé de A.
Remarque : "algébriquement " c'est plus compliqué (surtout pour le a))
Z =
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=
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=
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=
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+ i
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a) x + i y 2 i
Z I; R–
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= 0 et
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0 y = 2 x + 2 et x2 + (2 x + 2)2 – 2 (2 x + 2) + x 0.
y = 2 x + 2 et 5 x2 + 8 x + 4 – 4 x – 4 + x 0 y = 2 x + 2 et 5 x2 + 5 x 0 y = 2 x + 2 et 0 x – 1
On obtient le segment de la droite d'équation " y = 2 x + 2 " d'extrémité A(2 i) et B ( – 1) privé du point A
b) x + i y 2 i
Z i I; R
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= 0 x2 + x + y2 – 2 y = 0
Error!Error!
+ (y – 1)2 =
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On obtient le cercle de centre (– 1/2 + i) de rayon 5/2 privé de A.