Courbes duales et Formules de Plücker

Courbes duales et Formules de Pl¨ucker
Christelle Vuignier
23 d´ecembre 2010
Table des mati`eres
1 Motivation 2
2 Rappels 2
3 La bidualit´e d’une courbe 2
3.1 Invariants num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Preuve de C=C∗∗ ............................... 4
4 Les courbes de Pl¨ucker 5
4.1 Deux types de singularit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 LesformulesdePl¨ucker ............................ 7
5 Preuve des formules de Pl¨ucker 9
1

1 Motivation
Le but de cet expos´e est d’introduire les formules de Pl¨ucker. Celles-ci pr´esentent des
relations entre certains invariants d’une courbe alg´ebrique de Pl¨ucker Cet ceux de sa
courbe duale C∗. Les courbes de Pl¨ucker sont particuli`eres car leurs singularit´es consistent
seulement en des points de rebroussement simples ou en des doubles points simples.
De plus, ces formules nous permettent de calculer le nombre de double tangentes, et de
points d’inflection dans une courbe de Pl¨ucker.
Avant de traiter les courbes de Pl¨ucker, nous montrons qu’en dualisant deux fois une
courbe alg´ebrique C, nous obtenons `a nouveau la mˆeme courbe, i.e. C=C∗∗. Ce r´esultat
intervient dans la preuves des formules de Pl¨ucker.
Nous commen¸cons par quelques rappels.
2 Rappels
Soit C⊂P2(C) une courbe alg´ebrique. Sa courbe duale est donn´ee par
C∗={L∈P∗
2(C) tel que Lest une tangente `a Cen p∈C}.
Dans l’expos´e pr´ec´edent, plusieurs propri´et´es de C∗ont ´et´e d´emontr´ees. Plus pr´ecis´ement,
nous avons vu le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 2.1 Soit C⊂P2(C)une courbe alg´ebrique sans droite comme composante.
Alors
1. C∗⊂P∗
2(C)est une courbe alg´ebrique,
2. Si Cest irr´eductible, alors C∗est ´egalement irr´eductible et degC∗≥2,
3. C∗∗ =C.
Les deux premiers points ont ´et´e prouv´es lors de l’expos´e pr´ec´edent. Nous d´emontrons
le troisi`eme point dans la section suivante.
3 La bidualit´e d’une courbe
Dans cette section, nous introduisons d’abord certains nombres entiers appel´es inva-
riants num´eriques (d’une param´etrisation). Ceux-ci sont primordiaux pour la preuve du
point 3 du Th´eor`eme 2.1.
3.1 Invariants num´eriques
Afin de d´efinir les invariants num´eriques, nous pr´esentons d’abord le lemme suivant.
2

Lemme 3.1 Soient U⊂Cun voisinage ouvert de 0 et ϕ:U−→ P2(C)une application
holomorphe, tel que ϕ(U)n’ est pas contenu dans une droite.
Alors il existe α1, α2∈Nuniquement d´etermin´es, de fa¸con `a ce que ϕpeut s’´ecrire comme
ϕ(t) = (ϕ0(t) : ϕ1(t) : ϕ2(t)) avec
ϕ0= 1
ϕ1=t1+α1+...
ϕ2=t2+α1+α2+...
o`u ... indique les termes de degr´e plus haut en t, par une transformation lin´eaire de P2(C).
Preuve. Soit φ:U→C3un lift de ϕ, c’est-`a-dire ϕ|U= (φ0:φ1:φ2).
Consid´erons la suite des d´eriv´ees de φ
φ(0),˙ φ(0),¨ φ(0), ..., φ(k)(0), ...,
Comme ϕ(U) n’ est pas contenu dans une droite par hypoth`ese, il existe alors des α1, α2∈N
tels que
(φ(0), φ1+α1(0), φ2+α1+α2(0))
est une base de C3. On choisit α1, α2minimaux avec cette propri´et´e, ce qui nous permet
d’ajuster les coordonn´ees afin d’avoir φ(0) = (1,0,0) et φ0= 1. Nous avons alors
(φ1(t), φ2(t)) = t1+α1(˙ φ1(t),˙ φ2(t))
avec ( ˙ φ1(0),˙ φ2(0)) 6= (0,0) par d´efinition de α1. Nous r´eit´erons le processus afin d’obtenir
(˙ φ1(0),˙ φ2(0)) = (1,0). Nous obtenons alors que
˙
φ2(t) = t1+α2¨ φ2(t) avec ¨ φ2(0) 6= 0 ⇒φ2(t) = t1+α1·t1+α2·¨ φ2(t) = t2+α1+α2·¨ φ2(t)
par d´efinition de α2. Nous transformons une derni`ere fois les coordonn´ees afin que ¨ φ2(0) = 1.
Ainsi φ2(t) = t2+α1+α2, ce qui ´etait `a d´emontrer.
L’unicit´e r´esulte de la minimalit´e de α1et α2.2
D´efinition 3.1 Les nombres α1, α2sont les invariants num´eriques locaux de la pa-
ram´etrisation ϕau point 0.
Ces invariants num´eriques satisfont `a (preuve plus tard (cf [1, ch.8.1]))
1.1 + α1= ordp(C)
2.2 + α1+α2= multp(C∩TpC).
Ainsi pest une singularit´e de Csi et seulement si α16= 0, (cf [1, p.31]), tandis que pest
un point d’inflection de Csi et seulement si α26= 0 (et α1= 0)(cf [1, p.36]). Nous sommes
maintenant prˆets pour d´emontrer que C=C∗∗ (cf Th´eor`eme 2.1, point 3).
3

3.2 Preuve de C=C∗∗
Consid´erons deux param´etrisations holomorphes
ϕ:S→C⊂P2(C) et ϕ∗:S→C∗⊂P∗
2(C),
o`u Sest une surface de Riemann (cf [1, p.59]).
Nous allons construire une param´etrisation ϕ∗∗ :S→C∗∗ et montrer que ϕ=ϕ∗∗.
Pour un o∈Set o∈U⊂Ssoit ϕ|U= (φ0:φ1:φ2) avec
φ0= 1
φ1=t1+α1+...
φ2=t2+α1+α2+...
(1)
(cf lemme 3.1). Pour passer de ϕ`a ϕ∗, nous avons besoin de connaˆıtre l’´equation lin´eaire
de la tangente. Calculons d’abord les d´eriv´ees des composantes de notre param´etrisation.
Nous avons 
˙
φ0= 0
˙
φ1= (1 + α1)tα1+...
˙
φ2= (2 + α1+α2)t1+α1+α2+...
Ces d´eriv´ees nous permettent de construire la matrice (cf [1, p.59-60])
A=φ0φ1φ2
˙
φ0˙ φ1˙ φ2
=1t1+α1t2+α1+α2
0 (1 + α1)tα1(2 + α1+α2)t1+α1+α2.
Pour connaˆıtre les ´equations de la tangente, nous avons besoin de connaˆıtre les mineurs,
i.e. le produit vectoriel des lignes de la matrice A. Nous obtenons donc ai:= (−1)idetAi
(cf [1, p 60])
a0=t1+α1·(2 + α1+α2)t1+α1+α2−t2+α1+α2·(1 + α1)tα1
a1=−(1 ·(2 + α1+α2)t1+α1+α2−0)
a2= 1 ·(1 + α1)tα1−0
et donc 
a0= (1 + α2)t2+2α1+α2+...
a1=−(2 + α1+α2)t1+α1+α2+...
a2= (1 + α1)tα1+...
Nous obtenons ainsi l’application
(a0, a1, a2) : U→C3
qui permet d’obtenir la param´etrisation ϕ∗|U, i.e. les coordonn´ees de la tangente dans
l’espace dual P∗
2(C) (cf Lemme 3.1). Il reste `a retirer la plus grande puissance commune
4

aux aicar nous obtenons la mˆeme tangente si l’on multiplie les coordonn´ees par un scalaire
quelconque. Nous obtenons finalement
φ∗
0= (1 + α2)t2+α2+α1+...,
φ∗
1=−(2 + α1+α2)t1+α2+...,
φ∗
2= (1 + α1) + ...
(2)
En comparant (1) et (2) nous avons que
α∗
1=α2et α∗ 2=α1.(3)
D´eterminons maintenant la param´etrisation ϕ∗∗.Le proc´ed´e est le mˆeme que ci-dessus.
Nous d´erivons φ∗
i, i = 0,1,2, ce qui nous permet de construire la matrice A∗dans le but
de calculer les mineurs de celle-ci. On a donc la matrice
A∗=φ∗
0φ∗ 1φ∗ 2
˙
φ∗
0˙
φ∗
1˙
φ∗
2
=(1 + α2)t2+α2+α1−(2 + α1+α2)t1+α2(1 + α1)
(1 + α2)(2 + α2+α1)t1+α2+α1−(2 + α1+α2)(1 + α2)tα20.
Les mineurs de cette matrice sont
a∗
0= 0 −(1 + α1)(−(2 + α1+α2)(1 + α2)tα2)
a∗
1=−(0 −(1 + α1)(1 + α2)(2 + α2+α1)t1+α2+α1
a∗
2= (1 + α2)t2+α2+α1−(2 + α1+α2)(1 + α2)tα2
+(2 + α1+α2)t1+α2(1 + α2)(2 + α2+α1)t1+α2+α1
et donc 
a∗
0=ctα2+...
a∗
1=ctα2t1+α1+...
a∗
2=ctα2t2+α1+α2+...
avec c= (1 + α1)(1 + α2)(2 + α1+α2).
Par calculs, nous obtenons ϕ∗∗(o) = ϕ(o). Comme oa ´et´e choisi arbitrairement, nous
avons donc que ϕ∗∗ =ϕ, et donc C∗∗ =C.2
4 Les courbes de Pl¨ucker
Jusqu’`a pr´esent, nous avons trait´e des courbes alg´ebriques en g´en´eral. A partir de
maintenant, nous nous restreignons au cas particulier des courbes de Pl¨ucker.
D´efinition 4.1 Une courbe alg´ebrique C⊂P2(C)est une courbe de Pl¨ucker, si
1. Cest irr´eductible et degC≥2,
5