M303 : Topologie

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
M303 : Topologie
Notes de cours par Clément Boulonne
L3 Mathématiques 2008 - 2009

Table des matières
Notations 3
1 Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topolo-
giques 4
1.1 Distance ........................................ 4
1.1.1 Définitions et exemples ............................ 4
1.1.2 Premières propriétés ............................. 5
1.1.3 Distances équivalentes ............................ 7
1.1.4 Distance induite et distance produit ..................... 8
1.1.5 Espaces vectoriels normés .......................... 8
1.2 Topologie d’un espace métrique ........................... 9
1.2.1 Voisinages ................................... 9
1.2.2 Distances topologiquement équivalentes ................... 11
1.2.3 Ouverts, fermés ................................ 12
1.2.4 Intérieur, extérieur, frontière et adhérence ................. 13
1.2.5 Suites convergente et valeurs d’adhérence d’une suite ........... 15
1.3 Espaces topologiques et applications continues ................... 16
1.3.1 Topologie sur un ensemble .......................... 16
1.3.2 Ouverts, fermés ................................ 17
1.3.3 Intérieur, extérieur, frontière et adhérence ................. 18
1.3.4 Topologie induite : sous-espaces ....................... 18
1.3.5 Suites dans un espace topologique ...................... 19
1.4 Applications continues ................................ 19
1.4.1 Cas pour les espaces métriques ....................... 19
1.4.2 Cas topologique ................................ 21
1.4.3 Uniforme continuité et Lipschitz continuité ................. 21
2 Espaces métriques compacts 23
2.1 Définitions et quelques propriétés .......................... 23
2.2 Compactié en termes de recouvrements ouverts .................. 24
2.3 Applications continues d’espaces métriques compacts ............... 27
2.4 Parties compactes de Rn............................... 28
3 Espaces connexes (Espaces topologiques connexes) 30
3.1 Définitions et propriétés ............................... 30
3.2 Fonctions continues sur des espaces connexes .................... 31
3.3 Composantes connexes ................................ 33
3.4 Connexité par arcs .................................. 35
2

3
4 Espaces métriques complets, espaces de Banach 38
4.1 Suites de Cauchy, espaces complets ......................... 38
4.2 Propriétés des espaces complets ........................... 44
4.3 Espaces de Banach .................................. 46
4.4 Théorème du point fixe ................................ 47
4.5 Théorème d’Ascoli .................................. 49
4.5.1 Condition nécessaire à la compacité ..................... 49
4.5.2 Condition nécessaire et suffisante ...................... 50

Notations
•Q: corps des rationnels
•R: corps des réels
•C: corps des complexes
•N: ensemble des entiers positifs
•Z: ensemble des entiers
4

Chapitre 1
Généralités sur les espaces métriques et
introduction aux espaces topologiques
1.1 Distance
Définition 1.1.1. Connaître la proximité1, c’est d’abord de mesurer la distance.
1.1.1 Définitions et exemples
Définition 1.1.2. Une distance dsur un ensemble Eest une application :
d:E×E→[0,+∞[
(x, y)7→ d(x, y)
qui vérifient trois conditions.
1) d(x, y)=0⇔x=y(deux objets confondus)
2) d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈E(symétrie)
3) d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z)(inégalité triangulaire)
Définition 1.1.3. Un espace métrique est la donnée d’un ensemble muni d’une distance : (E, d)
Remarque. •Sur un ensemble donné, il peut y avoir plusieurs distances : on notera le couple
(E, d)pour préciser la distance concernée de l’espace.
•Distance = métrique.
Exemple 1.1.1 (Espaces métriques).1. (R, d)avec d: (x, y)7→ |x−y|. Plus généralement :
–(Rn, d1)avec d1(x, y) = |x1−y1|+... +|xn−yn|avec x= (x1, ..., xn)et y= (y1, ..., yn)
–(Rn, d∞)avec d∞= max
1≤i≤n|xi−yi|
–(Rn, d2)avec d2(x, y) = q(x1−y1)2+... + (xn−yn)2
2. Espaces fonctionnels (les "points" (éléments) de Esont des fonctions). On a que C0([0,1],R)
est l’ensemble des fonctions continues de [0,1] à valeurs réels. Il y a plusieurs distances
possibles pour cet ensemble :
–d∞(f, g) = max
x∈[0,1] |f(x)−g(x)|
–d1(f, g) = R1
0|f(x)−g(x)|dx
–d2(f, g) = qR1
0|f(x)−g(x)|2dx
1voisinage
5