c3puiss complet

Puissances
1. Notation an
a) Définitions et vocabulaire
a est un nombre relatif non nul.
a0 = 1 ex : 70 ; (-3,14)0 ; (-3/a)0...
a1 = a ex : 71 ; (-3,14)1 ; (-3/a)1...
Si n  2 alors an = axax...xa ( produit de n facteurs égaux à a) ex : 23 ; (-3)4 ; (-1)1997
an est la puissance de a, d’exposant n et on lit « a puissance n ».
Rq : a² est le carré de a et a3 est le cube de a.
a-1 =
Error!
(l’inverse de a se note
Error!
ou a-1) ex : 2-1 ; (-5)-1 ; (3/7)-1
Si n  0 alors a-n =
Error!
(l’inverse de an ) ex : 4-2 ; (-5)-3
b) Des pièges à éviter
-26 et (-2)6 3x74 et (3x7)4 5+3² et (5+3)²
La puissance s’adresse au nombre placé devant ou entre parenthèses.
La puissance est toujours prioritaire sur les autres opérations.
2. Règles de calcul
Pour tout nombre relatif a, pour tous les nombres entiers m et n, positifs, négatifs ou nuls, on a :
R1 : am xan = am + n. ex : 103x102 ; (-2)2x(-2)3
R2 :
Error!
= am - n ex : 210/28 ; 33/37 ; 10-4/102 ; 10-3/10-5
démo :
Error!
= am x
Error!
= am x a-n = am - n
R3 : (am)n = am x n. ex : (2²)3 ; (10-3)2 ; (5-2)-3 ;
R4 : anx bn = (axb)n ex : 53x23 ; (3x4)-2
R5 :
Error!
= (
Error!
)n ex : 83;163 ; (
Error!
)2
3. Utiliser les puissances de 10
a) Ecriture décimale des puissances de 10
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
106
109
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
1000000
1000000000
Conclusion :
10n = 10.........0 avec n zéros
10-n = 0,0.......01 avec n chiffres après la virgule.
b) Ecriture scientifique
On utilise les puissances pour écrire des nombres décimaux et pour les comparer.
Exemple :
21375 = 2137,5x10 = 2137,5x101 0,0032 = 0,032x0,1 = 0,032x10-1
21375 = 213,75x100 = 213,75 x 102 0,0032 = 3,2x0,001 = 3,2x10-3
21375 = 2,1375x104

21375 = 0,0021375x107
Définition :
L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme ax10n où a est un décimal ayant 1 seul chiffre
différent de 0 avant la virgule.
Exemple : 21375 = 2,1375x104 et 0,0032 = 3,2x10-3
Comparer, encadrer des nombres décimaux :
exemple : un nombre de la forme ax1012 est compris entre 1012 et 1013 car a est compris entre 1 et
10.