Topologie différentielle

Topologie différentielle
Antoine Gournay
Institut de Mathématiques,
Université de Neuchâtel
Suisse
Septembre, 2012
Notes de Cours
Table des matières
Introduction
1
2
v
Variétés, transversalité et degré
1.1 Variétés et espaces tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.i Variétés lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.ii L’espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.iii Valeurs régulières et le théorème fondamental de l’algèbre
1.1.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le théorème de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.i Sous-variétés et valeur régulières . . . . . . . . . . . . .
1.2.ii Variétés à bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.iii Le théorème du point fixe de Brouwer . . . . . . . . . . .
1.2.iv La preuve du théorème de Sard . . . . . . . . . . . . . .
1.2.v Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Le degré modulo 2 et le théorème de Borsuk-Ulam . . . . . . . .
1.3.i Homotopies et isotopies lisses . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.ii Le degré modulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.iii Le théorème de Borsuk-Ulam . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Orientabilité et degré de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.i Variétés orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.ii Degré de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.iii Le théorème de la “sphère poilue” . . . . . . . . . . . . .
1.4.iv Le théorème de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.v Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triangulation, Homologie, et caractéristique d’Euler
2.1 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . .
2.1.i Complexes simpliciaux et bord . . . . . .
2.1.ii Homologie et Homologie relative . . . .
2.1.iii Excision et suites exactes . . . . . . . . .
2.1.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . .
i
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31
31
31
33
35
37
TABLE DES MATIÈRES
2.2
2.3
3
39
2.2.i
Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2.ii
Complexes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.2.iii Caractéristique d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2.iv Cas des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.2.v
Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Triangulation et deux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.i
Plongement et triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.ii
Le théorème d’Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.iii Le théorème du point fixe de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Fibrés, Intersection, et ... caractéristique d’Euler
47
3.1
Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.1.i
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.1.ii
Isomorphismes et sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.iii Comment bricoler un nouveau fibré à partir d’anciens . . . . . . . . . . . .
50
3.1.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Transversalité et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.i
Transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.ii
Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.2.iii Caractéristique d’Euler, via l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.2.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Indice des champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.i
L’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.ii
Les points non-dégénérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.3.iii Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Théorème de Poincaré-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.4.i
Le lemme de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.4.ii
Division barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.4.iii Le théorème et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.4.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2
3.3
3.4
4
Calcul et invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorie de Morse
71
4.1
Coupes et Greffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.1.i
Fonctions de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.1.ii
Indices des points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.1.iii Type d’homotopie et valeurs critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2.i
Les sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2.ii
Les inégalités de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2
ii
TABLE DES MATIÈRES
5
6
Classes caractéristiques
5.1 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.i Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.ii Polygonisation duale et dualité de Poincaré . . .
5.1.iii Produit d’union et d’intersection . . . . . . . . .
5.1.iv La classe d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.v Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Classe de Stiefel-Whitney et de Chern . . . . . . . . . .
5.2.i Les classes d’obstructions . . . . . . . . . . . .
5.2.ii Définition géométrique ; version cohomologique
5.2.iii Définition géométrique ; version homologique . .
5.2.iv Définition axiomatique . . . . . . . . . . . . . .
5.2.v Les espaces projectifs réels . . . . . . . . . . . .
5.2.vi Quelques derniers résultats . . . . . . . . . . . .
5.2.vii Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . .
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73
73
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79
81
83
86
87
89
91
Cobordisme
6.i
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.ii
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
93
93
Bibliographie
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95
iii
TABLE DES MATIÈRES
iv
Introduction
La présente version des notes n’est encore qu’un brouillon (encore incomplet, probablement pas
assez cohérent et riche en erreurs). Dessins, exemples et discussions viendront souvent à manquer ;
l’index est incomplet. L’honorable lecteur est ainsi prié de transmettre à l’auteur les erreurs qu’il y
trouvera, les références qui lui semblent faire défaut dans l’index, et les passages qui lui semblent
trop confus ou trop peu illustrés.
Le premier chapitre n’est qu’une répétition éhontée des sections 1 à 5 du livre de Milnor
“TftDV”, avec quelques emprunts au livre de Guillemin & Pollack “DT” et de Hirsch “DT”. Le
second chapitre est un mélange de Sato “AT :aIA”, Vick “HT :aItAT” et Rotman “aItAT”. Le troisième chapitre mélange Milnor & Stasheff “CC”, Milnor “TftDV”, Guillemin & Pollack “DT” et
Hirsch “DT”. Le quatrième chapitre est tiré de Hirsch “DT” et de Milnor “MT”. La §5.1 est prise
de Milnor & Stasheff “CC” et la §5.2 de Milnor “TftDV” et Hirsch “DT”.
Le texte des démonstrations ne contrastant pas beaucoup avec le reste, un en marque la fin.
Pour les mêmes raisons, un F termine le texte des définitions et remarques. Un ♣ clôt la vérification
qu’un objet est bien défini, un ♠ marque la fin d’un exemple et un chapeaute les remarques.
Voici quelques notations qui seront employées tout au long de ce texte :
Z pour l’ensemble des entiers (positifs, négatifs ou nul). R pour l’ensemble réel. Quelques
notations qui seront utilisées pour des sous-ensembles de ceux-ci sont Z≥a (des entiers supérieurs
ou égaux à a), R<a ou ] − ∞, a[ (des réels strictement inférieurs à a), ]a, b] (pour les réels strictement
plus grand que a et plus petits ou égaux à b), etc...
Pour n ∈ Z>0 , n signifie l’ensemble {1, 2, 3, . . . , n} des entiers compris entre 1 et n (inclusivement).
Lorsqu’un symbole qui n’a pas été préalablement défini apparaît dans une égalité := c’est qu’il
s’agit là de sa définition.
La composition de deux fonctions f : A → B et g : B → C, notée g ◦ f , est la fonction
g◦ f : A → B
x 7→ g( f (x))
Si A, B sont deux ensembles, S ⊂ B un sous-ensemble et F : A → B une application, alors
:= {a ∈ A | ∃s ∈ S, F(a) = s} est appelé l’image réciproque de S par F.
Finalement, quelques mots sur certaines abréviations :
F −1 (S)
1. i.e. (lat. id est) signifie plus ou moins “c’est la même chose que”, “de manière équivalente”,
“en d’autres mots”, ...
v
Introduction
2. e.g. (lat. exempli gracia) signifie par exemple “par exemple”.
3. c’àd. (fr. c’est-à-dire) est un peu comme i.e. mais en moins chic.
4. “ou (équiv.)” pour préciser que la conjonction “ou” qui précède est en fait une équivalence
mais que l’auteur n’a pas la motivation nécessaire pour la démontrer.
5. “... X (resp. Y) ... Z (resp. W) ...” signifie qu’on peut lire une première fois la définition/le
théorème avec X et Z, puis une seconde fois mais avec Y et W au lieu de X et Z.
6. mutatis mutandis = “ce qui devait être changé ayant été changé”, une phrase très utile, comme
le lecteur peut s’en douter, car il faut deviner ce qui doit être changé.
7. ceteris paribus [sic stantibus] = “toute chose égale par ailleurs”, pour bien spécifier qu’on
change une quantité, mais que toutes les autres restent égales.
L’auteur tient à mentionner que les citations en début de chapitre ont un but strictement autodérisoire.
vi
Chapitre 1
Variétés, transversalité et degré
ch-vartransdeg
“Il est rarement question de topologie différentielle au théâtre de variété”
-U N CRITIQUE SURPRIS SUR CE POINT
1.1
Variétés et espaces tangents
1.1.i
Variétés lisses
s-variete
Étant donné deux ouverts U ⊂ Rk et V ⊂ Rl , une application f : U → V est dite lisse et ceci se
note f ∈ C ∞ (U;V ) si toutes les dérivées partielles existent et sont continues. Bien que loin d’être
le point d’intérêt principal, il sera parfois utile de demander un peu moins, c’àd. que les dérivées
partielles existent et soient continues jusqu’à l’ordre k, noté f ∈ C k (U;V ).
Plus généralement, si X ⊂ Rk et Y ⊂ Rl , une application f : X → Y est dite lisse (resp. C k ) si
∀x ∈ X, il existe un ouvert U contenant x et une autre application F : U → Rl telle que F restreinte
à U ∩ X est identiquement égale à f : F|U∩X = f|U∩X . Ceci se notera aussi f ∈ C ? (X;Y ) où ? est le
degré de régularité souhaité.
Définition 1.1.1: Une application f : X → Y est dite un difféomorphisme si f est un homéomorphisme (i.e. continue, bijective et d’inverse continue) et que f et son inverse f −1 sont toutes deux
lisses.
F
E XERCICE 1: Montrer que l’identité est lisse. Montrer que la composition de deux applications
lisses est lisse. En déduire, que la composition de deux difféomorphismes est un difféomorphisme.
Exemple 1.1.2: Soit S1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x12 + x22 = 1}. L’application Rθ : S1 → S1 définie par
Rθ (x1 , x2 ) =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
!
!
x1
.
x2
Cette application s’étend en fait à R2 . En particulier, tout point x ∈ S1 possède un voisinage (même
un très gros voisinage : R2 !) tel que Rθ est lisse sur ce voisinage (toute application linéaire est lisse).
De plus Rθ ◦ R−θ = Id, ainsi Rθ possède un inverse qui est lui aussi lisse.
♠
1
1.1 - Variétés et espaces tangents
Il est dores et déjà possible de dire que la topologie différentielle est l’étude des propriétés d’un
ensemble X qui restent invariantes par difféomorphismes... Mais X ne peut pas être n’importe quel
ensemble. En effet, cela ne fonctionne bien que si X a des propriétés bien particulières.
Tout d’abord rappelons que la phrase “W est un voisinage de x” signifie que W est un ouvert
contenant x, noté W ∈ Vois x ou W ∈ Vois Z x pour spécifier que le voisinage est pris dans Z. En effet,
un point x peut appartenir à plusieurs ensembles munis de topologies différentes ce qui peut créer
un confusion. Cependant, nous aurons seulement affaire au cas où les topologie sont induites par le
plus grand ensemble. Ainsi, si X ⊂ Rk et x ∈ X, un voisinage de x dans X a la forme U ∩ X où U est
un voisinage de x dans Rk .
Définition 1.1.3: M ⊂ Rk est dit une (sous-)variété différentielle lisse de dimension m ∈ N si pour
tout x ∈ M, ∃W ∈ Vois M x tel que W est difféomorphe à un ouvert U ⊂ Rm .
Un difféomorphisme g : U → W ⊂ M est dit un paramétrage et un difféomorphisme f : W →
U ⊂ Rk une carte (ou un système de coordonnées).
F
Il sera souvent utile de parler de variété de dimension 0 et −1. Une variété de dimension 0 est
un ensemble X ⊂ Rk tel que tout point possède un voisinage W qui ne consiste qu’en x lui-même.
La variété de dimension −1 est l’ensemble vide.
L’espace Rk est souvent appelé l’espace ambient.
Exemple 1.1.4: Soit S1 comme à l’exemple précédent. Pour montrer que S1 est une variété, commençons par le point (0, 1) ∈ S1 . Soit π : S1 → R définie par π(x1 , x2 ) = x1 . Comme π s’étend à
1
2
R2 , il s’agit bien d’une application lisse. De plus, sur
q l’ouvert S+ = {(x1 , x2 ) ∈ R | x2 > 0} la
fonction π|S1+ est injective. En effet, π−1
(x ) = (x1 ,
|S1 1
+
1 − x12 ). C’est même une fonction lisse sur
] − 1, 1[= π(S1+ ). Ainsi, π est un difféomorphisme d’un voisinage de (0, 1) sur un ouvert de R.
Maintenant tout autre point (x1 , x2 ) ∈ S1 peut être envoyé par une rotation Rθ sur (0, 1). Ainsi
tout point possède un voisinage difféomorphe à ] − 1, 1[ (obtenu en composant une rotation avec π).
Donc S1 est une variété de dimension 1.
♠
E XERCICE 2: Montrer que la sphère S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1} est une variété différentielle de dimension 2.
E XERCICE 3: Montrer que X = {(x, y) ∈ R2 | x 6= 0 et y = sin(1/x)} est une variété différentielle
de dimension 1.
1.1.ii
L’espace tangent
Pour parler de la différentielle d’une application entre deux variétés, il est d’abord nécessaire
de trouver un espace qui approxime (linéairement) la variété qu’on étudie. C’est l’objet de cette
section. Intuitivement, comme la première est la meilleure approximation linéaire de l’application
il faut que le second soit la meilleure approximation linéaire de la variété.
Rappelons à cet effet que la dérivée de f : U → V (où U ⊂ Rk et V ⊂ Rl sont des ouverts) est
l’application dfx : Rk → Rl définie par
lim f (x + th) − f (x) .
dfx (h) = t→0
t
2
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
Un résultat classique assure que ceci est bien la dérivée de f (car les dérivées partielles sont supposées continues), et, en particulier, que c’est une application linéaire. En fait, dfx (h) s’exprime en
tant que la matrice des dérivées partielles de f évaluées en x.
Exemple de base : Si L : Rk → Rl est une application linéaire alors dLx = L pour tout x ∈ Rk .
En particulier, la dérivée de l’identité ou est l’identité et si i : U → U 0 est une inclusion alors dix est
aussi l’identité.
Dérivation composée : Si f : U → V et g : V → W sont des applications avec f (x) = y alors
d(g ◦ f )y = dgy ◦ dfx .
La régle de dérivation en chaîne peut s’exprimer en terme de diagramme commutatif 1 :
V
Rl
f T g
T
dfx T dgy
Si
U
g◦ f
T
W
est commutatif alors
Rk
g◦ f
T
T
Rm est aussi commutatif.
Autrement dit, étant donné un diagramme commutatif, prendre des dérivées donne toujours un
diagramme commutatif.
Lemme 1.1.5: Soit U ⊂ Rk , V ⊂ Rl et f : U → V un difféomorphisme, alors k = l.
Démonstration. Comme f ◦ f −1 = IdV et f −1 ◦ f = IdU , on en conclut que df a un inverse à gauche
et à droite. Par conséquent c’est une matrice carré de déterminant non-nul.
En fait, l’inverse est vrai à condition de vérifier une condition cruciale :
Théorème 1.1.6 (Théorème des fonctions inverses): Soit U ⊂ Rk un ouvert et f : U → V une
application lisse. Si dfx n’est pas singulière ( i.e. elle est de rang maximal), alors il existe U 0 un
voisinage de x tel que f est un difféomorphisme de U 0 dans f (U 0 ).
Remarquer qu’une application lisse peut très bien avoir une dérivée non-singulière en tout point,
sans toutefois être un difféomorphisme. Le problème vient du fait qu’elle n’est pas nécessairement
injective. L’exemple classique est l’application exponentielle de C → C.
Définition 1.1.7: Soit M une variété (de dimension m), x ∈ M et g : U → M (où U ⊂ Rm ) un
paramétrage qui contient x dans son image (i.e. x ∈ g(U)). Soit u ∈ U tel que g(u) = x. Alors
l’espace tangent à M en x, noté Tx M, est l’image de dgu : Rm → Rk .
F
Bien défini.. ? Il faut encore vérifier que cette définition ne dépend pas du paramétrage choisi. En
effet, soit h : V → M un autre paramétrage et soit v ∈ V tel que h(v) = x. Alors h−1 ◦ g est un
difféomorphisme d’un voisinage U 0 de u sur un voisinage V 0 de v. Par conséquent, d(h−1 ◦ g) est
non-singulière, ce qui suffit (inclusion et même dimension) pour conclure que l’image de g et h sont
identiques.
Voici la version de cet argument en diagrammes :
1. Un diagramme avec plein de flèches représentant des applications est dit commutatif si l’ordre dans lequel on suit
les flèches n’est pas important.
3
1.1 - Variétés et espaces tangents
Rk
Rk
g T h−1
U0
en dérivant...
dgx T d(h−1 )g(x)
T
T
h−1 ◦ g
T
∼ T
Rm −1= Rm
d(h ◦ g)x
V0
♣
Lemme 1.1.8: Soit M ⊂ Rk une variété de dimension m, alors son plan tangent est de dimension
m.
E XERCICE 4: Démontrer ce lemme.
[Indice : prendre F l’extension de f = g−1 où g : U → M est un paramétrage, alors F ◦ g : U →
Rm est l’inclusion, puis contempler le diagramme
Rk
g T F
T
U
T
Rm ]
inclusion
Définition 1.1.9: Soit M ⊂ Rk et N ⊂ Rl deux variétés et f : M → N une application lisse avec
f (x) = y. Alors la dérivée de f en x, est l’application dfx : Tx M → Ty N définie comme suit. Puisque
f est lisse, il existe un voisinage W de x et une application F : W → Rl telle que F|M∩W = f|M∩W .
Alors, pour tout v ∈ Tx M ⊂ Rk , dfx (v) = dFx (v).
F
Bien défini.. ? Il faut montrer
(1) que dfx (v) ∈ Ty N et
(2) que ceci ne dépend pas du choix de F.
Soit g : U → M et h : V → N deux paramétrages pour g(U) un voisinage de x et h(V ) un voisinage
de y. Soit F : W → Rl comme ci-haut, et supposons que g(U) ⊂ W (quitte à prendre un ouvert
plus petit). Alors h−1 ◦ f ◦ g : U → V est une application lisse. Contemplons un peu le diagramme
commutatif 2 :
F
M −−−−→
x

g
N

 −1
yh
et en dérivant :
Tx M
x

dgu 
dF
x
−−−−
→
Ty N
x
dh
 v
Rm −−−−−−→ Rn
U −−−−→ V
h−1 ◦ f ◦g
d(h−1 ◦ f ◦g)u
et donc, dFx (v) ∈ Ty N, ce qui montre le premier point. Mais comme on peut toujours passer par
le bas du diagramme, il apparaît que le choix de F est complètement sans importance car dFx =
dhv ◦ d(h−1 ◦ f ◦ g)u ◦ (dgu )−1 .
♣
L’opération de dérivée possède des propriétés importantes :
Dérivation composée : Si f : M → N et g : N → P sont des applications lisses et f (x) = y alors
d(g ◦ f )x = dgy ◦ dfx .
Inclusion : Si f : M → N est une inclusion alors dfx : Tx M → Tx N est aussi une inclusion.
E XERCICE 5: Montrer que si f : M → N est un difféomorphisme alors M et N ont la même dimension.
2. Ici, diagramme commutatif veut dire qu’en partant d’un élément en bas à gauche on obtient le même élément en
haut à droit peu importe si on a pris le chemin qui passe par en bas à droite ou en haut à gauche.
4
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
1.1.iii
Valeurs régulières et le théorème fondamental de l’algèbre
-valregteofond
Le théorème fondamental de l’algèbre sera obtenu comme première application, en utilisant un
outil qui deviendra vite utile : le degré ou comment compter le nombre de préimages.
Définition 1.1.10: Soit f : M → N une application lisse entre deux variétés M et N de dimension
respective m et n. Un point x ∈ M tel que dfx est pas de rang n sera dit point régulier. Si y ∈ N est
tel que tout x ∈ f −1 (y) est un point régulier alors y sera dit une valeur régulière de f .
Un x point qui n’est pas régulier (pour f ) est dit critique, et y = f (x) est alors une valeur
critique.
F
En particulier, si M et N sont de même dimension, un point régulier est un point où dfx est
non-singulière. Si N est de dimension supérieure à M tout point est critique.
tpreimfini-l
Lemme 1.1.11: Soient M et N deux variétés de même dimension. Si f : M → N est une application
lisse et y ∈ N une valeur régulière et M est compacte, alors f −1 (y) est fini.
Démonstration. En effet, f −1 (y) est un fermé dans un compact M, donc compact lui-même. Ensuite,
par le théorème des fonctions inverses, f est un homéomorphisme au voisinage de chaque point.
Ainsi, il ne peut pas y avoir de points d’accumulation et donc, il n’y a qu’un nombre fini de points.
Si f : M → N est comme dans le lemme, et si R ⊂ N est l’ensemble des valeurs régulières, la
démonstration donne même que la fonction r 7→ | f −1 (r)| est continue sur chacune des composantes
connexes de R. Comme elle prend des valeurs dans un ensemble discret, elle est constante sur les
composates connexes de R.
tfondalg-t
Théorème 1.1.12: Tout polynôme P : C → C possède un zéro.
Démonstration. Plaçons C comme le plan (x, y, 0) ⊂ R3 (par x + iy 7→ (x, y, 0)). Regardons la sphère
S2 (centrée en 0) et les deux projections stéréographiques h+ depuis (0, 0, 1) et h− depuis (0, 0, −1).
L’application
(
−1
h+
◦ f ◦ h+ (x) si x 6= (0, 0, 1)
F(x) :=
(0, 0, 1)
si x = (0, 0, 1)
est lisse. Ceci n’est pas tout à fait évident en (0, 0, 1). Pour le voir, soit Q = h−1
− ◦ F ◦ h− et remar−1
n
n
n
quons que h+ ◦ h− (z) = 1/z̄. De la sorte, si P(z) = ∑i=0 an z , alors Q(z) = z / ∑ni=0 ān zn . Comme
Q est lisse dans un voisinage de 0, il s’ensuit que f est lisse en (0, 0, 1).
Ensuite, f a seulement un nombre fini de points critiques. En effet, ceux-ci correspondent aux
zéro du polynôme P0 (z) = ∑ni=0 iai zi−1 . Comme P0 n’est pas identiquement nul, il y a au plus n − 1
zéros (un polynôme non-trivial de degré j a au plus j zéros). Ainsi, l’ensemble des valeurs régulières
tpreimfini-l
R de f est connexe, et, par le lemme 1.1.11 et sa remarque, il existe un c ∈ N de sorte que | f −1 (y)| =
c quelques soit y ∈ R. Comme f −1 (y) ne peut pas être l’ensemble vide, cette valeur doit être positive
quelque part (et donc partout). Par conséquent, f est surjective et donc P admet un zéro.
5
1.1 - Variétés et espaces tangents
1.1.iv
exe-moebius
Exemples et Exercices
Exemple 1.1.13: Le ruban de Möbius est la l’ensemble décrit par l’image de l’application
Φ : ] − 1, 1[×R → R3
(s,t)
7→ (2 + s cos 2t ) cost, (2 + s cos 2t ) sint, s sin 2t .
Pour montrer que ceci est une variété, il suffit de montrer que Φ est de rang maximal. Autrement
∂Φ
dit, que les deux dérivées partielles ∂Φ
∂s et ∂t sont linéairement indépendantes pour tout (s,t) ∈
] − 1, 1[×R. Comme la cible est dans R3 , la manière la plus intuitive de procéder est de vérifier que
∂Φ
le produit vectoriel est partout non-nul : ∂Φ
∂s (s,t) ∧ ∂t (s,t) =
e1
e2
t
cos 2 cost
cos 2t sint
s
− sin t cost − (2 + s cos t ) sint − s sin t sint + (2 + s cos t ) cost
2
2
2
2
2
2
=
s
2
sint − (2 + s cos
t
t
2 ) sin 2
cost, − 2s
cost − (2 + s cos
t
t
2 ) sin 2
sint, (2 + s cos
de norme légèrement longuet permet ensuite de conclure.
e3
sin 2t
s
t
2 cos 2
t
t
2 ) cos 2
. Un calcul
♠
Exemple 1.1.14: L’espace projectif réel RPn est l’ensembles des droites dans Rn+1 . Plus précisément, c’est un espace quotient. L’espace (Rn+1 )∗ est muni de sa topologie usuelle. Puis, la relation
d’équivalence suivante est donnée : soit x = (x0 , x1 . . . , xn ) ∈ (Rn+1 )∗ et soit y = (y0 , y1 , . . . , yn ) ∈
(Rn+1 )∗ , alors x ∼P y si ∃λ ∈ R r {0} tel que λx = y, c’àd.
(λx0 , λx1 , . . . , λxn ) = (y0 , y1 , . . . , yn ).
Finalement, RPn = (Rn+1 )∗ / ∼P muni de la topologie quotient. Un élément de RPn est traditionellement noté [x0 : x1 : . . . : xn ].
Tout élément x ∈ (Rn+1 )∗ est équivalent (au sens de ∼P ) à deux éléments de norme 1 : x/kxk
et −x/kxk. Ainsi, il est aussi possible de définir RPn = Sn / ∼A où x, y ∈ Sn satisfont x ∼A y si
x = y ou x = −y. En particulier, il est plus facile de voir que RPn est compact dans cette deuxième
description.
On peut déjà remarquer que RP1 est difféomorphe au cercle S1 .
En fait, cette dernière réalisation montre que RPn est l’hémisphère fermée S̄+ = {(x0 , . . . , xn ) ∈
Rn+1 | kxk = 1, xn ≥ 0} où les points du bord de l’hémisphère (il s’agit d’une sphère de dimension
un de moins, Sn−1 ) sont identifiés par l’application antipodale. Comme le quotient de Sn−1 par
l’application antipodale est RPn−1 , ceci donne une sorte de construction itérative.
Il est alors possible de voir que le ruban de Möbius est un sous ensemble de RP2 (RP2 est
d’habitude appelé le plan projectif réel). En effet, il suffit de considérer un voisinage (en forme de
bande) d’un méridien allant du pôle nord au pôle sud dans S2 . Si ce voisinage est pris de manière
symétrique, il est la préimage d’un ouvert de RP2 par l’application quotient S2 RP2 . Or, en
prenant ce quotient, la bande est recollée avec un tour, donnant lieu à un ruban de Möbius.
Dans le modèle initial : RPn = (Rn+1 )∗ / ∼P . Un point de RPn reprèsente une droite L, alors
le complémentaire L⊥ dans Rn+1 donne un paramétrage. À x ∈ L, soit φ : L⊥ → RPn défini par
6
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
φ(v) = x + v. En fait, cette application est injective : si
λ(x + v1 ) = x + v2 ⇒ v2 − λv1 = (λ − 1)x ⇒ (λ − 1)kxk = v2 · x − λv1 · x = 0
ce qui implique que λ = 1. Mais alors v1 = v2 , donc φ est injective.
Pour montrer que l’espace projectif réel est une variété, c’est un peu difficile ici, car la définition
demande un plongement dans un espace euclidien. Le plan projectif réel ne peut pas être vu comme
un sous-ensemble de R3 . La représentation la plus simple dans R3 est la surface de Boy : le bord du
ruban de Möbius est formé d’un seul cercle, et la surface de Boy est obtenue en “collant” un disque
sur ce cercle (ça donne une surface qui se traverse elle-même). Pour décrire le plan projectif réel
comme sous-ensemble de R4 , il faut regarder l’image de l’application
f:
R3
→
R4
(x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 x2 , x1 x3 , x22 − x32 , 2x2 x3 ).
En effet, f (−x) = f (x), et f|S2 envoie exactement deux points (qui sont donc antipodaux) sur un
point. Le plus intuitif reste de se baser sur le fait que la sphère est une variété : un voisinage suffisamment petit (strictement contenu dans un hémisphère) de RPn est difféomorphe (par l’application
exe-spherevar
identité !) au voisinage de Sn (pour montrer que Sn est une variété, voir l’exemple 1.2.5). 3
Un plongement explicite possible de RPn dans un espace euclidien est :
f:
Rn+1
2
R(n+1)
→

x12 /2
x1 x2
x1 x3


(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) 7→ 
 ..
 .
x1 x2
x22 /2
x2 x3
x1 x3
x2 x3
x32 /2
...
...
...
..
.
..
.
..
.
x1 xn x1 xn+1
x2 xn x2 xn+1

x3 xn x3 xn+1 

..
.
..
.
x1 xn x2 xn x3 xn ... xn2 /2 xn xn+1
2 /2
x1 xn+1 x2 xn+1 x3 xn+1 ... xn xn+1 xn+1



Il est alors encore plus facile de voir que f envoie exactement les deux points x et −x sur la même
valeur (pour tout x ∈ Rn+1 r {0} cette fois-ci). Ainsi cela détermine une injection de RPn dans
2
R(n+1) .
La seconde chose à faire est de trouver un paramétrage. Toujours en supposant su que la sphère
exe-spherevar
est une variété (cf. exemple 1.2.5), l’idée est de composer φ : U → Sn avec f|Sn . Ainsi, il suffit de
2
vérifier que la différentielle dfx : Tx Sn → R(n+1) est de rang n (i.e. injective). Remarquons d’abord
que la dérivée de f en x par rapport à la variable xi est (dans la forme matricielle ci-haut) la matrice
où seule la ième ligne et la ième colonne sont non-nulles (et elles donnent le vecteur x). Il est alors
assez facile de se convaincre que (sauf si x = 0, un point qui n’est pas dans Sn ) ces éléments (pour
i = 1, . . . , n + 1) sont linéairement indépendants. Autrement dit, ∀x 6= 0, dfx est même injective sur
Rn+1 . En particulier, elle sera injective sur Tx Sn ⊂ Rn+1 .
♠
3. En effet, il existe une définition équivalente de variété qui est plus abstraite. Dans toutes les définitions faites,
comme il est toujours nécessaire de se ramener à un petit ouvert, le fait que l’espace s’identifie localement à une sousvariété de Rk semble suffisant. En fait, il faut une hypothèse de plus : si φ : U → Rk et ψ : V → Rk sont deux telles
“identification”, il faut en plus demander que φ ◦ ψ−1 : ψ(V ) → Rk et ψ ◦ φ−1 : φ(U) → Rk soit lisses. Pour plus de détails
ss-triangplong
voir la sous-section 2.3.i.
7
1.2 - Le théorème de Sard
Exemple 1.1.15: L’espace projectif complexe CPn est l’ensembles des droites complexes (c’àd.
ce sont des espaces de dimension réelle 2) dans Cn+1 . C’est un aussi un espace quotient : (Cn+1 )∗ :=
Cn+1 r {0} est muni de sa topologie usuelle, puis quotienté par la relation d’équivalence x ∼P y si
∃λ ∈ C r {0} tel que λx = y (où x = (x0 , x1 . . . , xn ) ∈ (Cn+1 )∗ et soit y = (y0 , y1 , . . . , yn ) ∈ (Cn+1 )∗ ).
Finalement, CPn = (Cn+1 )∗ / ∼P muni de la topologie quotient. Un élément de CPn est traditionellement noté [z0 : z1 : . . . : zn ].
Tout élément x ∈ (Cn+1 )∗ est équivalent (au sens de ∼P ) des éléments de norme 1 : eiθ x/kxk
(ici c’est la norme de Cn+1 vu comme R2n+2 : kxk2 = ∑nj=0 xi x̄i ). Ainsi, il est aussi possible de
définir CPn = Sn / ∼A où x, y ∈ Sn satisfont x ∼A y si x = eiθ y où θ ∈ [0, 2π[. Dans cette deuxième
description chaque point de CPn est un grand cercle de la sphère S2n+1 .
On peut déjà remarquer que CP1 est difféomorphe à la sphère S2 : [z0 : z1 ] 7→ z1 /z0 est la réalisation de cette application (à valeur dans C ∪ {∞}). Comme un point de CP1 est aussi un grand
cercle de S3 , ceci donne une application S3 → S2 , appelée application de Hopf. Il existe aussi une
construction itérative des CPn et des plongements dans CN où N est assez grand. 4
♠
E XERCICE 6: Décrire un paramétrage du tore (dans R3 ) et en déduire l’espace tangent.
exofibretang
E XERCICE 7: Soit M ⊂ Rk une variété de dimension m et N une variété de dimension n.
a. Montrer que le fibré tangent, défini comme TM = {(x, v) ∈ M × Rk | v ∈ Tx M} est une variété
lisse de dimension 2m.
b. Montrer qu’une application lisse f : M → N donne lieu à une application lisse df : TM → TN.
E XERCICE 8: Soit f : M → N est une application entre deux variétés (de dimensions respectives m
et n).
a. Montrer que le graphe de f , Γ f = {(x, y) ∈ M × N | y = f (x)}, est une variété de dimension
m.
b. Montrer que l’espace tangent au graphe au point (x, y) ∈ Γ f ⊂ M × N est donné par le graphe
de dfx , i.e. T(x,y) Γ f = {(v, w) ∈ Tx M × Ty N | w = dfx v}.
1.2
Le théorème de Sard
s-teosard
Même si le cas du théorème fondamental de l’algèbre était inspirant, il serait démesuré de s’attendre à ce que le nombre de valeur critiques soit toujours fini. Cependant, un joli théorème de Sard
(remontant à Morse), laisse montre que cet ensemble n’est jamais “trop gros”.
tsard-t
Théorème 1.2.1 (Sard, 1942): Soit f : U → Rn une application lisse définie sur un ouvert U de
Rm . Soit C = {x ∈ U | Rang dfx < n} l’ensemble des point critiques, alors l’ensemble des valeurs
4. Pour CPn comme pour RPn , il existe de bons “paramétrages abstraits”. C’est à dire (dison pour le cas de CPn )
une application de Cn dans CPn = (Cn+1 )∗ / ∼P qui décrive “bien” le voisinage de n’importe quel point. Un point de
CPn reprèsente une droite complexe L, alors le complémentaire L⊥ dans Cn+1 donne le “paramétrage abstrait” de son
voisinage. L’argument est identique pour RPn . Beaucoup d’ouvrages introduisent les variétés via de tels “paramétrages
abstrait” (ou plutôt leur inverses, et se nomme cartes. Il est non-trivial de voir que les deux formulations sont équivalentes
sous des hypothèse assez faible sur l’espace topologique qu’est la variété (e.g. paracompacité).
8
tvalregssvar-l
tesptanssvar-l
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
critiques f (C) ⊂ Rn a mesure de Lebesgue nulle 5 . 6
Puisque f (C) ne peut contenir un ensemble d’intérieur non-vide, il apparaît que le complémentaire de f (C), les valeurs régulières, forme un ouvert dense (cette conséquence est antérieure à Sard,
et remonte [au moins] à Brown [1935]).
La démonstration de ce théorème est remise à plus tard. Il est nécessaire d’avoir f de classe au
moins C k où k > max{0, m − n}. À ce propos, la démonstration ci-dessous n’est pas optimale.
1.2.i
Sous-variétés et valeur régulières
Une sous-variété est une variété qui est un sous-ensemble d’une autre variété. Comme les variétés ont été définies par des sous-ensembles de Rk , elles sont toutes des sous-variétés de Rk .
Lemme 1.2.2: Si f : M → N est une application lisse entre deux variétés de dimension respectives
m et n, et y ∈ N est une valeur régulière, alors f −1 (y) ⊂ M ⊂ Rk est une (sous-)variété lisse (de M
et) de dimension max(m − n, 0).
Démonstration. Si x ∈ f −1 (y), alors c’est un point régulier et donc K := Ker dfx sera un sous-espace
vectoriel de dimension m − n. Soit L : Rk → Rm−n une application linéaire qui est un isomorphisme
lorsque restreinte à K et soit F : M → N × Rm−n l’application définie par F(ξ) = f (ξ), L(ξ) . Alors
dFx = dfx , L est, par définition, non-singulière. Par conséquent, il existe un voisinage U de x ∈ M
qui est envoyé par un difféomorphisme sur un voisinage de y, L(x) dans N × Rm−n . Ainsi, L est en
fait un difféomorphisme d’un voisinage de x dans f −1 (y) sur un ouvert de Rm−n , ce qui montre que
f −1 (y) est bien une variété de dimension m − n.
Définition 1.2.3: Soit M 0 ⊂ M une sous-variété, ∀x ∈ M 0 l’espace complément de Tx M 0 dans Tx M
sera appelé l’espace normal à M 0 dans M et noté Tx M/M0 .
F
Lemme 1.2.4: Soit f : M → N une application lisse, y une valeur régulière de f et M 0 = f −1 (y) la
sous-variété de M qui y correspond. Alors, ∀x ∈ M 0 , Tx M 0 = Ker dfx (où dfx : Tx M → Ty N) et dfx
est un isomorphisme entre Tx M/M0 et Ty N.
tvalregssvar-l
Démonstration. C’est essentiellement ce que fait déjà la preuve du lemme 1.2.2. Mais comme les
diagrammes commutatifs sont amusant, on peut toujours en contempler un :
i
M 0 −−−−→


fy
M

f
y
Id
...et, après dérivation :
Tx M 0 −−−−→ Tx M



df
dfx y
y x
⊂
⊂
{0} −−−−→ Ty N
{y} −−−−→ N
Ce qui rend encore plus clair ce qui était déjà évident.
5. i.e. pour tout ε > 0 il existe un ensemble de cube recouvrant f (C) et dont le volume total est < ε.
6. Il existe des versions plus forte de cette énoncé :
- si f : M → N est C k où k > max{m − n, 0} et si Cr ⊆ M est l’ensemble des points x ∈ M tel que dfx est de rang ≤ r,
alors f (Cr ) a une dimension de Hausdorff dimension d’au plus r [Sard, 1965].
- il existe une version en dimension infinie due à Smale [1965], mais elle requiert plus de notions pour être citée
correctement.
9
1.2 - Le théorème de Sard
exe-spherevar
2
Exemple 1.2.5: La sphère Sn = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | ∑n+1
i=1 xi = 1} est une variété différentielle,
2
puisque f (x1 , . . . , xn+1 ) = ∑n+1
i=1 xi n’a que (0, 0, . . . , 0) comme point critique.
De plus, dfx n’est autre que le gradient de f en x : dfx = (x1 , . . . , xn+1 ). En tant qu’application
linéaire dfx : Rn+1 → R, on aura donc dfx (v) = x · v. Ainsi Tx Sn = Ker dfx = {v ∈ Rn+1 | x · v = 0}.
♠
2 } n’est pas une variété différenExemple 1.2.6: Le cône S = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | ∑ni=1 xi2 = xn+1
tielle (le point (0, . . . , 0) n’a pas un voisinage difféomorphe à Rn ). En effet, si on pose f (x1 , . . . , xn+1 ) =
2 , alors S = f −1 (0) a un point critique en (0, 0, . . . , 0) (ceci n’est pas une démonstration
∑ni=1 xi2 − xn+1
que S n’est pas une variété, simplement une vérification pour la cohérence). Par contre, M = S r {0}
est une variété différentielle car f : Rn+1 r {0} → R n’a plus 0 comme valeur critique.
De plus, un peu comme à l’exemple précédent, dfx est le gradient 2(x1 , . . . , xn , −xn+1 ) et Tx M =
Ker dfx = {v ∈ Rn+1 | (x1 , . . . , xn , −xn+1 ) · v = 0}.
♠
1.2.ii
Variétés à bord
Soit Hm := {(x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ Rm | xm ≥ 0}. Le bord de Hm est défini par ∂Hm = Rm−1 × {0} ⊂
Hm .
Définition 1.2.7: Une variété à bord est un ensemble M ⊂ Rk tel que, pour tout x ∈ M, il existe un
voisinage de x qui est difféomorphe à un ouvert de Hk . Le bord de M, noté ∂M, est l’ensemble des
points dont l’image par le difféomorphisme est dans ∂Hm .
F
E XERCICE 9: Montrer que l’intérieur M r ∂M est une variété lisse de dimension m. Montrer que
∂M est une sous-variété lisse de M de dimension m − 1.
Si x est un point du bord, la définition de l’espace tangent reste la même qu’avant, et, donc, cet
espace est aussi de dimension m.
La méthode la plus simple pour créer de telle variété est
tvalredbord-l
Lemme 1.2.8: Soit g : M → R une application lisse et soit I ⊂ R un intervalle fermé (borné ou non)
tel que ∂I est formé de valeurs régulières de g. Alors M 0 = g−1 (I) est une variété à bord (de même
dimension que M), et le bord de M 0 est ∂M 0 = g−1 (∂I).
tvalregssvar-l
La preuve est identique à celle du lemme 1.2.2.
Exemple 1.2.9: Le disque unité de dimension n, D := {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | ∑ni=0 xi2 ≤ 1} est une
variété à bord et son bord est la sphère Sn−1 . Pour le voir, il suffit d’écrire g(x1 , x2 , . . . , xn ) = ∑ni=0 xi2
et de prendre I =] − ∞, 1].
♠
Lemme 1.2.10: Soit M une variété à bord et N une variété. Soit f : M → N une application lisse
et y ∈ N une valeur régulière pour f et pour f|∂M . Alors M 0 := f −1 (y) est une variété à bord de
dimension m − n. De plus, ∂M 0 = ∂M ∩ f −1 (y).
Démonstration. Puisque tout ne se passe qu’au niveau local, il est possible de supposer que f :
Hm → Rn (et donc que y ∈ Rn ). Si x ∈ Hk est à l’intérieur, il n’y a rien de nouveau à montrer
tvalregssvar-l
depuis le lemme 1.2.2. Si x ∈ ∂Hm , soit U un voisinage de x dans Rm tel qu’il existe une application
10
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
g : U → Rn identique à f sur U ∩ Hm . (Quitte à prendre U plus petit, g est sans point critiques.)
Ainsi g−1 (y) est une variété de dimension m − n.
Soit π : g−1 (y) → R la projection sur la dernière coordonnée, i.e. π(x1 , x2 , . . . , xm ) = xm . Il suffit
de montrer que π a 0 pour valeur régulière. L’espace tangent de g−1 (y) en x ∈ π−1 (0) est Ker dgx =
Ker dfx . Mais comme f est régulière sur ∂Hm , Ker dfx ne peut pas être inclu dans ∂Hm . Ainsi, grâce
tvalredbord-l
au lemme 1.2.8, l’ensemble des x ∈ g−1 (y) tels que π(x) ≥ 0 est une variété à bord, dont le bord est
π−1 (0).
1.2.iii
ptfixvarbord-l
Le théorème du point fixe de Brouwer
Lemme 1.2.11: Soit M une variété à bord compacte, alors pour toute application lisse g : M → ∂M,
g|∂M 6= Id∂M (g ne fixe pas ∂M point par point).
Démonstration. Supposons qu’une application lisse f : M → ∂M telle que f|∂M = Id∂M existe. Soit
y ∈ ∂M une valeur régulière, alors y est aussi une valeur régulière de f|∂M (puisque c’est l’identité).
Ainsi, f −1 (y) est une variété à bord de dimension 1, et le bord ne consiste qu’en {y}. Comme M est
compacte, f −1 (y) l’est aussi. Mais les seules variétés à bord de dimension 1 et compactes sont des
réunions de cercles et de segments 7 . Ceci implique que le bord est fait d’un nombre pair de points,
une contradiction.
Comme corollaire, l’application identité de Sn−1 ne peut être étendue par une application lisse
sur Dn .
tbrouwlisse-l
Lemme 1.2.12: Toute application lisse g : Dn → Dn a un point fixe ( i.e. un x tel que f (x) = x).
Démonstration. Soit f l’application définie comme suit :
l
l u
f (x) ll
l
l
l
l xu
l g(x)
l u
l
l
l
i.e. f (x) est le point de Sn−1 le plus proche de x sur la droite reliant x et g(x). Vérifier que f est lisse
demande un peu de calcul : f (x) = x + tu où
u=
x − g(x)
,
kx − g(x)k
et
t = −x · u +
q
1 − kxk2 + (x · u)2 .
tptfixvarbord-l
De plus, f est l’identité sur Sn−1 . Ceci contredit le lemme 1.2.11.
Théorème 1.2.13 (Brouwer): Soit g : Dn → Dn une application continue, alors g a un point fixe.
exo-classvardim1-1
exo-classvardim1-3
7. voir exercices 13 à 15.
11
1.2 - Le théorème de Sard
Démonstration. Par le théorème de Weierstraß , ∀ε > 0, g possède une approximation par un polynôme P telle que kP(x) − g(x)k < ε. Bien sûr, P ne prend peut-être plus valeur dans le disque, mais
alors P̃ := P/(1 + ε) le fera et ∀x ∈ Dn , kP̃(x) − g(x)k < 2ε.
Supposons que g n’admet pas de point fixe. Alors l’application continue x 7→ kg(x) − xk admet
un minimum µ. Or, si ε < µ/3, ceci implique que P̃ n’admet pas de point fixe. Cette contradiction
tbrouwlisse-l
avec le lemme 1.2.12 conclut la démonstration.
1.2.iv
La preuve du théorème de Sard
Rappelons l’énoncé à démontrer :
Théorème 1.2.14 (Sard): Soit f : U → Rn une application lisse définie sur un ouvert U de Rm . Soit
C = {x ∈ U | Rang dfx < n} l’ensemble des point critiques, alors pour tout ε > 0, l’ensemble des
valeurs critiques f (C) ⊂ Rn peut-être revouvert par une réunion de cubes dont le volume total est
< ε.
Le cas m < n est beaucoup plus facile que m = n, même si ceci n’est pas apparent dans l’argument ci-dessous.
On fera la démonstration par induction sur m. Tout d’abord, pour chaque i ∈ N soit Ci le sousensemble (fermé) des valeurs critiques y ∈ C telles que toutes les dérivées partielles de f sont nulles
jusqu’à l’ordre i. Alors
C ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ . . .
est une suite décroissante de fermés. La démonstration se décompose en trois étapes
Étape 1 : Montrer que f (C) r f (C1 ) est de mesure nulle ;
Étape 2 : Montrer que f (Ci ) r f (Ci+1 ) est de mesure nulle ;
Étape 3 : Montrer que pour un k assez grand, f (Ck ) est de mesure nulle.
En admettant ces trois assertions f . L’énoncé du théorème est certainement vrai si n = 0 (par convention, la mesure de Lebesgue est triviale sur R0 = {un point}). Supposons l’énoncé vrai pour n − 1
et tentons de le démontrer pour n
Étape 1 : Comme C = C1 si n = 1, il est possible de supposer que n ≥ 2. Le théorème de Fubini
sera utilisé sous cette forme (faible) : si A ⊂ Rn est tel que ∀x ∈ R, A ∩ {x} × Rn−1 est de mesure
nulle, alors A est de mesure nulle.
Pour tout x̄ ∈ C r C1 , un voisinage V de x̄ sera exhibé tel que f (C ∩ V ) est de mesure nulle.
[Puisque tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable, ceci permettra de
conclure.] Comme x ∈
/ C1 , il existe donc une dérivée partielle non-nulle. Supposons que c’est la
∂f
première ( ∂x1 (x̄) 6= 0) et soit
h: U
x
→
Rm
7
→
( f (x1 ), x2 , . . . , xm )
Puisque dhx̄ est non-singulière, par le théorème d’inversion locale, il existe un voisinage V de x̄ qui
12
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
est envoyé difféomorphiquement sur V 0 = h(V ) ⊂ Rm . soit
g = f ◦ h−1 : V 0 →
x 7→
Rn
f (h−1 (x))
L’ensemble C0 des points critiques de g est h(C ∩V ) et, conséquemment, l’ensemble g(C0 ) des valeurs critiques de g est f (C ∩V ). De plus, ∀(t, x2 , x3 . . . , xm ) ∈ Rm ∈ V 0 , g(t, x2 , x3 . . . , xm ) appartient
à {t} × Rn−1 . Soit gt la restriction de g aux éléments dont la première valeur est t. Un point de
{t} × Rm−1 est critique pour gt si et seulement si il est critique pour g. En effet, la matrice de Jacobi
de g a la forme
!
1
0
t
un truc ∂g
∂xi
Mais grâce à l’hypothèse d’induction, les valeurs critiques de gt sont de mesure nulle. Par le théorème de Fubini, la conclusion s’obtient.
∂j f
Étape 2 : Pour tout x̄ ∈ C j rC j+1 , il est possible de supposer que w(x) :=
(x̄) = 0
∂xs1 ∂xs2 . . . ∂xs j
∂w
(x̄) 6= 0. Alors, en posant h(x) = w(x), x2 , . . . , xm , l’argument de l’étape précédente se
mais
∂x1
répète.
Étape 3 : Soit I m ⊂ U un (hyper-)cube de côté δ. Le but est de montré que si k > m/n − 1, alors
f (C ∩ I m ) est de mesure nulle. [De nouveau, comme une réunion dénombrable de tels cube recouvre
C, la conclusion en découlera.] Par le théorème de Taylor et la compacité de I m , il apparaît que
f (x + h) = f (x) + R(x, h) où kR(x, h)k ≤ ckhkk+1 , x ∈ I n ∩Ck et X + h ∈ I m .
La constante c ne dépend que de f et I m . Pour tout entier r ∈ N, le cube I n peut-être découpé en rm
√
plus petit cubes de côtés m(δ/r). Soit I 0 un de ces petits cubes qui contient le point x ∈ Ck , alors
tout point de I 0 s’écrit x+h avec khk ≤ δ/r et par conséquent, f (x+h)− f (x) ≤ cm(k+1)/2 (δ/r)(k+1) .
Autrement dit, f (I 0 ) est contenu dans un cube de côté a/rk+1 avec a = cm(k+1)/2 δ(k+1) . Ainsi, f (Ck ∩
I) est contenu dans une union de rm cubes dont le côté et ar−k−1 . Sa mesure est ainsi inférieure à
rm (ar−k−1 )n = an rm−(k+1)n . Comme a ne dépend pas de r, et m − (k + 1)n < 0, il suffit de prendre r
arbitrairement grand pour avoir que f (Ck ∩ I) est de mesure arbitrairement petite (et donc nulle).
1.2.v
Exemples et Exercices
Exemple 1.2.15: Le tore (noté T2 ) dans R3 est aussi la préimage d’une valeur régulière. En effet,
soit R ∈ R>0 et S = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 < x2 + y2 < R}. Soit f : S → R définie par
p
f (x, y, z) = ( x2 + y2 − R)2 + z2 .
(Cette fonction n’est pas lisse en x = y = 0 et x2 + y2 = R d’où la restriction du domaine de définition). La différentielle de f n’est autre que son gradient :
R
R
df(x,y,z) = ∇ f (x, y, z) = 2 (1 − √ 2 2 )x, (1 − √ 2 2 )y, z .
x +y
13
x +y
1.2 - Le théorème de Sard
Ce dernier n’est nul que si x = y = z = 0 ou z = 0 et x2 + y2 = R, ce qui est exclu sur S. De plus
f (S) =]0, R[, ainsi pour r ∈]0, R[, f −1 (r) est une variété (un dessin ou un paramétrage convaincra
qu’elle est difféomorphe au tore).
Pour déterminer son plan tangent en (x, y, z) il suffit de calculer Ker df(x,y,z) = {v ∈ R3 | v ·
∇ f (x, y, z) = 0}
♠
Il est possible de faire de même pour les surfaces de révolutions, mais il est généralement plus
simple d’utiliser un paramétrage pour montrer que ce sont des variétés lisses. Voici un exemple plus
intéressant.
Exemple 1.2.16: Une matrice M de taille 2n × 2n est dite symplectique si
0 Idn
M T JM = J où J = −Id
.
0
n
L’ensemble de ces matrices est noté Spn (R). Au passage, on note que Det J = 1, J 2 = −Id2n et que
J −1 = J T = −J (c’àd. J est une racine carrée de −Id2n ).
Pour montrer que Spn (R) est une variété, il est important de voir que M2n×2n (R) est l’espace
2
euclidien R(2n) . Ensuite il est possible d’introduire
f : M2n×2n (R) → As2n (R)
M
7→ M T JM
où As2n (R) est l’ensemble des matrices antisymétriques de taille 2n × 2n (en fait, c’est un espace
vectoriel de dimension n(2n − 1)). Puis, il faut montrer que J est une valeur régulière de f .
Soit M ∈ f −1 (J) fixée, alors
lim
dfM (L) = t→0
(M + tL)T J(M + tL) − M T JM lim tLT JM + tM T JL + t 2 LT JL
= t→0
= LT JM + M T JL.
t
t
Reste à montrer que, pour toute A ∈ As2n (R), il est possible de trouver un L avec dfM (L) = A. Heureusement, A = 21 A − 12 AT (puisqu’elle est antisymétrique) et dfM (L) = M T JL − (M T JL)T (puisque
J T = −J). Ainsi, il suffit de résoudre M T JL = 21 A. Or, il s’adonne que M T JM = J, ainsi il suffit de
poser L = − 12 MJA. En effet, il apparaît alors
M T JL = − 21 M T JMJA = − 21 J 2 A = 12 A.
Quant au plan tangent, le calcul ne sera fait que pour le point M = Id2n ∈ Spn (R). Il faut alors
chercher les L = CA DB (où A, B,C, D ∈ Mn×n (R)) telles que
T
dfId2n (L) = 0 ⇔ JL = −L J ⇔
Autrement dit C et B sont symétriques et A = −DT .
exofibrenorm
C
D
−A −B
!
=
!
CT −AT
.
DT −BT
♠
E XERCICE 10: Soit M 0 ⊂ M une sous-variété de dimension m0 dans M (de dimension m). Montrer
que le fibré normal à M 0 dans M, défini par TM/M0 := {(x, v) ∈ M 0 × Rk | v ∈ Tx M et v ⊥ Tx M 0 } est
une variété de dimension m.
14
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
exopolyhomog
E XERCICE 11: Soit P un polynôme homogène en k variables, i.e. ∀t ∈ R, P(tx1 ,tx2 , . . . ,txk ) =
t d P(x1 , x2 , . . . , xk ) où d est le degré du polynôme. Montrer que P−1 (a) est une sous-variété lisse
de Rk de dimension k − 1 lorsque a 6= 0. Montrer de plus que P−1 (a) est difféomorphe à P−1 (b) si
a et b sont de même signe.
2
E XERCICE 12: Soit Mn (R) l’ensemble des matrices de taille n × n (c’est ∼
= Rn ). Montrer que
1. SLn (R) est une sous-variété de dimension n2 −1 et montrer que l’espace tangent en la matrice
identité Id est l’espace des matrice de trace nulle.
2. On (R) est une sous-variété de dimension n(n−1)
et montrer que l’espace tangent en la matrice
2
identité Id est l’espace des matrice antisymétriques (i.e. AT = −A).
[Rappel : SLn (R) est l’ensemble des A ∈ Mn (R) satisfaisant Det A = 1. On (R) est l’ensemble
des A ∈ Mn (R) satisfaisant AAT = Id.]
Les exercices suivants ont pour but de mener à la classification des variétés de dimension 1
(avec ou sans bord). Soit M une variété à bord de dimension 1. Soit I et J deux intervalles ouverts
(potentiellement infinis) de R. Un paramétrage est dit par la longueur d’arc si dfx (1) est un élément
de norme 1. Il est assez standard de ramener un paramétrage lisse et régulier (i.e. lisse et dfx est
non-nulle) à un paramétrage par la longuer d’arc.
classvardim1-1
E XERCICE 13: Montrer que tout intervalle (potentiellement infini) de R est difféomorphe à ]0, 1[,
[0, 1[ ou [0, 1].
classvardim1-2
E XERCICE 14: Soit g : J → M et f : I → M deux paramétrages par la longueur d’arc, on veut
montrer que g(J)∩ f (I) a au plus deux composantes connexes. Soit Γ ⊂ I ×J l’ensemble des couples
(s,t) tels que f (s) = g(t).
classvardim1-3
a. Montrer que Γ est un ensemble fermé de I × J formé de segments de pente ±1.
b. Montrer que ces segments ne peuvent se terminer dans l’intérieur de I × J.
c. Montrer que seul un de ces segments peut se terminer sur une arête donnée du bord de I × J.
d. En déduire qu’il ne peut y avoir que deux composantes à Γ et que si il y en a deux, elles ont
la même pente.
e. S’il n’en a qu’une, montrer que f s’étend en un paramétrage par la longueur d’arc dont
l’image est f (I) ∪ g(J).
f. S’il en a deux, montrer que f (I) ∪ g(J) est difféomorphe à un cercle.
E XERCICE 15: Montrer que toute variété connexe à bord de dimension 1 est difféomorphe à ]0, 1[,
[0, 1[, [0, 1] ou au cercle. [Indice : prendre un paramétrage f et l’étendre le plus possible. Que se
passe-t-il si f n’est pas surjectif ?]
1.3
Le degré modulo 2 et le théorème de Borsuk-Ulam
-degmod2borsuk
Étant donné une fonction f : M → N entre deux variétés de même dimension (M est compacte
et sans bord, N est connexe), le but de cette section est de montrer que le nombre de pré-images
d’une valeur régulière modulo 2 est un invariant d’homotopie.
15
1.3 - Le degré modulo 2 et le théorème de Borsuk-Ulam
1.3.i
Homotopies et isotopies lisses
Tout d’abord, il nous faudra nous restreindre à des déformations lisses.
Définition 1.3.1: Étant donné un ensemble X ⊂ Rk et deux applications lisses f , g : X → Y ⊂ R` ,
une homotopie lisses de f à g est une application lisse F : X × [0, 1] → Y telle que
∀x ∈ X,
F(x, 0) = f (x) et F(x, 1) = g(x).
Si X et Y sont des variétés lisses, et que f et g sont des difféomorphismes, une isotopie lisse de f à
g est une homotopie lisse F : X × [0, 1] → Y telle que
∀t ∈ [0, 1],
x 7→ F(x,t) est un difféomorphisme.
♦
S’il existe une homotopie [lisse] de f à g, alors f et g sont dites [lissement] homotopes et ceci
se note par f ∼ g. De même, s’il existe une isotopie [lisse] de f à g, elles sont dites [lissement]
isotopes.Il est assez standard de vérifier que “être isotope” et “être homotope” sont des relations
d’équivalence.
Lemme 1.3.2: “Être homotope” est une relation d’équivalence :
(1) f ∼ f ;
(2) f ∼ g ⇒ g ∼ f ;
(3) Si f ∼ g et g ∼ h alors f ∼ h.
Démonstration. Pour la réflexivité (1), il suffit de prendre F = f × Id[0,1] . Pour la symmétrie (2), si
F : M × [0, 1] → N est une homotopie lisse de f vers g, alors G définie par G(x,t) = F(x, 1 − t) est
une homotopie lisse de g vers f .
La transitivité (3) demande plus d’efforts. Soit F l’homotopie de f vers g et G l’homotopie de
g vers h. Soit d’abord
φ(t) =


 0
2
t
π arctg 1−t


1
si t ≤ 0;
si t ∈ [0, 1];
si t ≥ 1.
et
ψ(t) = 1 − φ(1 − t).
Ces deux fonctions permettent rendre très lisse, respectivemment, l’extrémité 1 et l’extrémité 0 de
n
n
l’intervalle [0, 1], dans le sens suivant : si ∂t∂ n F(x,t) existe alors ∀n ≥ 0, ∂t∂ n F(x, φ(t))t=1 = 0 et
similairement pour ψ et t = 0. Soit H : M × [0, 2] → N définie par
(
F x, φ(t)
si t ∈ [0, 1];
H(x,t) =
G x, ψ(t − 1) si t ∈ [1, 2].
En effet, grâce aux fonctions φ et ψ, H est lisse, et H̄(x,t) := H(x,t/2) est alors une homotopie lisse
de f vers h.
Voici un cas typique (et trivial) d’homotopie.
16
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
-contrisotopid
Exemple 1.3.3: Soit N une variété lissement contractile 8 , c’àd. il y a un point y0 ∈ M et une application F(y,t) : M × [0, 1] → M telle que F(y, 0) = IdM et F(y, 1) = y0 . Alors toute paire d’applications f , g : M → N est homotope. En effet, il suffit de montrer que toute application est homotope
à l’application x 7→ y0 . Pour ce faire, soit G(x,t) = F f (x),t . Alors G est lisse, G(x, 0) = f (x) et
G(x, 1) = y0 . Ainsi G est une homotopie lisse de f vers l’application constante y0 .
Le disque Dn est un exemple de variété contractile : F(x,t) = (1 − t)x est une homotopie de
F(x, 0) = x vers F(x, 1) = 0 (i.e. y0 = 0).
♠
Dans le cas de la sphère, le lemme suivant est plutôt facile. Il utilise aussi une fonction de
“lissage” i.e. une fonction à support fini qui est lisse.
tlemhomogen-l
Lemme 1.3.4 (Lemme d’homogénéité): Soit y et z deux points à l’intérieur de N une variété lisse
(potentiellement à bord) connexe. Alors il existe un difféomorphisme h : N → N isotope à l’identité
tel que h(y) = z.
Démonstration. La première étape est de contruire une isotopie de Rn qui est l’identité à l’extérieur d’une boule et qui envoie l’origine sur n’importe quel point à l’intérieur de la boule choisi.
D’un point de vue intuitif ce résultat est assez facile à croire. Pour être plus précis, il faut d’abord
considérer la fonction lisse φ(x) = λ(1 − kxk2 ) où
(
0
si t ≤ 0;
λ(t) =
−1
t
e
sinon.
Ensuite, pour n’importe quel u ∈ Sn−1 fixé, une équation d’évolution est définie par dxdti = ui φ(x1 , . . . , xn ).
Soit x(t) := F(x̄,t) la solution avec condition initial fixée x(0) = x̄ a les propriétés suivantes :
(1) F(x̄,t) est définie et lisse en x̄ et en t ;
(2) F(x̄, 0) = x̄ ;
(3) F(x̄, s + t) = F F(x̄,t), s .
Autrement dit, F est une isotopie de l’identité vers un difféomorphisme qui envoie 0 (l’origine) sur
un point quelconque sur le segment de 0 à u.
Pour le besoin de la cause, disons que deux points d’une variété N sont isotopes s’il existe une
isotopie à l’identité qui envoie l’un sur l’autre. C’est de nouveau une relation d’équivalence. Or si y
est un point d’intérieur, il possède un voisinage difféomorphe à une boule. Par contagion, être dans
la “classe d’isotopie” de y est une condition satisfaite par un ouvert, ergo dans toute une composante
connexe de l’intérieur. Si N est connexe, toute paire de point de l’intérieur est isotope.
1.3.ii
ss-degmod2
tlemhomotop-l
Le degré modulo 2
Lemme 1.3.5 (Lemme de l’homotopie): Soit f , g : M → N deux applications homotopes de M une
variété compacte et sans bord vers N une variété de même dimension que M. Si y est une valeur
régulière commune à f et g alors | f −1 (y)| ≡ |g−1 (y)| (mod 2).
8. Dans cette définition, une variété contractile est forcément connexe.
17
o-extdegdezero
1.3 - Le degré modulo 2 et le théorème de Borsuk-Ulam
Démonstration. Soit F : M × [0, 1] → N une homotopie lisse entre f et g. Supposons que y est une
valeur régulière de F, alors X = F −1 (y) est une variété lisse à bord de dimension 1. De plus, son
bord est
F −1 (y) ∩ (M × {0} ∪ M × {1}) = f −1 (y) × {0} ∪ g−1 (y) × {1}.
Ainsi le |∂X| = | f −1 (y)| + |g−1 (y)| est pair, car une variété de dimension 1 a forcément un nombre
pair de points sur son bord (voir dessin ci-dessous).
F −1 (y)
M × {0}
M × {1}
Si y n’est pas une valeur régulière de F, alors il suffit de se rappeler que, comme en sous-section
soit aussi une valeur régulière). Ainsi,
soit V1 un voisinage de y dans N formé de valeurs régulières de f et V2 un voisinage similaire pour
g. Alors F possède une valeur régulière dans V1 ∩V2 , ce qui conclut la démonstration.
ss-valregteofond
1.1.iii, y0 7→ | f −1 (y0 )| est localement constante (pourvu que y0
Avec un tantinet plus d’effort, l’utile généralisation suivante est obtenue :
E XERCICE 16: Soit M = ∂X et soit f : M → N une application s’étendant de manière lisse à X.
Montrer que deg2 f = 0.
Tout est prêt pour démontrer le résultat principal de la section. Au préalable, il est bon de souligner que y 7→ | f −1 (y)| (mod 2) est, a priori, seulement localement constant.
Théorème 1.3.6 (Théorème du degré modulo 2): Soit f : M → N une application lisse de M une
variété lisse compacte sans bord et N une variété lisse connexe. Soit y et z deux valeurs régulières
de f alors
| f −1 (y)| ≡ | f −1 (z)| (mod 2).
Cette valeur commune est appelée le degré modulo 2 de f , noté deg2 f
tlemhomogen-l
Démonstration. Par le lemme d’homogénéité 1.3.4, il existe un difféomorphisme isotope à l’identité
tlemhomotop-l
φ : N → N tel que φ(y) = z. Ainsi, f et g := f ◦ φ sont homotopes. Par le lemme d’homotopie 1.3.5,
| f −1 (z)| ≡ |g−1 (z)| ≡ |(φ ◦ f )−1 (z)| ≡ | f −1 ◦ φ−1 (z)| ≡ | f −1 (y)| (mod 2).
tsard-t
Par le théorème de Sard 1.2.1, le degré modulo 2 est défini sur un ouvert dense.
Corollaire 1.3.7: Soit M une variété lisse sans bord compacte. Alors l’application identité et l’application constante ne sont pas homotopes.
Démonstration. En effet, leur degré modulo 2 diffère : 0 pour l’application constante et 1 pour
l’application identité.
18
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
exe-contrisotopid
Ce résultat est faux pour les variétés à bord : le disque est contractile et l’exemple 1.3.3 montre
que toute application est isotope à l’identité. Conséquemment, toute paire d’application est mutuellement isotope. Ceci reste vrai pour toute application d’une variété à bord dans la sphère (voir le
thopf-t
théorème de Hopf 1.4.15).
Exemple 1.3.8: L’application f : S1 → S1 qui enroule le cercle n fois sur lui-même a deg2 f ≡
n (mod 2). En effet, chaque point aura n images inverses.
♠
1.3.iii
Le théorème de Borsuk-Ulam
Définition 1.3.9: Soit M une variété de dimension m et f : M → Rm+1 une application lisse. Soit
z ∈ Rm+1 un point qui n’est pas dans l’image de f . L’indice d’enroulement modulo 2 en z de f ,
noté W2 ( f ; z), est le degré modulo 2 de l’application
f¯z := ( f − z)/k f − zk : M →
m 7→
Sm
f (m) − z
.
k f (m) − zk
♦
Avant de commencer la démonstration du prochain lemme, il est bon de remarquer que si X et
Y ⊂ Rk sont deux variétés disjointes et de même dimension et f : X t Y → N est une application
lisse, alors deg2 f = deg2 f|X + deg2 f|Y (le signe t insiste sur le fait qu’une union est disjointe).
tenroulext-l
Lemme 1.3.10: Soit X une variété compacte à bord (de dimension m + 1) et M = ∂X une variété
compacte sans bord. Soit F : X → Rm+1 une extension lisse d’une application lisse f : M → Rm+1 .
Soit z une valeur régulière de F qui n’appartient pas à f (M). Alors W2 ( f ; z) ≡ |F −1 (z)| (mod 2).
exo-extdegdezero
Démonstration. Si z ∈
/ F(X), par l’exercice 16, la fonction f¯z a une extension lisse ( F̄z := (F −
z)/kF − zk) sur tout X et donc deg2 f ≡ 0 (mod 2).
Si z ∈ F(X), F −1 (z) = {y1 , . . . , ys } est fini, car z est une valeur régulière et X est compacte.
Soit Bi un voisinage de yi de sorte que X r Bi soit une variété à bord, que l’adhérence des Bi soient
disjointes et qu’elles ne touchent pas M = ∂X. D’une part, par le théorème des fonctions inverses, F
est un difféomorphisme entre une boule B ⊂ Rm+1 et Bi . Si fi = F|∂Bi , alors
W2 ( fi ; yi ) = W2 (Sm ,→ Rm+1 ; 0) = 1.
Soit Y := X r t Bs et N := ∂Y = M t t ∂Bi ), alors z n’est pas dans l’image de F|Y , ainsi
deg2 (F∂Y )z ≡ 0 (mod 2). D’autre part,
s
s
deg2 (F∂Y )z = deg2 (F∂X )z + ∑ deg2 (F∂Bi )z = W2 ( f ; z) + ∑ W2 ( fi ; z) ≡ 0 (mod 2)
i=1
i=1
et donc W2 ( f ; z) ≡ s ≡ |F −1 (z)| (mod 2).
tpreborsuk-t
Théorème 1.3.11: Soit f : Sn → Rn+1 r {0} une application lisse telle que ∀x ∈ Sn , f (−x) = − f (x)
et que 0 ∈
/ f (Sn ). Alors W2 ( f ; 0) = 1.
19
1.3 - Le degré modulo 2 et le théorème de Borsuk-Ulam
Démonstration. L’application lisse f¯ := f /k f k de Sn → Sn satisfait toujours la relation f¯(−x) =
− f¯(x). L’argument procèdera par induction sur n. Lorsque n = 1, il est possible d’écrire f¯(θ) = eih(θ)
(en voyant S1 ⊂ C) où h : R → R est une application telle que h(θ − 2π) = h(θ) + 2πq pour un
q ∈ Z indépendant de θ. Mais comme f¯(−x) = − f¯(x), il apparaît qu’il existe un entier ` avec
h(θ − π) = h(θ) + (2` + 1)π ; autrement dit, que q est impair. D’autre part, pour calculer | f −1 (φ)|,
il suffit de regarder |h−1 (φ)/(2πZ)|. Ainsi deg2 f¯ ≡ q ≡ 1 (mod 2).
Pour le démontrer lorsque n > 1 (en supposant vrai pour n − 1), l’inclusion
ı:
Sn−1
→
Sn
(x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xn , 0)
tsard-t
nous viendra en aide. Soit g := f ◦ ı et ḡ := g/kgk. Il existe, par le théorème de Sard 1.2.1, un y ∈ Sn
qui est une valeur régulière pour f¯. Quitte à prendre une autre valeur régulière proche de y, il est
possible de supposer que y ∈
/ Im ḡ. Par symmétrie −y est aussi une valeur régulière n’appartenant
pas à l’image de ḡ. Ainsi
W2 ( f ; 0) = deg2 f¯ = | f¯−1 (y)|.
Par symétrie, | f¯−1 (y)| = | f¯−1 (−y)| = 12 | f¯−1 (L)|. Mais, de nouveau par symétrie, il est suffisant de
regarder f¯+ la restriction de f¯ à l’hémisphère supérieur Sn+ := {x ∈ Sn | xn+1 ≥ 0}, c’àd.
W2 ( f ; 0) = 12 | f¯−1 (L)| = | f¯+−1 (L)|.
L’intérêt de cette dernière expression provient du fait que Sn+ est une variété à bord, le bord n’étant
rien d’autre que l’équateur choisi (i.e. ∂Sn+ = Sn−1 ).
De plus, comme g évite L, il est possible de regarder π : Rn+1 → L⊥ ∼
= Rn la projection orthogonale par L. Par induction, il est alors possible d’appliquer le résultat à π ◦ g : Sn−1 → Rn :
W2 (π ◦ g; 0) = 1.
tenroulext-l
Comme y ou −y est une valeur régulière de f¯+ , lemme 1.3.10 implique
W2 ( f ; 0) ≡ | f¯+−1 (y)| ≡ W2 (π ◦ g; 0) ≡ 1 (mod 2)
Après cet énoncé laborieux, quelques corollaire surprenants apparaissent.
Corollaire 1.3.12: Si f : Sn → Rn+1 r {0} est telle que f (−x) = − f (x), alors l’image de f a une
intersection avec tout les lignes qui passe par l’origine.
Démonstration. Si une ligne Ry ne coupe pas l’image de f , alors f¯−1 (y) = 0, une contradiction
avec le résultat précédent.
Corollaire 1.3.13: Étant donné n fonctions lisses fi : Sn → R telles que fi (−x) = − fi (x) alors elles
possèdent un zéro commun.
Démonstration. Prendre f := ( f1 , . . . , fn , 0) : Sn → Rn+1 . Si elles n’ont pas de zéro commun, f
prend valeur dans Rn+1 r {0} et son image n’a pas d’intersection avec la droite (0, . . . , 0,t), une
contradiction avec le corollaire précédent.
20
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
Théorème 1.3.14 (Borsuk-Ulam): Étant donné n fonctions lisses gi : Sn → R, alors ∃y ∈ Sn tel que
∀i ∈ n, gi (−y) = gi (y).
Démonstration. Poser fi (x) = gi (x) − gi (−x) et appliquer le corollaire précédent.
La version ci-dessus est en fait une version faible de Borsuk-Ulam, le théorème original restant
valable pour toute fonction continue. Il est généralement présenté (pour n = 2) comme le fait qu’il
y a toujours deux point opposés sur la terre qui ont la même “météo” (température et pression).
1.3.iv
Exemples et Exercices
Exemple 1.3.15: Une quantité intéressante qui se dérive du degré modulo 2 est le nombre d’enlacement modulo 2. Soit M et N deux sous-variétés de dimension respectives m et n de Rm+n+1 . Alors,
l’application d’enlacement est
M×N →
Sm+n
x−y
.
(x, y) 7→
kx − yk
Le degré modulo 2 de cette application est le nombre d’enlacement modulo 2, noté Enl2 (M, N).
C’est un invariant d’isotopies de Rm+n+1 : si φ : Rm+n+1 → Rm+n+1 est un difféomorphisme isotope
à l’indentité, alors Enl2 (M, N) = Enl2 φ(M), φ(N) . Un cas amusant 9 est de regarder deux cercles
exo-extdegdezero
plongés dans R3 : l’application d’enlacement est alors S1 × S1 → S2 . Par l’exercice 16, si l’un de ces
cercles (disons M) est le bord d’un disque (∂W = M) et que W ∩ N = ∅, alors Enl2 (M, N) = 0. En
effet, ∂(W × N) = ∂W × N = M × N et l’application d’enlacement s’étend de manière lisse à W × N.
tenroulext-l
Pour calculer ce nombre, le plus simple reste d’utiliser un analogue du lemme 1.3.10 : si M =
∂W alors Enl2 (M, N) ≡ |W ∩ N| (mod 2). En conclusion, les deux situations ci-dessous ne sont pas
isotopes dans R3 :
♠
Degré modulo 2
E XERCICE 17: Montrer, en utilisant le degré modulo 2, qu’aucune application lisse f : Dn+1 → Sn
ne laisse la sphère fixe point par point. [Indice : identifier f sur le disque à une fonction définie sur
Sn × [0, 1] et constante sur Sn × {0}.
E XERCICE 18: Montrer que si f : M → N est tel que deg2 f 6= 0 (en particulier, M et N satisfont
les hypothèses du théorème sur le degré modulo 2) alors f est surjective. En déduire que si N n’est
pas compacte, alors deg2 f = 0.
exo-extdegdezero
E XERCICE 19: Déduire de l’exercice 16 le théorème suivant. Soit X un domaine du plan complexe
(une variété de dimension 2 à bord) et p : C → C une application lisse. Supposons que p ne s’annule
s-orientdegbrouw
9. En modulo 2, cette quantité est surtout utile pour les variétés non-orientables (voir section 1.4), ce qui n’est pas le
cas des cercles.
21
1.4 - Orientabilité et degré de Brouwer
pas sur ∂X, et soit p/|p| : z 7→ p(z)/|p(z)|. Si p/|p| : ∂X → S1 est telle que deg2 p/|p| =
6 0 alors p a
un zéro dans l’intérieur de X.
E XERCICE 20: Montrer que le degré modulo 2 d’un polynôme complexe de degré n, étendu en une
application S2 → S2 , est n (mod 2). Utiliser l’exercice précédent pour conclure que tout polynôme
de degré impair admet un 0 (une sorte de “demi-théorème” fondamental de l’algèbre).
E XERCICE 21: Montrer que deg2 (g ◦ f ) = (deg2 f )(deg2 g).
Indice d’enroulement modulo 2
E XERCICE 22: Soit p1 , . . . , pn des polynômes en (n + 1) variables (rééls) homogènes de degrés
impairs, pi : Rn+1 → R. Alors il existe une droite passant par l’origine dans Rn+1 sur laquelle tous
ces polynômes s’annulent.
Le théorème de Jordan-Brouwer
Les exercices suivants ont pour but la démonstration du théorème de Jordan-Brouwer :
Théorème 1.3.16: Soit M ⊂ Rm+1 une variété connexe compacte et sans bord de dimension m.
Alors le complémentaire de M a deux composantes connexes, l’une bornée (l’intérieur) et l’autre
non-bornée (l’extérieur).
E XERCICE 23: Soit z ∈ Rm+1 r M et x ∈ M. Montrer que ∀U ∈ Vois Rm+1 x il existe une courbe lisse
γ : [0, 1] → Rm+1 r M telle que γ(0) = z et γ(1) ∈ U.
E XERCICE 24: Montrer que Rm+1 r M a au plus deux composantes connexes.
E XERCICE 25: Montrer que si z0 et z1 appartiennent à la même composante connexe de Rm+1 r M,
alors W2 (M; z0 ) = W2 (M; z1 ) (ici W2 (M; z) := W2 (i; z) où i : M → Rm+1 est l’inclusion).
E XERCICE 26: Soit z ∈ Rm+1 r M et v ∈ Sm un vecteur unitaire. Soit r = {z + tv | t ∈ R≥0 } le
rayon partant de z dans la direction v. Montrer que v est une valeur régulière de l’application
i−z
m
m+1 (i.e. le vecteur v n’est pas dans le
ki−zk : M → S si et seulement si, ∀x ∈ M ∩ r, Tx M + v = R
plan tangent à X en x).
E XERCICE 27: Soit v comme à l’exercice précédent une valeur régulière et z0 ∈ r = {z + tv | t ∈
R≥0 }. Montrer que W2 (M; z0 ) ≡ W2 (M; z) + ` (mod 2) où ` est le nombre de point d’intersections de
r et M entre z et z0 .
E XERCICE 28: Conclure que Rm+1 r M a deux composantes connexes, déterminées par D0 = {z ∈
Rm+1 r M | W2 (M; z) = 0} et D1 := {z ∈ Rm+1 r M | W2 (M; z) = 1}.
E XERCICE 29: Montrer que si kzk est assez grand W2 (M; z) = 0. En conclure le théorème.
En fait, ceci détermine une sorte d’algorithme pour déterminer si un point est à l’intérieur ou à
l’extérieur. Il suffit de prendre un rayon bien choisi, et de compter le nombre d’intersections. Si ce
nombre est impair, il s’agit d’un point intérieur, sinon c’est un point d’extérieur.
1.4
Orientabilité et degré de Brouwer
1.4.i
Variétés orientables
orientdegbrouw
Définition 1.4.1: Une orientation de Rm (où m ≥ 1) est la classe d’équivalence de bases de Rm où
(b1 , . . . , bm ) ' (b01 , . . . , b0m ) si il existe une matrice A ∈ Mm (R) avec Det A > 0 telle que Abi = b0i .
22
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
Il est utile de définir une orientation de R0 ∼
= {un point} par le choix de +1 ou −1.
F
Il n’est pas très difficile de voir qu’il n’y a que deux classes d’équivalences de bases. Si
GLn (R) = {A ∈ Mn×n (R) | Det A 6= 0},
GL+
n (R) = {A ∈ Mn×n (R) | Det A > 0}
et
alors deux bases sont relié par un élément de GLn (R) et GLn (R)/GL+
n (R) est isomorphe au groupe
à deux éléments. Les représentants usuels sont
(+) : (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., (0, . . . , 0, 1), dite l’orientation standard ;
(−) : une orientation où un nombre impair de vecteur b de la base ci-haut sont changés en −b.
Définition 1.4.2: Une orientation d’une variété (avec ou sans bord) M est la donnée d’une orientation de chaque espace tangent Tx M ∼
= Rm de sorte qu’en tout point x0 il existe un voisinage U
de x0 dans M et un difféomorphisme h : U → Rm (ou Hm ) tel que ∀x ∈ U, dhx : Tx M → Rm envoie
l’orientation de Tx M ∼
= Rm choisie vers l’orientation standard de Rm .
M est dit orientable si elle possède une orientation.
F
Une variété connexe orientable possède exactement deux orientations. Si M a un bord, il y a
trois type de vecteurs dans Tx M où x ∈ ∂M :
– les vecteurs qui appartiennent au sous-espace de dimension (m − 1) du bord, i.e. v ∈ Tx (∂M) ;
– les vecteurs qui appartiennent à un des demi-espaces ouvert bordé par Tx (∂M), dit “intérieur”,
celui qui est envoyé par une carte sur un élément de Hm ;
– les vecteurs qui pointent vers l’“extérieur” (l’autre demi-espace ouvert).
Les deux derniers vecteurs sont normaux au bord, i.e. ils appartiennent à l’espace normal à ∂M dans
M, Tx M/∂M . Une orientation de M définie une orientation de ∂M comme suit. Il faut séparer deux
cas :
– D’abord, si m ≥ 2, pour x ∈ ∂M, soit (b1 , b2 , . . . , bm ) une base de Tx M qui est dans la classe
d’orientation fixée de Tx M et telle que (b2 , . . . , bm ) est une base de Tx (∂M) et b1 pointe vers
l’extérieur. Alors (b2 , . . . , bm ) donne l’orientation de Tx (∂M) (et ensuite de ∂M).
– Si m = 1, le bord est une union de points, et l’orientation de M est un choix de parcours de la
courbe. Alors l’orientation −1 est donnée au point de départ et +1 au point d’arrivée :
u
−1
u
+1
Exemple 1.4.3: Le disque Dm peut être orienté par l’orientation standard de Rm . Comme Sm−1 =
∂Dm , la sphère est aussi orientable. En fait, toute variété de dimension m dans Rm est orientable (il
suffit de prendre l’orientation standard de Rm en chaque point).
23
1.4 - Orientabilité et degré de Brouwer
v2
v1
Par conséquent, toute variété de dimension m − 1 qui est le bord d’une variété de dimension m dans
Rm est orientable.
♠
Il existe des variétés W non-orientables à bord mais dont ∂W est orientable. Le cas le plus évident
est que toute variété de dimension 1 est orientable. Cependant, le ruban de Möbius est une variété
non-orientable à bord dont le bord est difféomorphe à un cercle.
1.4.ii
ddeg
Degré de Brouwer
Définition 1.4.4: Soit M et N deux variétés orientées sans bord de même dimension n et f : M → N
une application lisse. Supposons de plus que M est compacte et N est connexe. Soit x ∈ M un point
régulier de f . Puisque dfx : Rn ∼
= Tx M → T f (x) N ∼
= Rn est un isomorphisme d’espaces vectoriels
(de même dimension), il est possible de parler du signe de dfx , noté sgn dfx , comme étant +1 s’il
préserve l’orientation et −1 s’il l’inverse.
Pour une valeur régulière y ∈ N, le degré de f est défini par
deg( f ; y) =
∑
♦
sgn dfx
x∈ f −1 (y)
ss-valregteofond
ss-degmod2
Comme en 1.1.iii et 1.3.ii, ce degré est a priori au moins localement constant et défini sur un
tsard-t
ouvert dense (par le théorème de Sard 1.2.1). Le but de cette section est de montrer que le degré
possède les même propriétés d’invariance que le degré modulo 2.
ddeg
gindepvalreg-t
Théorème 1.4.5: Soit M et N comme à la définition 1.4.4. Le degré ne dépend pas de y, i.e. pour
toute paire de valeurs régulières y, z ∈ N, deg( f ; y) = deg( f ; z)
Cette valeur commune sera notée deg f .
ddeg
tdeghomotinv-t
Théorème 1.4.6: Soit M et N comme à la définition 1.4.4. S’il existe une homotopie lisse entre f
et g, alors deg f = deg g.
s-degmod2borsuk
Les démonstrations sont d’ailleurs très similaires à celles de la section 1.3. Voici la version
exo-extdegdezero
orientée de l’exercice 16 :
ddeg
textdeg0-l
Lemme 1.4.7: Soit M et N comme à la définition 1.4.4. Supposons de plus que M = ∂X où X est
une variété compacte et orientée. Si f : M → N s’étend à une application lisse F : X → N, alors
deg f = 0.
24
tdeghomotinv-l
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
Démonstration. Tout d’abord, si y est une valeur régulière pour F et pour f = F|M . Alors F −1 (y)
est une variété compacte de dimension 1 (une réunion d’arcs et de cerlces), et le bord des arcs est
contenu dans ∂X = M. Soit A un de ces arcs et ∂A = {a} ∪ {b}. L’objectif est de montrer que
sgn dfa + sgn dfb = 0,
et ainsi, en faisant la somme sur tous les arcs, il apparaîtra que deg( f ; y) = 0.
L’orientation de X et de N donne une orientation de A comme suit : si x ∈ A et (v1 , v2 , . . . , vn+1 )
est une base respectant l’orientation de Tx X telle que v1 ∈ Tx A. Alors v1 détermine l’orientation de A
si et seulement si l’image par dFx de (v2 , . . . , vn+1 ) est une base de TF(x) N qui respecte l’orientation.
Ainsi, étant donné v1 (x) le vecteur qui donne l’orientation de A en x, il est évident que x a
un signe +1 à une extrémité et −1 à l’autre. Ceci implique que sgn dfa + sgn dfb = 0 et donc que
deg( f ; y) = 0.
Si jamais y0 n’est pas une valeur régulière de F, alors il existe un voisinage U de y0 constitué
ss-degmod2
de valeurs régulières de f et ∀y ∈ U, deg( f ; y) = deg( f ; y0 ). Ainsi, comme en sous-section 1.3.ii, le
tsard-t
théorème de Sard 1.2.1 nous permet de choisir une valeur régulière y de F dans U. D’où deg( f ; y0 ) =
deg( f ; y) = 0.
ddeg
Lemme 1.4.8: Soit M et N comme à la définition 1.4.4. Soit F : M × [0, 1] → N une homotopie lisse
entre F|M×{0} = f : M → N et F|M×{1} = g : M → N. Pour tout valeur régulière y commune à f et g,
deg( f ; y) = deg(g; y).
Démonstration. La variété M × [0, 1] possède une orientation de sorte que l’orientation induite sur
M × {0} soit contraire à l’orientation de M et celle induite sur M × {1} respecte l’orientation de
textdeg0-l
M. Ainsi, le degré de F à une valeur régulière est deg(g; y) − deg( f ; y). Par le lemme 1.4.7, cette
différence est nulle.
ss-degmod2
La suite est essentiellement donnée en sous-section 1.3.ii.
tdegindepvalreg-t
tdeghomotinv-t
tdeghomotinv-l
Démonstration des théorèmes 1.4.5 et 1.4.6. Le lemme 1.4.8 montre essentiellement le théorème
tdeghomotinv-t
tdegindepvalreg-t
1.4.6 s’il est admis que le degré ne dépend pas de la valeur régulière y (c’àd. le théorème 1.4.5).
Si y et z sont deux valeurs régulière de f : M → N, soit h : N → N un difféomorphisme (isotope à
tlemhomogen-l
l’identité) tel que h(y) = z fourni par le lemme d’homogénéité 1.3.4. Alors h préserve l’orientation
(car isotope à l’identité), et
deg( f ; y) = deg(h ◦ f ; h(y)) = deg(h ◦ f ; z) = deg( f ; z),
tdeghomotinv-l
où les deux premières égalités sont par définition et la dernière par le lemme 1.4.8 (car h ◦ f et f sont
tdegindepvalreg-t
tdeghomotinv-t
homotopes). Ceci conclut la démonstration du théorème 1.4.5 et donc du théorème 1.4.6 aussi. Exemple 1.4.9: L’application constante M → {y} ∈ N est de degré 0. L’application identité M → M
est de degré 1. Les applications z 7→ zk restreintes au cercle unité (vu comme sous-ensemble de C)
ont degré k ∈ Z. Un difféomorphisme M → N a degré +1 ou −1 selon qu’il préserve ou renverse
l’orientation.
♠
25
f-pashomotid-c
1.4 - Orientabilité et degré de Brouwer
Corollaire 1.4.10: Un difféomorphisme qui renverse l’orientation d’une variété compacte sans
bord n’est pas homotope à l’identité. En particulier, l’application antipodale de Sn → Sn est homotope à l’identité si et seulement si n est impair.
Démonstration. Ces assertions sont un corollaire direct de l’invariance du degré. Pour le cas de la
sphère, il suffit de vérifier que ri : Sn → Sn la réflexion de la ième coordonnée dans Rn+1 renverse
l’orientation. Il est assez facile de conclure que l’application antipodale (= r1 ◦ r2 ◦ · · · ◦ rn+1 ) est de
degré (−1)n+1 . Ceci est différent de 1 précisément quand n est pair.
Montrer que l’application antipodale est homotope à l’identité est assez simple. Tout d’abord,
une sphère de dimension impaire est inclue dans R2n pour un n ∈ Z>0 . Il existe une homotopie
explicite entre la matrice IdR2n et −IdR2n donnée par l’application linéaire


cos θ sin θ
0
0
···
0
0


− sin θ cos θ
0
0
···
0
0 


 0
0
cos θ sin θ · · ·
0
0 




0
− sin θ cos θ · · ·
0
0 
R : θ 7→ 
 0
.
 ..
..
..
..
.
.
.
..
..
.. 
 .

.
.
.


 0

0
0
0
·
·
·
cos
θ
sin
θ


0
0
0
0
· · · − sin θ cos θ
Ainsi R(0) = Id et R(π) = −Id. Comme la matrice est dans SO2n (R), il s’agit même d’une isotopie
qui envoie la sphère dans elle-même (et donc d’une isotopie sur la sphère).
Au passage, notons que le degré modulo 2 est insuffisant pour conclure que l’application antipodale de S2n n’est pas homotope à l’identité (elles ont toutes deux degré 1 (mod 2)). Un résultat
célèbre (l’éversion de la sphère) motive la définition suivante :
Définition 1.4.11: Une application f : M → N est dite une immersion si dfx est injective ∀x ∈ M.
Un plongement est une immersion f qui est injective.
Par exemple, le plan projectif RP2 et la bouteilles de Klein possèdent tout deux une immersion 10
dans R3 mais aucun ne se plonge dans R3 . Le résultat surprenant de Smale 11 est qu’il existe une
homotopie F entre i : S2 → R3 et i ◦ a : S2 → R3 (où i est l’inclusion et a l’application antipodale)
tdiff-pashomotid-c
telle que, ∀t ∈ [0, 1], F(·,t) est une immersion. Ceci semble contredire le corollaire 1.4.10, mais il
faut se rappeler que ces deux applications ne sont pas homotopes en tant qu’applications de S2 → S2 ,
ce qui est différent. En fait, il est assez facile de construire une homotopie C 0 dans R3 , mais de
contruire une homotopie lisse qui est toujours une immersion est autrement plus difficile.
1.4.iii
Le théorème de la “sphère poilue”
s-poinhopf2
Ce théorème sera démontré dans une version plus générale en section 3.4. L’application donnée
exofibretang
ici remonte à Brouwer. Rappelons que le fibré tangent (voir exercice 7) de M ⊂ Rk est la variété
10. pour le plan projectif RP2 il s’agit de la surface de Boy.
11. voir le[s] vidéo[s] “How to turn a sphere inside out” et le site http://new.math.uiuc.edu/optiverse/
26
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
lisse de dimension 2m
TM = {(x, v) ∈ M × Rk | x ∈ M et v ∈ Tx M}.
Il est muni d’une projection naturelle
π:
TM → M
(x, v) 7→ x
Un champ de vecteur [lisse] est une application lisse f : M → TM telle que π ◦ f = IdM , i.e. que le
vecteur f (x) appartienne bien à Tx M.
2
Exemple 1.4.12: Si M = Sn = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | ∑n+1
i=1 xi = 1} alors, en utilisant le lemme
tesptanssvar-l
2
−1 (1), il apparaît que df = 2xT et ainsi que v ∈ T Sn = Ker df
1.2.4 avec f (x) = ∑n+1
x
x
x
i=1 xi et M = f
si et seulement si v · x = 0.
Un champ de vecteur lisse sur Sn se réduit à une application lisse g : Sn → Sn × Rn+1 telle que
g(x) = (x, v) où v · x = 0. En oubliant le premier facteur (qui n’apporte aucune information, on peut
ramener un champ de vecteur lisse à une application v : Sn → Rn+1 telle que v(x) · x = 0.
♠
Théorème 1.4.13 (Théorème de la “sphère poilue”): Sn possède un champ de vecteur lisse partout
non-nul si et seulement si n est impair.
Démonstration. Soit v comme ci-haut. Si v est non-nul, il est possible de supposer que v(x)·v(x) = 1
partout. En effet, si ce n’est pas le cas, il suffit de continuer avec le champ de vecteur v̄ = v/kvk.
Ainsi un champ de vecteur non-nul est une application v : Sn → Sn .
Soit F : Sn × [0, π] → Sn l’homotopie définie par F(x, θ) = x cos θ + v(x) sin θ (pour vérifier
que le résultat est bien dans Sn , il suffit de voir que ∀x, ∀θ, F(x, θ) · F(x, θ) = 1). Puisque Il s’agit
d’une homotopie lisse et F(x, 0) = x et F(x, π) = −x, l’application identité doit être homotope à
l’application antipodale. Ceci implique que n ne peut pas être pair.
D’un autre côté, si n = 2k est impair, un tel champ de vecteur se construit explicitement par la
formule
v(x) = (−x2 , x1 , −x4 .x3 , . . . , −x2k , x2k−1 )
Le champ de vecteur ci-haut construit la même isotopie de IdS2n+1 vers −IdS2n+1 que celle du
tdiff-pashomotid-c
corollaire 1.4.10. Ce théorème est généralement présenté comme suit. Si une sphère est couverte de
poils (le champ de vecteur), alors il y a forcément un endroit chauve.
1.4.iv
Le théorème de Hopf
Cette section n’est qu’une esquisse du théorème de Hopf. Pour la démonstration complète voir
le livre de Hirsch (“Differential Topology” au Ch.5, §1, pp121–129) ou Milnor (“Topology from the
differentiable viewpoint”, §7, pp42–51).
La démonstration se fera ici en supposant un théorème (qui est en fait la partie difficile du
résultat) :
tprehopf-t
Théorème 1.4.14: Soit W une variété compacte à bord de dimension n + 1 et ∂W = M. Soit f :
M → Sn une application lisse.
27
1.4 - Orientabilité et degré de Brouwer
1. Si W est orientable, f s’étend à W si et seulement si deg f = 0
2. Si W et M sont non-orientables, f s’étend à W si et seulement si deg2 f = 0
textdeg0-l
Notons que la partie “l’extension existe” ⇒ “le degré est 0” est démontrée par le lemme 1.4.7
exo-extdegdezero
et l’exercice 16. Il est aussi bon de se rappeler que le degré n’est pas défini si la source a un bord.
Puisque le cercle peut être vu comme le bord d’une surface non-orientable (le ruban de Möbius) il
est important dans le point 2 ci-haut que M ne soit pas orientable non plus. (Le théorème de Hopf
désigne habituellement que l’énoncé “orienté” du théorème suivant.)
thopf-t
Théorème 1.4.15 (Théorème de Hopf): Soit M une variété connexe compacte de dimension n ≥ 1.
Soit f , g : M → Sn deux applications lisses. Alors,
1. si M est sans bord et orientable, f est homotope à g si et seulement si deg f = deg g ; tous les
degrés sont possibles.
2. si M est sans bord et non-orientable, f est homotope à g si et seulement si deg2 f = deg2 g ;
tous les degrés sont possibles.
3. si M est à bord, f est homotope à g.
Démonstration. Pour montrer que toutes les valeurs de degré sont possibles, soit donné, pour i ∈
{1, 2, . . . , m}, des cartes fi : Ui → Rn préservant l’orientation où les Ui sont des ouverts disjoints de
M. Quitte à utiliser un difféomorphisme, il est possible de supposer que les fi sont surjectives. Soit
s : Rn → Sn r {P} (où P est le pôle nord) l’inverse de la projection stéréographique (ceci préserve
l’orientation). Alors, il suffit de définir
n
f: M → S
(
x
7→
s ◦ fi si x ∈ Ui
P
si x ∈ M r (∪Ui ).
L’application est continue et peut-être rendue lisse avec un peu d’efforts (en coupant par des fonctlemhomogen-l
tions comme au lemme 1.3.4 ou lorsqu’on fait des partitions de l’unité). Une vérification simple
donne que le degré de cette application est m. En prenant des projections stéréographiques qui renverse l’orientation, il est aussi possible d’obtenir −m. Finalement, dans le cas du degré modulo 2,
il suffit de prendre m = 1. Les applications constantes ont degré 0, ce qui termine de montrer que
toutes les valeurs peuvent être prises.
La première partie de 1 et 2 s’obtient du théorème ci-haut en regardant l’homotopie F comme
tdeghomotinv-l
définie W = M × [0, 1] (voir le lemme 1.4.8). Pour 3, il suffit de prendre une copie de M et de
la recoller à M le long de ∂M pour obtenir la variété “doublée” M 0 (une variété sans bord). Soit
p : M 0 → M l’application qui identifie ces deux copies et i : M → M 0 l’injection d’une copie dans le
double. M 0 est orientable exactement lorsque M l’est ; chaque copie aura une orientation opposée.
Ainsi f ◦ p : M 0 → Sn est de degré [modulo 2 ou entier] 0. Cette application est donc homotope à
une application constante (puisque le degré de l’application constante est 0). Mais alors f = f ◦ p ◦ i
est aussi homotope à une constante. Autrement dit toute application est homotope à l’application
constante, et en particulier, toute paire d’application est mutuellement homotope.
28
Chapitre 1 - VARIÉTÉS , TRANSVERSALITÉ ET DEGRÉ
1.4.v
Exemples et Exercices
Exemple 1.4.16: Si M est une variété orientée de dimension m et f : M → Rm+1 , l’indice d’enroulement entier en z de f , noté W ( f ; z), est le degré de l’application
f¯z := ( f − z)/k f − zk : M →
m 7→
Sm
f (m) − z
.
k f (m) − zk
♦
Il permet aussi de redémontrer le théorème fondamental de l’algèbre, et même d’en donner une
version plus forte. Soit f : D → C est lisse et D ⊂ C est un domaine avec bord. Si f ne s’annule pas
sur D, alors W ( f|∂D ; 0) = 0. Pour obtenir le théorème fondamental, de l’algèbre il suffit de considérer
D un disque de grand rayon. Un petit calcul montre alors que deg f est le degré du polynôme. ♠
Degré
E XERCICE 30: Montrer que deg(g ◦ f ) = (deg g)(deg f ).
E XERCICE 31: Montrer que toute application lisse Sn → Sn de degré différent de ±1 doit avoir un
point fixe. (En fait, toute application lisse Sn → Sn de degré différent de (−1)n+1 doit avoir un point
fixe.)
E XERCICE 32: Montrer que toute application lisse Sn → Sn de degré impair doit envoyer une paire
de points antipodaux sur une paire de points antipodaux.
Nombre d’enlacement
Cette suite d’exercice a pour but de définir et étudier l’enlacement de deux variétés. Dans ce qui
suit, M ⊂ Rk+1 et N ⊂ Rk+1 sont des sous-variétés compactes sans bord de dimensions respectives
m et n. Il sera aussi supposé que m + n = k et M ∩ N = ∅. Le nombre d’enlacement, noté Enl(M, N)
est alors défini comme le degré de l’application
M×N →
(x, y)
7→
Sk
x−y
kx − yk
E XERCICE 33: Montrer que Enl(M, N) = (−1)(m−1)(n−1) Enl(N, M).
E XERCICE 34: Montrer que si M est le bord de W et que W ∩ N = ∅ alors Enl(M, N) = 0.
E XERCICE 35: En prenant N = {x, y} (donc n = 0) et m = k, montrer que Enl({x, y}, M) 6= 0 si et
seulement si x et y sont séparés par M dans Rk+1 .
29
1.4 - Orientabilité et degré de Brouwer
30
Chapitre 2
Triangulation, Homologie, et
caractéristique d’Euler
Ce chapitre a pour but d’introduire la notion d’homologie. Seule une version élémentaire de
l’homologie simpliciale sera introduite, et encore, de manière incomplète. Ironiquement, tous les
résultats du chapitre 1 peuvent être démontrés à l’aide d’une théorie homologique plus sophistiquée
que celle donnée ici (l’homologie singulière).
En quelques mots, l’homologie est une tentative pour trouver les sous-variété M d’une variété
donnée N de sorte que M ne soit pas “triviale”. Ici, on veut dire que M n’est pas la le bord d’une
variété de dimension plus grande. Pour les variétés M de dimension 1, cela ressemble étrangement
au groupe fondamental : après tout une courbe fermée non-homotope à un point ne peut pas être le
bord d’un disque. Par contre, le mot “bord” est traître : un cercle non-trivial dans un tore est le bord
d’un cylindre... mais il est le bord 2 fois (et en plus avec une orientation opposée).
Le but de ce chapitre est de définir correctement ces sous-variétés (ce seront les générateurs des
groupes d’homologie). De manière surprenante, cette homologie permet de définir des invariants
très fondamentaux de la variété.
2.1
Homologie simpliciale
L’idée de l’homologie simpliciale est de découpé la variété (en fait, on pourra regarder des objets
beaucoup plus génériques que des variétés) en objets simples : appelés simplexes.
2.1.i
Complexes simpliciaux et bord
Définition 2.1.1: Un n-simplexe est un sous-ensemble de Rk difféomorphe à τn := {(x0 , x1 , . . . , xn ) ∈
(R≥0 )n+1 | ∑ni=0 xi = 1}. Les côtés de τn sont les (n−1)-simplexes formant le bord ∂τn , ily en a n+1,
i.e. chacun est obtenu par l’intesection τn ∩ Hi où Hi = {(x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 | xi = 0}, i allant de
0 à n.
F
Un 0-simplexe est un point, un 1-simplexe un segment fermé et un 2-simplexe un triangle.
Plus généralement, un n simplexe est (difféomorphe à) l’enveloppe convexe est vecteurs de base
31
2.1 - Homologie simpliciale
“standard” de Rn+1 , i.e. b0 := (1, 0, . . . , 0), b1 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., bn = (0, . . . , 0, 1).
Définition 2.1.2: Un complexe simplicial X de dimension m est la donnée, pour tout i ∈ {0, 1, . . . , m}
d’un ensemble X [i] formé de i-simplexes. Ces ensembles ont les propriétés suivantes :
– si σ ∈ X [n] , alors tous les simplexes du bord de σ sont dans X [n−1] . (Cette condition est vide
sur les 0-simplexes.)
– si σ, σ0 ∈ X [n] sont distincts alors soit σ ∩ σ0 = ∅ soit σ ∩ σ0 ∈ X [i] pour un i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
X [n] est souvent appelé le n-squelette du simplexe.
F
Finalement, comme pour les variétés, il est souvent utile de pouvoir parler d’orientation. Deux
difféomorphismes φ et ψ induisent, par l’application φ ◦ ψ−1 : τn → τn , une permutation de l’ensemble à n + 1 éléments {b0 , b1 , . . . , bn }.
Définition 2.1.3: Deux difféomorphismes φ et ψ sont équivalents si la permutation induite sur
l’ensemble à n + 1 éléments {b0 , b1 , . . . , bn } est paire. Si n > 0, une orientation d’un n-simplexe est
le choix d’une classe de difféomorphisme φ : τn → σ.
F
Si n = 0, il n’y a pas d’orientation à donner. Comme les permutations sont soient paires ou
impaires, il s’ensuit qu’il n’y a que deux classes de difféomorphismes. Il est toujours possible de
choisir une orientation, mais celle-ci n’est généralement pas cohérente entre un simplexes et les
simplexes qui forment son bord.
Soit Γ un groupe abélien, d’habitude Z2 ou Z.
Définition 2.1.4: Soit X un complexe simplicial et n ≥ 0. L’espace des n-chaînes (simpliciales) sur
X, noté Cn (X; Γ) ou plus brièvemment Cn (X), est le groupe abélien
ΓX [n] = ⊕x∈X [n] Γ c’àd.
c ∈ Cn (X; Γ), c : X [n] → Γ
Les éléments de Cn (X) s’écrivent comme des sommes formelles c = ∑x∈X [n] γx x. Par convention
C−1 (X) = {0}.
Suposons une orientation fixée sur X. L’opérateur de bord (ou le nème opérateur de bord), noté
∂n : Cn (X) → Cn−1 (X), est défini sur la base de Cn (X) (qui n’est autre que les simplexes de X [n] )
comme suit. Soit σ ∈ X [n] et φ : τn → σ. Si n > 0, pour i ∈ {0, 1, . . . , n}, σ0 = φ(τn ∩ Hi ) ∈ X [n−1] .
∼
0
Quitte à faire une identification π̂i : τn ∩ Hi → τn , un difféomorphisme ψ ◦ π̂−1
i : τn−1 → σ fixé
par l’orientation. Cette applicatoin π̂i est simple mais très importante, il s’agit de l’oubli de la ième
coordonnée :
π̂i :
Rn
→
Rn−1
(x1 , . . . , xi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn )
Tout d’abord soit ∂ni σ = εφ(τn ∩ Hi ) où ε = +1 si ψ et φ donnent la même orientation et ε = −1
sinon. Alors
n
(n > 0) ∂n σ = ∑ (−1)i ∂ni σ
i=0
et ∂0 ≡ 0.
F
Exemple 2.1.5: Si σ est un 1-simplexe (l’image d’un intervalle [0, 1] par un difféomorphisme φ),
alors ∂1 σ = φ(0) − φ(1).
32
Chapitre 2 - T RIANGULATION , H OMOLOGIE , ET CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Si σ est un 2-simplexe, le choix d’orientation devient important. Supposons que σ = τ2 et que
le difféomorphisme choisi est l’identité. Alors ∂2 σ = σ0 − σ1 + σ2 où σ0 est orienté par (b1 , b2 ), σ1
par (b0 , b2 ) et σ2 par (b0 , b1 ) (ce sont les applications π̂i qui jouent un rôle important ici). Ainsi,
en renversant l’orientation de σ1 pour tenir compte du signe −, on a la suite de segments (b1 , b2 ),
(b2 , b0 ) et (b0 , b1 ) (qui donne bien une façon de parcourir le bord).
♠
En fait, les notions d’orientation utilisées coïncident bien avec les notions précédentes sur les
variétés. La subtilité c’est que le bord d’une variété était sans bord, tandis que les simplexes formant
le bord d’un simplexe ont à leur tour un bord. Une des particularités de l’opérateur de bord est que
les signes se compensent agréablement :
tdeldelzero-l
Lemme 2.1.6: Pour tout n ≥ 0 et tout c ∈ Cn (X), ∂n−1 ∂n c = 0. Autrement dit, Im ∂n ⊂ Ker ∂n−1 .
Démonstration. Il faut d’abord écrire
n−1 n
∂n−1 ∂n =
i
∂nj .
∑ ∑ (−1)i+ j ∂n−1
i=0 j=0
j
j−1
i ∂ =∂
i
ème coordonnée puis la ième coordonnée (parmi
Puis, si i < j, ∂n−1
n
n−1 ∂n : enlever d’abord la j
les n − 1 restantes) c’est pareil qu’enlever la ième coordonnée puis la ( j − 1)ème coordonnée (parmi
les n − 1 restantes). Ainsi
∂n−1 ∂n =
∑
i
i
(−1)i+ j (∂n−1
∂nj − ∂n−1
∂nj ) = 0.
0≤i< j≤n
2.1.ii
Homologie et Homologie relative
Le précédent lemme est la base des constructions homologiques 1 .
Définition 2.1.7: Soit X un complexe simplicial de dimension m. L’ensemble des n-cycles est 2
Zn (X) = Ker ∂n et, si n < m l’ensemble des n-bords est Bn (X) = Im ∂n (par convention, Bm (X) =
{0}). L’homologie en degré n ≥ 0 est le quotient
Hn (X) = Zn (X)/Bn (X).
Soit A un sous-complexe de X ; Cn (A) est un sous-groupe de Cn (X). L’ensemble des
– n-cycles relatifs à A est Zn (X, A) = ∂−1
n (Cn−1 (A)) = {c ∈ Cn (X) | ∂n c ∈ Cn−1 (A)}.
– n-bords relatifs à A est Bn (X, A) = Bn (X) +Cn (A) = {c ∈ Cn (X) | ∃c0 ∈ Cn (A) tel que c − c0 ∈
Bn (X)}.
L’homologie relative est le quotient Hn (X, A) = Zn (X, A)/Bn (X, A).
F
En fait, l’homologie relative est l’homologie obtenue de ∂¯n : Cn (X)/Cn (A) → Cn−1 (X)/Cn−1 (A).
Pour le voir, Ker ∂¯n = Zn (X, A)/Cn (A) et Im ∂¯n+1 = Bn (X, A)/Cn (A), puis, par le théorème d’isomorphisme des groupes (d’habitude, le 3ème), Hn (X, A) ∼
= Ker ∂¯n /Im ∂¯n+1 .
1. Dans la sous-section précédente, il est ausi possible de définir ∂0 ∑x∈X [0] γx x = ∑x∈X [0] γx , C−1 (X) = Γ et ∂−1 est
l’application qui envoie tout vers 0 ∈ Γ. L’homologie résultante est alors appelé par certains l’homologie réduite.
2. le Z vient de l’allemand “Zykel” et le B du français “bord” ou de l’anglais “boundary”, mais pas de l’allemand
“Rand”.
33
2.1 - Homologie simpliciale
La proposition suivante est une trivialité dans les définitions actuelles, mais mérite d’être mentionnées pour des raisons d’axiomatique.
thomodim-p
Proposition 2.1.8 (Propriété de dimension): Soit X un complexe de dimension m, alors Hn (X) =
{0} si n > m.
exe-homonorm
Exemple 2.1.9 (Normalisation): L’homologie de X = τ0 (un point) est simple à calculer : B0 (X) =
{0}, Z0 (X) ∼
♠
= Γ, ainsi H0 (X) ∼
= Γ.
thomodegzer-l
Lemme 2.1.10: H0 (X) est le nombre de composantes connexes de X.
Démonstration. En effet, si deux 0-simplexes a et b sont dans la même composante connexe, il
existe un chemin p qui reste dans le 1-squelette de X et dont les extrémités sont ces deux 0simplexes. De là, il apparaît que a − b = ∂p. Ainsi les générateurs de C0 (X) = Z0 (X) qui appartiennent à la même composante connexe représentent la même classe dans le quotient Z0 (X)/B0 (X).
exe-homographe
Exemple 2.1.11: Étant un graphe, il est possible de le voir comme un complexe simplicial de dimension 1. Si ce graphe est connexe, H0 (X) ∼
= Γ. D’autre part
∂0
∂1
∂2
0 ,→ C1 (X) B0 (X) 0
||o
||o
e
Γ
Γk−1
car B0 (X) est exactement les éléments de C0 (X) dont la somme des coefficients est 0. Ainsi Z1 (X) =
Ker ∂1 ∼
= Γe−k+1 et, puisque B1 (X) = {0}, H1 (X) ∼
= Γe−k+1 . Il n’est pas trop difficile de vérifier que
Z1 (X) correspond vraiment aux cycles dans le graphe.
♠
exe-homosphde
Exemple 2.1.12: La sphère peut-être vue comme un complexe simplicial en prenant le tétraèdre
inscrit à l’intérieur, puis en le gonflant pour qu’il coïncide avec la sphère :
t
d
t
t
On a alors quatre 2-simplexes, six 1-simplexes et quatre 0-simplexes. Puisque le tout est connexe,
H0 (X) ∼
= Γ. Avec un peu de calcul, il est possible de se convaincre que Ker ∂2 ∼
= Γ est donné par
la fonction constante (si les faces ont la même orientation, i.e. provenant d’une orientation de la
sphère). Par contre, pour voir que Ker ∂1 = Im ∂2 (i.e. que H1 (X) = {0}), il est possible d’écrire les
matrices de ces opérateurs dans choix de base. Plus simplement, les cycles du graphe du 1-squelette
sont exactement ceux qui bordent un 2-simplexe.
D’ailleurs, il est possible de remarquer que l’homologie de τ3 est triviale, sauf pour H0 (τ3 ) car
l’élément de la sphère qui est non-trivial en degré 2 est précisément le bord d’un τ3 .
♠
34
Chapitre 2 - T RIANGULATION , H OMOLOGIE , ET CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
2.1.iii
Excision et suites exactes
Définition 2.1.13: Une suite exacte est une suite d’homomorphismes :
fn+1
fn−1
fn
fn−2
. . . −−→ An −
→ An−1 −−→ An−2 −−→ . . .
de sorte que Im fn = Ker fn−1 .
F
En particulier, si
f
g
0 ,→ A →
− B→
− C0
est une suite exacte, alors g est surjective et f injective. L’homologie est le manquement à l’exactitude de la suite
∂n−1
∂n−2
∂n+1
∂n
. . . −−→ Cn (X) −
→
Cn−1 (X) −−→ Cn−2 (X) −−→ . . .
L’homologie relative est le défaut que la suite
∂n+1
∂n−1
∂
∂n−2
n
. . . −−→ Cn (X)/Cn (A) −
→
Cn−1 (X)/Cn−1 (A) −−→ Cn−2 (X)/Cn−2 (A) −−→ . . .
soit exacte.
Définition 2.1.14: Si X et X 0 sont deux complexes simpliciaux. Une application lisse f : X → X 0
sera dite simpliciale si ∀k ≥ 0, f (X [k] ) ⊂ X 0[k] .
Une application simpliciale donne lieu à des applications induites fn : Cn (X) → Cn (X 0 ) définies
par X [n] 3 σ 7→ f (σ) si f (σ) ∈ X 0[n] et 0 sinon.
F
Cette application commute avec l’opérateur de bord : fn ◦∂n+1 = ∂n ◦ fn+1 . Lorsque f est injective
sur X [0] , σ ∈ X [n] ⇒ f (σ) ∈ X [n] .
Si A ⊂ X est un sous-complexe, l’inclusion induit une application in : Hn (A) → Hn (X) définie
par in (z + Bn (A)) = z + Bn (X). Plus généralement, si A et A0 sont des sous-complexes de X et X 0
respectivemment, si f : X → X 0 est simpliciale et f (A) ⊂ A0 , alors f induit aussi une application de
Hn (X, A) dans Hn (X 0 , A0 ). On dit souvent alors que f : (X, A) → (X 0 , A0 ) est simpliciale.
Ceci reste pertinent si A = ∅ (dans quel cas Hn (X, ∅) = Hn (X)). En effet, l’identité X → X
envoie ∅ ⊂ A ainsi, elle induit aussi une application jn : Hn (X) → Hn (X, A) qui est définie par
jn (z + Bn (X)) = z + Bn (X) +Cn (A). En général, in et jn sont donc des application de quotient.
thomoapplind-p
Proposition 2.1.15: L’application induite par l’identité IdX est l’identité. Si f : (X, A) → (X 0 , A0 )
est simpliciale, alors ∂n ◦ ( fn )|A = ( f|A )n−1 ◦ ∂n . Si g : (X 0 , A0 ) → (X 00 , A00 ) est une autre application
simpliciale, alors l’application induite par g ◦ f , satisfait (g ◦ f )n = gn ◦ fn .
La première propriété importante est nommé l’excision :
texcision-p
Proposition 2.1.16 (Excision): Si X1 , X2 ⊂ X sont des sous-complexes tels que X1 ∪ X2 = X, alors,
∀n ≥ 0, l’inclusion h : (X1 , X1 ∩ X2 ) ⊂ (X, X2 ) induit un isomorphisme
∼
hn : Hn (X1 , X1 ∩ X2 ) → Hn (X, X2 ).
Démonstration. Par hypothèse Cn (X) = Cn (X1 ) + Cn (X2 ). Pour l’injectivité, si z ∈ Zn (X1 , X1 ∩ X2 )
est dans
Bn (X, X2 ) = ∂n+1Cn+1 (X) +Cn (X2 ) = ∂n+1 (Cn+1 (X1 ) +Cn+1 (X2 )) +Cn (X2 )
= ∂n+1Cn+1 (X1 ) +Cn (X2 ),
35
2.1 - Homologie simpliciale
alors, puisque z ∈ Cn (X1 ), z ∈ ∂n+1Cn+1 (X1 ) +Cn (X1 ∩ X2 ) = Bn (X1 , X1 ∩ X2 ) (i.e. il est trivial dans
Hn (X1 , X1 ∩ X2 )). Pour la surjectivité, étant donné w ∈ Zn (X, X2 ), w = w1 + w2 où wi ∈ Cn (Xi ). En
particulier, w1 ∈ Zn (X1 , X1 ∩ X2 ) sera envoyé sur w.
tsuexpa-p
Proposition 2.1.17 (La suite exacte pour les paires): Soit A ⊂ X un sous-complexe, alors il existe
une suite exacte :
i
jn
in−1
∂
jn−1
n
n
Hn (A) −
→
Hn (X) −
→ Hn (X, A) −
→
Hn−1 (A) −−→ Hn−1 (X) −−→ · · ·
···
Démonstration. Il est évident que Im in ⊂ Ker jn , Im jn ⊂ Ker ∂n et Im ∂n ⊂ Ker in−1 . Si z ∈ Ker jn ,
c’est qu’il y a un z0 ∈ [z] avec z0 ∈ Cn (A) ainsi Ker jn ⊂ Im in . Similairement si z ∈ Ker ∂n c’est qu’il
existe z0 ∈ [z] tel que z0 ∈ Zn (X), d’où Ker ∂n ⊂ Im jn . Finalement, si z ∈ Ker in−1 , z = ∂n w pour un
w ∈ Cn (X), ainsi z ∈ Im ∂n .
tmayervieto-p
Proposition 2.1.18 (La suite exacte de Mayer-Vietoris): Si X1 , X2 ⊂ X sont des sous-complexes tels
que X1 ∪ X2 = X, alors, ∀n ≥ 0, il y a une suite exacte
dn+1
· · · −−→ Hn (X1 ∩ X2 )
(i1,n ,i2,n )
−−−−−→
j1,n − j2,n
Hn (X1 ) ⊕ Hn (X2 )
−−−−−→ Hn (X)
j1,n−1 − j2,n−1
(i1,n−1 ,i2,n−1 )
d
n
−
→H
n−1 (X1 ∩ X2 )−−−−−−−→Hn−1 (X1 ) ⊕ Hn−1 (X2 )−−−−−−−→· · ·
où dn : Hn (X) → Hn−1 (X1 ∩ X2 ) est la restriction du support à X1 composée avec l’opérateur de bord.
Démonstration. On peut penser au diagramme commutatif d’inclusions suivant :
p
i
(X1 ∩ X2 , ∅) −−−1−→ (X1 , ∅) −−−−→ (X1 , X1 ∩ X2 )




j

i2 y
y1
yh
(X2 , ∅)
−−−−→ (X, ∅) −−−−→
q
j2
(X, X2 )
comme point de départ de la démonstration. Chaque ligne donne lieu à une suite exacte pour les
tsuexpa-p
paires (proposition 2.1.17). En outre, on a le diagramme commutatif suivant (avec lignes exactes) :
i1,n
pn
∂
Hn (X1 ∩ X2 ) −−−−→ Hn (X1 ) −−−−→ Hn (X1 , X1 ∩ X2 ) −−−n−→ Hn−1 (X1 ∩ X2 )




h
i

j
i2,n y
y 1,n
yn
y 2,n−1
Hn (X2 )
−−−−→ Hn (X) −−−−→
j2,n
Hn (X, X2 )
qn
−−−−→
Hn−1 (X2 )
∂n
texcision-p
Or, grâce à l’excision (proposition 2.1.16) hn est un isomorphisme. Soit dn = ∂n ◦ h−1
n ◦ qn . En mots :
z ∈ Hn (X), alors dn z est obtenu comme suit : on ne garde de z que ce qui est à support dans X1 , puis
on en prend le bord. Ceci est un élément de Zn−1 (X1 ∩ X2 ).
Reste à vérifier l’exactitude de la suite. Les inclusions Im (i1,n , i2,n ) ⊂ Ker ( j1,n − j2,n ) et Im ( j1,n −
j2,n ) ⊂ Ker dn sont évidentes.
Si (z1 , z2 ) ∈ Ker ( j1,n − j2,n ), c’est qu’il existe w ∈ Cn+1 (X) avec ∂n+1 w = z1 − z2 . En posant, wi
la restriction de w à Xi , il apparaît que zi est dans la même classe que ∂wi . Or ∂wi ∈ Cn (X1 ∩ X2 ) et
∂w1 = ∂w2 , d’où la classe de z est dans l’image de (i1,n , i2,n ).
36
Chapitre 2 - T RIANGULATION , H OMOLOGIE , ET CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Si z ∈ Ker dn , chaque restricition zi de z à Xi est de bord trivial, i.e. zi ∈ Hn (Xi ) et ainsi z ∈
Im ( j1,n − j2,n ).
Pour voir que Im dn ⊂ Ker (i1,n−1 , i2,n−1 ), il suffit de voir que dn z sera un bord dans X1 et X2 (le
bord de z restreint à X1 et X2 respectivemment). Du coup, si un z ∈ Ker (i1,n−1 , i2,n−1 ), il est bordé
par un élément de Hn (X1 ∪ X2 ) = Hn (X).
2.1.iv
Exemples et Exercices
Pour l’exemple suivant, il sera utile de supposer connu que :
(
Γ
si k = 0
n ∼
Hk (D ) =
{0} sinon.
exe-homodisque
quelque soit la réalisation du disque en tant que complexe simplicial (voir l’exemple 2.2.3).
Exemple 2.1.19: Les sphères Sn admettent plusieurs structure de complexe simplicial X. Pour simplifier le calcul, il est préférable de faire en sorte que Sn−1 = Y soit un sous-complexe à l’intérieur de X (avec la convention que S0 = {−1, 1}, i.e. deux points). En effet, X s’écrit alors comme
X = X1 ∪ X2 , où Xi sont les deux morceaux (fermés) que sépare la sphère de dimension inférieure
(ergo Y = X1 ∩ X2 ). Ainsi, lorsque k > 0, Hk (Xi ) = {0}. La suite exacte de Mayer-Vietoris (propotmayervieto-p
sition 2.1.18) donne, lorsque k > 0,
Hk+1 (X1 ) ⊕ Hk+1 (X2 ) = 0 → Hk+1 (X) → Hk (Y ) → 0 = Hk (X1 ) ⊕ Hk (X2 )
Autrement dit, Hk+1 (X) ∼
= Hk (Y ). Pour k = 0, il apparaît :
d
j1,0 − j2,0
(i1,0 ,i2,0 )
1
0 → H1 (X) −
→
H0 (Y ) −−−−−→ H0 (X1 ) ⊕ H0 (X2 ) −−−−−→ H0 (X) → 0
(i1,0 ,i2,0 )
En commençant par n = 1, on a H0 (Y ) = H0 (S0 ) = Γ2 , d’où 0 → H1 (S1 ) → Γ2 −−−−−→ Γ2 → Γ → 0.
Or, comme il existe dans Xi un chemin qui relie les deux composantes connexes de Y ,
Ker (i1,0 , i2,0 ) = {(γ, −γ) ∈ H0 (Y ) | γ ∈ Γ} ∼
= Γ.
D’où il apparaît que H1 (S1 ) ∼
= Γ. Ainsi,
(
Hk (S1 ) ∼
=
Γ
si k = 0 ou 1
{0} sinon.
Ensuite, pour n = 2, H2 (S2 ) ∼
= H1 (S1 ) ∼
= Γ. D’autre part, 0 → H1 (S2 ) → Γ → Γ2 → Γ → 0. Cette
fois-ci, chaque élément n’a qu’une composante connexe, et donc
Ker (i1,0 , i2,0 ) = {0}.
Ce qui donne H1 (S2 ) = 0. Ainsi,
(
Hk (S ) ∼
=
2
Γ
si k = 0 ou 2
{0} sinon.
37
2.1 - Homologie simpliciale
Ensuite, par induction,
(
Hk (S ) ∼
=
n
Γ
si k = 0 ou n
{0} sinon.
♠
Ce qui conclut le calcul d’homologie des sphères.
exo-homosphere
Un autre calcul de l’homologie des sphères sera fait ultérieurement (voir exercice 43).
Homologie
E XERCICE 36: Si X est connexe et x0 ∈ X, montrer que H0 (X, {x0 }) = 0
Suites exactes
hn−1
hn
E XERCICE 37: Soit · · ·Cn+1 → An −
→ Bn → Cn → An−1 −−→ Bn−1 · · · une suite exacte (de groupes
abéliens) où chaque troisième flèche (les hn ) est un isomorphisme. Montrer que Cn = 0.
f
g
h
E XERCICE 38:
a. Soit A →
− B→
− C→
− D une suite exacte (de groupes abéliens). Montrer que f
est surjective si et seulement si h est injective.
i
jn
in−1
jn−1
n
b. Soit · · ·Cn+1 → An −
→
Bn −
→ Cn → An−1 −−→ Bn−1 −−→ Cn−1 · · · une suite exacte (de groupes
jn
in
abéliens) où chaque in ) est injective. Montrer que 0 → An −
→
Bn −
→ Cn → 0 est une suite
exacte.
c. Une rétraction d’un complexe X sur un sous-complexe Y est une application simpliciale
r : X → Y telle que r|Y = IdY . Montrer que une telle rétraction existe, alors Hn (X) = Hn (Y ) ⊕
Hn (X,Y ). [Indice : utiliser rn pour montrer que in est injective.
d. Une rétraction par déformation d’un complexe X sur un sous-complexe Y est une application simpliciale r : X → Y telle que r ◦ i = IdY et i ◦ r est homotope à IdX (où i : Y → X est
l’inclusion). Montrer alors que Hn (X,Y ) = {0} pour tout n ≥ 0. [Attention : il est possible
∼ A ⊕C et B =
∼ A sans que C = 0.]
d’avoir B =
exorangsuitex
E XERCICE 39: Le rang d’un groupe abélien est le plus grand k tel que Zk est un sous-groupe.
a. Soit 0 → A → B → C → 0 une suite exacte (de groupes abéliens). Montrer que le Rang B =
Rang A + RangC.
b. Soit 0 → An → An−1 → · · · → A1 → A0 → 0 une suite exacte (de groupes abéliens finiment
engendrés). Montrer que ∑ni=0 (−1)i Rang Ai = 0.
Mayer-Vietoris
tmayervieto-p
E XERCICE 40: Utiliser la suite exacte de Mayer-Vietoris (proposition 2.1.18) pour calculer l’homologie d’un tore T2 . [Indice : commencer par l’homologie du cylindre, car le tore est deux cylindres collés par leur extrémités.]
tmayervieto-p
E XERCICE 41: Utiliser la suite exacte de Mayer-Vietoris (proposition 2.1.18) pour calculer l’homologie d’un ruban de Möbius. [Indice : Le ruban de Möbius est deux disque recollés le long de
deux segments.]
tmayervieto-p
E XERCICE 42: Utiliser la suite exacte de Mayer-Vietoris (proposition 2.1.18) pour calculer l’homologie d’un plan projectif RP2 . [Indice : c’est un disque collé le long d’un ruban de Möbius.]
38
thomoinvhomo-p
Chapitre 2 - T RIANGULATION , H OMOLOGIE , ET CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
2.2
Calcul et invariants
Cette section a pour but d’introduire quelques méthodes de calcul plus rapides (modulo des
boîtes noires), ainsi qu’un des invariants les plus importants : la caractéristique d’Euler.
En fait, les théories homologiques sont des théories sur des espaces quelconques, et on demande
thomodim-p
exe-homonorm
thomoapplind-p
texcision-p
tsuexpa-p
seulement à ce que des axiomes soient vérifiés : ce sont ici 2.1.8, 2.1.9, 2.1.15, 2.1.16, 2.1.17, et, le
thomoinvhomo-p
dernier qui reste à montrer, 2.2.1
2.2.i
Invariance
Proposition 2.2.1 (Invariance par homotopie): Soit f , g : X → X 0 deux applications simpliciales
homotopes, alors les applications induites en homologie sont identiques ∀n ≥ 0, fn = gn .
Idée de la démonstration. Étant donné σ ∈ X [n] , l’idée est de construire un prisme entre f (σ) et
g(σ). Il y a une structure simpliciale sur X × [0, 1] (il faut découper judicieusement les prismes
τk × [0, 1] en (k + 1) k-simplexes). Pour les 1-simplexe, cela revient à couper un rectangle en deux
triangles. Voici un dessin pour le cas d’un 2-simplexe :
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
HH
HH BB
HHB
"
"
"
"
"
"
B
B
B
B
B
B
HH
HH BB
HHB
b
b
b
b
b
b
!
!
!
!!
!
!!
!
!
!!
!
!!
H
HH
HH
H
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Cette construction permet de transformer l’homotopie en une application simpliciale P : X ×[0, 1] →
X 0 satisfaisant la relation suivante : Pn−1 (∂n σ) + ∂n+1 Pn (σ) = fn (σ) − gn (σ) (avec un bon choix
d’orientation) où Pn : Cn (X) → Cn+1 (X 0 ). Ainsi, pour un z ∈ Ker ∂n , fn (z) − gn (z) = ∂n+1 Pn (z) = 0 ∈
Hn (X 0 ), d’où la conclusion.
Corollaire 2.2.2: Si X est contractile, alors ∀n > 0, Hn (X) = 0.
Démonstration. En effet, l’identité X → X qui induit un isomorphisme Hn (X) → Hn (X). Soit x0 ∈ X
{x0 }
et soit l’application constante f : Xx →
7→ x0 . L’identité est homotope à f . Or, si n > 0, f induit quant à
elle un homomorphisme qui est forcément trivial, car Hn ({x0 }) = {0}, i.e. fn : Hn (X) → Hn ({x0 }) =
0.
39
exe-homodisque
homoquotient-c
2.2 - Calcul et invariants
Exemple 2.2.3: Puisque le disque est contractile, il apparaît, comme promis, que
(
Γ
si k = 0
Hk (Dn ) ∼
=
{0} sinon.
quelque soit la réalisation du disque en tant que complexe simplicial.
♠
Enfin, voici un autre concept et son corollaire qui sont importants :
Définition 2.2.4: Deux espaces X et Y sont homotopiquement équivalents s’il existe des applications f : X → Y et g : Y → X telles que f ◦ g ∼ IdY et g ◦ f ∼ IdX .
F
Exemple 2.2.5: Un espace contractile X est homotopiquement équivalent à un point {y}. En effet,
soit x0 ∈ X, f l’application constante X → {y} et g la bijection {y} 7→ {x0 } ∈ X. Alors f ◦ g = Id{y}
et g ◦ f est l’application constante X → {x0 }. Or, la définition de contractile est précisément que
cette application est homotope à IdX .
Un autre exemple pas beaucoup plus complexe, mais néanmoins très utile : si X est contractile
alors X ×Y est homotopiquement équivalent à Y . Soit f : X ×Y → Y la projection sur le deuxième
facteur et g : Y → X × Y définie par g(y) = (x0 , y) pour un x0 ∈ X fixé. De nouveau, f ◦ g = IdY
(i.e. rien à vérifier). Par contre g ◦ f (x, y) = (x0 , y) i.e. c’est c × IdY (où c est l’application constante
X → {x0 }). Mais si F(x,t) est une homotopie entre c et IdX , alors G(x, y,t) := F(x,t), y) est une
homotopie entre c × IdY et IdX × IdY = IdX×Y .
♠
À partir de ce point, les résultats ne seront pas très rigoureuseument énoncés. En effet, l’assomption sera faite que l’homologie ne dépend pas de la triangulation choisie 3 .
Corollaire 2.2.6: Si X et Y sont homotopiquement équivalents 4 alors Hn (X) ∼
= Hn (Y ).
thomoapplind-p
thomoinvhomo-p
Démonstration. En utilisant les propositions 2.1.15 et 2.2.1, il s’en suit que IdHn (Y ) = (IdY )n =
( f ◦ g)n = fn ◦ gn et IdHn (X) = (IdX )n = (g ◦ f )n = gn ◦ fn . Ainsi fn et gn sont des isomorphismes,
d’où la conclusion.
Un dernier corollaire utile pour les calculs est :
Corollaire 2.2.7: Si A ⊂ X est un sous-complexe, Hn (X, A) ∼
= Hn (X/A, {x0 }) où X/A est le com5
plexe obtenu en réduisant A à un point x0 .
Démonstration. Si X ⊂ Rk , alors dans Rk+1 on construit le cône sur A, noté C A : d’abord en reliant
(par un 1-simplexe) le 0-simplexe (0, . . . , 0, 1) à tous les 0-simplexes de A, puis en ajoutant un 2simplexe à tous les 1-simplexes de A (toujours en ajoutant le sommet (0, . . . , 0, 1)), et ainsi de suite...
3. Une démonstration rigoureuse de cette assomption demanderai une longue parenthèse sur les triangulations, les
divisions barycentriques et les approximations de structures lisses.
4. Par exemple, en vue du commentaire précédent, ce résultat n’est vrai dans les limites de ce qui a été démontré ici,
que si les applications qui réalisent l’équivalence homotopique sont simpliciales.
5. La structure simpliciale ne passe pas nécessairement au quotient ! De nouveau, au vu des résultats précédant, on
est en droit de commencer à comprendre que l’homologie ne dépend pas de la structure simpliciale choisie...
40
Chapitre 2 - T RIANGULATION , H OMOLOGIE , ET CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
u
u
u
@
@
@u
u
2d
3d
Le cône C A est contractile. Soit X 0 le complexe obtenu en ajoutant à X le cône sur A. Alors
(X 0 , C A) et (X/A, {x0 }) sont homotopiquement
équivalents, d’où la conclusion.
u
2d
e
2.2.ii
Complexes cellulaires
Les complexes cellulaires sont une autre manière de calculer rapidement l’homologie d’un objet.
Il s’agit de la donnée de X = {X [i] }0≤i≤m où chaque X [i] est un ensemble de disques de dimension i,
et d’applications de rattachement : si Dα ∈ X [i] , alors fα : ∂Dα → X [i−1] .
L’homologie d’un tel objet se calcule en posant ∂i Dα = f (∂Dα ). Le plus parlant est de faire un
exemple.
Exemple 2.2.8: Le plan projectif RP2 peut-être construit comme suit :
– X [0] = {x0 } est un point.
– X [1] = {e0 } est un segment (∼
= D1 ) dont les deux extrémités sont rattachées à x0 . Jusqu’ici un
cercle est obtenu.
– X [2] = { f0 } est un disque D2 rattaché au cercle de manière un peu particulière : vu comme
f : S1 → S1 (et S1 ⊂ C), f (z) = z2 , i.e. le cercle est enroulé deux fois sur lui-même.
À partir de là, l’homologie se calcule rapidement. En effet, il n’y a que trois éléments (un pour
chaque degré) ∂2 f0 = 2e0 , ∂1 e0 = 0, et ∂0 x0 = 0. Ainsi
H0 (RP2 ; Z) = Z,
H1 (RP2 ; Z) = Z2 et H2 (RP2 ; Z) = 0
Par contre, en changeant le groupe :
H0 (RP2 ; Z2 ) = Z2 ,
H1 (RP2 ; Z) = Z2 et H2 (RP2 ; Z) = Z2
Exemple 2.2.9: Le ruban de Möbius peut-être construit comme suit :
– X [0] = {x0 , x1 } ; par convention ∂x j = 0.
– X [1] = {e0 , e1 , e2 } trois segments dont les deux extrémités sont x0 et x1 ; ainsi ∂1 e j = x1 − x0 .
– X [2] = { f0 } est un disque D2 rattaché aux segments de manière suivante : ∂2 f0 = 2e0 − e1 − e2 .
Comme Ker ∂1 est engendré par {e0 − e1 , e0 − e2 },
H0 (RP2 ; Z) = Z,
H1 (RP2 ; Z) = Z et H2 (RP2 ; Z) = 0.
De nouveau, sur Z2 :
H0 (RP2 ; Z2 ) = Z2 ,
H1 (RP2 ; Z2 ) = Z2 et H2 (RP2 ; Z2 ) = 0.
41
2.2 - Calcul et invariants
2.2.iii
Caractéristique d’Euler
Définition 2.2.10: Soit X un complexe simplicial de dimension m. La caractéristique d’Euler(Poincaré) est la somme alternée du nombre de simplexes de dimension k :
m
χ(X) = ∑ (−1)i |X [i] |.
i=0
F
(Cette définition peut aussi être faite pour un complexe cellulaire.)
Pour rappel, le rang d’un groupe abélien A est le plus grand k ∈ N tel que Zk est un sous-groupe
de A.
Théorème 2.2.11: Soit X un complexe simplicial, alors
m
χ(X) = ∑ (−1)i Rang Hi (X; Z).
i=0
Démonstration. Considérons la suite (non-exacte !) :
∂
∂m−1
∂
∂
m
2
1
0 → Cm (X) −→
Cm1 (X) −−→ . . . −
→
C1 (X) −
→
C0 (X) → 0
Chaque Ci (X) est un groupe abélien de rang |X [i] |. Puisque Hi (X) = Zi (X)/Bi (X) = Ker ∂i /Im ∂i+1 .
Autrement dit,
0 → Bi (X) ,→ Zi (X) → Hi (X) → 0
exorangsuitex
est une suite exacte. Par l’exercice 39, Rang Hi (X) = Rang Zi (X) − Rang Bi (X). D’autre part,
∂
i
0 → Zi (X) ,→ Ci (X) −
→
Bi−1 (X) → 0
exorangsuitex
est aussi une suite exacte. Ainsi, toujours grâce à l’exercice 39, |X [i] | = RangCi (X) = Rang Zi (X) +
Rang Bi−1 (X) (où i ≥ 0 et on utilise la convention que Rang B−1 (X) = 0).
Ainsi
m
m
i=0
i=0
m
χ(X)= ∑ (−1)i |X [i] |= ∑ (−1)i RangCi (X)
= ∑ (−1)i Rang Zi (X) + Rang Bi−1 (X)
i=0
m
m
i=0
m
i=0
m
= ∑ (−1)i Rang Zi (X) + ∑ (−1)i+1 Rang Bi (X)
= ∑ (−1)i Rang Zi (X) − ∑ (−1)i Rang Bi (X)
i=0
i=0
m
m
i
= ∑ (−1) Rang Zi (X) − Rang Bi (X)
= ∑ (−1)i Rang Hi (X).
i=0
i=0
Ce qui termine la démonstration.
À noter que la démonstration reste valable pour n’importe quelle suite non-exacte (de groupes
abéliens) dans la mesure où la composition de deux flèches successives est 0.
42
Chapitre 2 - T RIANGULATION , H OMOLOGIE , ET CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
2.2.iv
Cas des surfaces
Définition 2.2.12: Une surface Σ est dite de genre strictement inférieur à g0 ∈ Z>0 , si, pour tout
{γi }i∈g0 tels que les γi sont des courbes fermées (γi : S1 → Σ) d’images disjointes (i 6= j ⇒ Im γi ∩
Im γ j = ∅), Σ r ∪i Im γi n’est pas connexe.
F
Autrement dit, sur une surface de genre g il est possible de découper le long de g courbes fermées
disjointes sans la déconnecter mais pas g + 1.
Corollaire 2.2.13: Si un graphe planaire connexe a n sommets, e arêtes et f faces, alors n − e + f =
2
Démonstration. Ce résultat peut-être vu comme le corollaire de deux résultats.
– Par le théorème de Jordan : un arbre couvrant maximal dans un graphe a e = n − 1 (et f = 1).
L’ajout d’un arête ne change pas la quantité n − e + f car à chaque arête ajoutée une nouvelle
courbe fermée est tracée et donc une face est ajoutée.
– Par la caractéristique d’Euler : via la projection stéréographique, un graphe planaire connexe
est la “polygonisation” d’une sphère, et la caractéristique d’Euler donne le résultat.
En supposant connu le théorème qui dit qu’un surface orientable de genre g > 0 et la somme
connexe de g tores, et qu’une surface non-orientable de genre g est la somme connexe de g plan
projectifs, le résultat suivant s’obtient sans difficultés :
Corollaire 2.2.14: La caractéristique d’Euler d’une surface orientable de genre g est 2(1 − g) et
celle d’une surface non-orientable est 2 − g.
Démonstration. Pour les surfaces orientables, cette définition est assez visuelle. Comme déjà remarqué, la sphère est de genre 0 et de caractéristique d’Euler 2. Plus généralement, la somme connexe
de g tores (T#T# . . . #T) ou le “tore à g trous” est de genre g. En effet, pour chaque “poignée” il est
possible de découper un cercle sans déconnecter la surface. Une fois se découpage fait, on obtient
un cylindre qui aura 2g − 2 disques retirés. En utilisant un projection stéréographique de ce cylindre
vers le plan, la triangulation de la surface est un graphe planaire avec 2g faces qui ne sont pas des
faces dans la surfaces d’origine. D’où n − e + f = 2 − 2g
Du côté des surfaces non-orientables, le plan projectif réel (ou bonnet croisé ; RP2 ) est de genre
1. Pour le voir, il faut le représenter comme un disque ou le bord est identifié par l’application
antipodale, alors la courbe fermée qui est une ligne droite passant par le centre du disque ne le
déconnecte pas. Le résultat est un disque. Une triangulation donne donc une triangulation du disque
mais la face non-bornée ne compte pas, la caractéristique d’Euler est donc 1.
La bouteille de Klein (RP2 #RP2 ) est de genre 2. Après l’avoir découpée “longitudinalement”,
un ruban de Möbius apparaît. Or découper celui-ci par la courbe fermée qui passe au milieu ne le
déconnecte pas. Sa caractéristique d’Euler est celle d’un anneau, i.e. 0.
Pour, la somme connexe de g plans projectifs (RP2 # . . . #RP2 ), après découpage, un disque privé
de g − 1 disques est obtenu, donnant un caractéristique d’Euler de 2 − g.
43
2.2 - Calcul et invariants
2.2.v
Exemples et Exercices
Exemple 2.2.15: À droite, une triangulation du
plan projectif (vu comme quotient du disque).
Il y a 6 sommets, 15 arêtes et 10 faces, ce qui
donne une caractéristique d’Euler de 1. Calculer l’homologie à l’aide de cette triangulation est
possible, mais longuet.
♠
d
e
C
C
C
c
a
v
Cv
S
B
B
S
S B
bZ
v
S
Z PPPPB Bv
v
Z
Z
BB
ZZ
B
Zv
Bc
Z
a
Z
Z
e
b
d
Exemple 2.2.16: Voici une triangulation du tore
(vu comme quotient du carré). Il y a 7 sommets,
21 arêtes et 14 faces, d’où χ(T2 ) = 0. L’homologie est (encore une fois) longue à calculer directement.
1 u
3
2
1
2
1
u
u
,l
@
, l
@,
u
lu
%@
e
% @
e
%
u
eu3
@
e
%
@
e
%
u
eu
%
@
l
,
l , @
u
@u
lu
,
1
En utilisant un complexe cellulaire ou des propriétés homotopiques, cela se passe très facilement. En effet, un cylindre est homotopiquement équivalent à un cercle, ainsi son homologie est
nulle en toute degré sauf en degré 0 et 1 ou elle est isomorphe à Z. Le tore se réalise comme une
union de deux cylindres et la suite de Mayer-Vietoris permet alors de conclure :
H0 (T2 ; Z) ∼
=Z∼
= H2 (T2 ) et H1 (T2 ; Z) ∼
= Z2 .
(C’est d’ailleurs un moment opportun pour signaler un théorème d’Hurewicz qui dit que H1 (X, Z)
est l’abélianisé de π1 (X)).
♠
L’homologie par l’homotopie
thomoquotient-c n
exo-homosphere E XERCICE 43: Calculer l’homologie de la sphère en utilisant le corollaire 2.2.7 avec Sn ∼
= D /∂Dn
tsuexpa-p
et ∂Dn = Sn−1 ainsi que la suite exacte pour les paires (proposition 2.1.17).
Caractéristique d’Euler
E XERCICE 44: Quelle est la caractéristique d’Euler de la sphère Sn ?
E XERCICE 45: Donner les caractéristiques d’Euler des objets suivants (dont l’homologie se trouve
dans d’autres exercices ou exemples) : Sn , T2 , RP2 , le ruban de Möbius et la bouteille de Klein
E XERCICE 46: Donner la caractéristique d’Euler de RPn .
Complexes cellulaires
E XERCICE 47: Utiliser les complexes cellulaires pour calculer pour calculer l’homologie d’un tore
T2 .
E XERCICE 48: Calculer l’homologie et la caractéristique d’Euler d’une bouteille de Klein.
E XERCICE 49: Calculer l’homologie et la caractéristique d’Euler de CPn .
44
Chapitre 2 - T RIANGULATION , H OMOLOGIE , ET CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
2.3
Triangulation et deux théorèmes
2.3.i
Plongement et triangulation
2.3.ii
Le théorème d’Hurewicz
ss-triangplong
thurewicz-t
Théorème 2.3.1: L’abélianisé de π1 (M) est H1 (M; Z).
2.3.iii
Le théorème du point fixe de Lefschetz
45
2.3 - Triangulation et deux théorèmes
46
Chapitre 3
Fibrés, Intersection, et ... caractéristique
d’Euler
Le fibré tangent a déjà joué un rôle important dans l’énonciation et la démonstration de théorème. Ce chapitre commence avec les champs de vecteurs (à valeur dans des objets plus généraux
que le fibré tangent), puis on regardera leur annulation, et (surprise ?) la caractéristique d’Euler sera
retrouvée.
3.1
Fibrés vectoriels
“Fibré vectoriel” est un terme qui englobe les constructions déjà faites de fibré tangent ou normal.
3.1.i
Définition
Pour parler de fibré vectoriel, il est tôt ou tard nécessaire de parler de l’espace des sous-espaces
de R` qui sont de dimension k (la grassmannienne Gr(n, `)). Cet espace n’est pas trivial, mais nos
besoins sont heureusement limités. Rappelons deux normes sur les matrices :
kAk2 =
r
∑(A)2i j
kAk→ =
ou
i, j
sup
v∈R` r{0}
kAvk
.
kvk
Si V,W ⊂ R` sont des espaces linéaires, on peut regarder PV (resp. PW ) un projecteur orthogonal
R` → V (resp. → W ). Alors la distance d(V,W ) est
inf{kPW − PV k→ | PV et PW sont des projecteurs orthogonaux}.
(Pour vérifier l’inégalité du triangle, utiliser que kAPk→ = kPk→ lorsque A est une matrice orthogonale, et que deux projecteurs sur un même espace différent à multiplication par une matrice
orthogonale.) Comme d(W,V ) ≤ 2, cet espace est borné. Plus d’efforts permettent de voir qu’il est
même compact.
47
3.1 - Fibrés vectoriels
Rappelons que O(`) est le sous ensemble des matrices orthogonales de taille n × n. De manière
équivalente, c’est un choix d’une base orthonormée de R` . Un espace vectoriel de dimension n dans
R` est un choix de ` éléments orthogonaux pour la base puis n−` éléments pour le complémentaires.
Le choix exact des n (resp. ` − n) éléments est seulement utile à une transformation orthogonale de
Rn près (resp. R`−n ), puisque seul l’espace engendré nous intéresse. Ainsi, un élément de Gr(n, `)
est un élément du quotient O(`)/O(n) × O(` − n) où
ı : O(n) × O(` − n) ,→
(A, B)
7→
O(`)
A 0
0 B
.
Attention : l’image de ı n’est pas un sous-groupe normal, ainsi Gr(n, `) n’est pas un groupe.
Définition 3.1.1: Soit M une variété. Un fibré vectoriel réel 1 (lisse) ξ de rang n sur M est une
variété E(ξ) ⊂ M × R` définie par une application lisse κξ : M → Gr(n, `) et
(x, v) ∈ M × R` ,
(x, v) ∈ E(ξ) ⇔ v ∈ κξ (x).
alors
Pour chaque x ∈ M, on note ξx = κξ (x) l’espace vectoriel de dimension n associé à x, dit la fibre en
x.
F
max l’ensemble des
Nous allons immédiatement donner une autre définition possible. Soit M`×n
matrices de rang maximal dans M`×n . C’est un ouvert pour les topologies définies par les normes
max puis (x, v) ∈ E(ξ) si v ∈ Ker κ . Cepenk · k2 et k · k→ . Il serait tentant de prendre κξ : M → M`×n
ξ
dant, deux matrices différentes peuvent avoir le même noyau. Pour remédier à ceci, il faut penser
localement :
Définition 3.1.2 (Redéfinition): Soit M une variété. Un fibré vectoriel réel (lisse) ξ de 2 rang ` − n
sur M est une variété E(ξ) ⊂ M × R` , de sorte qu’il existe un recouvrement par des ouverts {Ui } de
max telles que
M et des applications lisses κi : Ui → M`×n
(x, v) ∈ Ui × R` ,
(x, v) ∈ E(ξ) ⇔ v ∈ Ker κi (x).
alors
Pour chaque x ∈ Ui , on note ξx = Ker κi (x) l’espace vectoriel de dimension n associé.
F
Passons à quelques exemples :
Exemple 3.1.3: Le fibré tangent TM à M est manifestement un fibré vectoriel. Sur des ouverts
assez petit de M il existe un paramétrage et l’image de la différentielle est ce paramétrage. Il suffit
de prendre les applications dont cet espace est le noyau. Le fibré vectoriel et de rang m = dim M.
Pour des raisons similaires, le fibré normal à M dans M 0 en est aussi un (de dimension m0 − m).
Un exemple encore plus simple est le fibré trivial de rang n sur M, noté εnM : c’est M × Rn .
♠
L’exemple le plus important se passe sur RPn .
1. les définitions faites ici sont en réalité celle des fibrés euclidiens. En effet, ils possèdent tous une norme E(ξ) → R
défini par la composition de la projection sur R` et de la norme de R` .
2. La dimension du noyau d’une matrice de taille ` × n avec ` ≥ n de rang maximal est n − `. Si n = 0, la convention
est de regarder l’application linéaire triviale dont le noyau est R` .
48
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Exemple 3.1.4: Le fibré canonique de RPn est un fibré de rang 1. Vu sa fréquente apparition, il
est noté γ1n . De manière assez amusante, RPn = Gr(1, n + 1). Ainsi, dans la première définition, en
chaque point de RPn il y a une droite (de Rn+1 ) qui y est associée. Ceci est le fibré canonique.
Dans la seconde définition, un ouvert de RPn est identifiable à un ouvert de Sn . Puis pour x ∈
Sn ⊂ Rn+1 , associer la matrice de projection orthogonale à x (son noyau est la droite Rx).
♠
3.1.ii
Isomorphismes et sections
Définition 3.1.5: Deux fibrés vectoriel ξ et η sur M sont dit isomorphes si il existe un difféomorphisme φ : E(ξ) → E(η) tel que φ|M×{0} est un difféomorphisme de M × {0} sur N × {0} et ∀x ∈ M,
φ|ξx est un isomorphisme linéaire entre ξx et ηx .
F
La première obstruction évidente à l’existence d’un isomorphisme est le rang du fibré : si deux
fibrés sont isomorphes ils sont de même rang. Les fibrés vectoriels (de rang n) isomorphes au fibré
trivial de rang n sont parfois qualifiés de parallélisables.
Définition 3.1.6: Soit ξ un fibré vectoriel sur M. Soit π : E(ξ) → M définie par π(x, v) = x. Une
section s du fibré vectoriel ξ est une application lisse s : M → E(ξ) telle que π ◦ s = IdM .
F
Par exemple, un champ de vecteurs sur M est une section du fibré tangent de M. Une première
question assez naturelle est : quel est le nombre de sections linéairement indépendantes d’un fibré
donné ?
Pour le fibré trivial de rang n, la réponse est simple : il y en a n.
Proposition 3.1.7: Un fibré de rang n a n sections qui sont linéairement indépendantes (en tout
point) si et seulement si c’est un fibré trivial.
Démonstration. Si le fibré est trivial, si (x) := ei (le ième élément de la base canonique) est manifestement un ensemble de n sections linéairement indépendantes.
Inversement, des sections linéairement indépendantes donnent l’isomorphisme. En effet, soit
s1 , . . . , sn : M → E(ξ) les n sections linéairement indépendantes. Alors, l’application E(ξ) → E(εnM )
donnée par
n
(x, v) 7→ (x, (a1 , a2 , . . . , an ))
où v = ∑ ai si (x)
i=1
est l’isomorphisme demandé.
Pour les fibrés de rang 1, il suffit donc d’avoir une section qui ne s’annule jamais pour que le
fibré soit trivial. Par exemple, le fibré tangent de S1 est un fibré trivial. Similairement, le fibré normal
à S2 dans R3 est aussi un fibré trivial.
Mais les fibrés vectoriels ne sont (heureusement) pas tous triviaux :
Exemple 3.1.8: Le cas particulier de γ11 mérite notre attention. En effet, RP1 est le quotient du
cercle par l’application antipodale. Ainsi, tout (x, v) ∈ E(γ11 ) s’écrit
{±(cos θ, sin θ)},t(cos θ, sin θ)
49
où θ ∈ [0, π],t ∈ R
3.1 - Fibrés vectoriels
et cette écriture est unique, sauf pour
{±(cos 0, sin 0)},t(cos 0, sin 0) = {±(cos π, sin π)}, −t(cos π, sin π) .
Autrement dit, c’est un quotient de [0, π] × R mais où (0,t) ∼ (π, −t). Un dessin convaincra le
lecteur qu’il s’agit d’un ruban de Möbius (dont la largeur est infinie).
Ainsi, E(γ11 ) n’est pas difféomorphe au cylindre (le fibré trivial de rang 1 sur le cercle).
♠
Plus généralement :
Proposition 3.1.9: Le fibré canonique γ1n n’est pas isomorphe au fibré trivial (de rang 1).
exo-secfibcan
La démonstration est donnée à l’exercice 52.
3.1.iii
Comment bricoler un nouveau fibré à partir d’anciens
(A) La restriction. Si L ⊂ M est une sous-variété et ξ est un fibré de rang n sur M alors la
restriction à L de ξ, notée ξ|L et définie par (x, v) ∈ E(ξ|L ) ⇔ x ∈ L et v ∈ κξ (x), est toujours un fibré.
Par exemple, le fibré tangent de M se restreint à L.
(B) Le produit cartésien. Si ξ est un fibré (de rang n) sur M et η un fibré (de rang n0 ) sur N,
alors le fibré produit, noté ξ × η, est le fibré (de rang n + n0 ) sur M × N défini par ((x, y), (v, w)) ∈
E(ξ × η) ⇔ v ∈ κξ (x) et w ∈ κη (y).
Par exemple, le fibré tangent de M × N est le produit cartésien des fibrés tangents TM et TN.
(C) Le fibré induit. Si f : M → N est une application lisse et ξ un fibré (de rang n) sur N, alors le
fibré induit par ξ sur M, noté f ∗ ξ, est le fibré (de rang n) défini par (x, v) ∈ E( f ∗ ξ) ⇔ v ∈ κξ f (x) .
Cette construction possède une certaine naturalité. Si ξ est un fibré sur M et η un fibré sur N,
appelons “application fibrée” g : E(ξ) → E(η) une application lisse telle que g|ξx : ξx → ηy est un
isomorphisme (d’espaces vectoriels). Soit ḡ(x) = y, ainsi ḡ : M → N est lisse. Alors ξ = ḡ∗ η.
→ M×M
(D) La somme de Whitney. Soit ξ1 et ξ2 deux fibrés (de rangs n1 et n2 ) sur M. Soit d: Mx 7→
(x,x)
l’application diagonale. Alors la somme de Whitney, notée ξ1 ⊕ ξ2 , est le fibré d ∗ (ξ1 × ξ2 ) (de rang
n1 + n2 ). Il est assez facile de vérifier que (ξ1 ⊕ ξ2 )x = ξ1,x ⊕ ξ2,x .
Voici une propriété importante. ξ1 est un sous-fibré de η, noté ξ1 ⊂ η si les espaces vectoriels
ξ1,x sont des sous-espaces vectoriels de ηx . Si, pour chaque x ∈ M, ηx est une somme directe de
deux sous-fibrés vectoriels ξ1,x et ξ2,x , alors η = ξ1 ⊕ ξ2 .
(E) Le complément. Si ξ ⊂ η est un sous-fibré, alors ξ⊥ est le fibré orthogonal 3 à ξ : (x, v) ∈
⊥
E(ξ⊥ ) ⇔ v ∈ κξ (x) .
Remarque 3.1.10: Si M ⊂ N est une sous-variété, soit τ = TN. Alors le fibré tangent à N restreint à
M est la somme de Whitney du fibré tangent à M et du fibré normal à M dans N : τ|M = TM ⊕ TN/M0 .
Autrement dit, le fibré normal à M dans N est le complément du fibré tangent à N restreint à M
(c’était sa définition).
Plus généralement, si f : M → N est une immersion 4 alors f ∗ TN se décompose comme TM ⊕µ f
où µ f est le fibré normal à l’application f , i.e. µ f ,x est l’espace vectoriel qui est le complément de
Im dx f ⊂ T f (x) N.
3. Pour la théorie générale des fibrés, ceci est faux si on se place sur un espace de base M qui n’est pas paracompact.
4. une application dont la différentielle est toujours de rang m = dim M.
50
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
(F) Les autres opérations naturelles. En fait, étant deux fibrés ξ et η sur M, il est possible de
former plusieurs fibrés basés sur les opérations usuelles entre fibrés vectoriels :
– le fibré des homomorphismes, Hom(ξ, η) ;
– le fibré dual de ξ, Hom(ξ, R) ;
– le fibré produit tensoriel ξ ⊗ η ;
– le fibré puissance extérieure Λk ξ ;
– ...
Toutes ces opérations étant modelées sur les opérations fibres par fibres.
Définition 3.1.11: Un fibré vectoriel ξ sur M est dit stablement trivial si une somme de Whitney
de ξ avec un fibré trivial est trivial, i.e. ∃n ∈ N tel que ξ ⊕ εnM est trivial.
exo-fibstatri
Plusieurs fibrés stablement triviaux ont déjà été décrits, voir exercice 53. Il sera possible de
montrer que certains fibrés ne sont pas stablement triviaux.
3.1.iv
Exemples et Exercices
Sections et trivialité
E XERCICE 50: Montrer que le fibré normal à
Sn
dans
Rn+1
est trivial pour tout n.
E XERCICE 51: Montrer que le fibré tangent à Sn est non-trivial lorsque n est pair.
exo-secfibcan
E XERCICE 52: Le but de cet exercice est de montrer que toute section de γ1n s’annule quelque part.
Pour se faire, rappelons que RPn est le quotient de Sn par l’application antipodale.
s
a. Soit s une section de γ1n . Montrer que la composition Sn RPn → E(γ1n ) peut-être décrite par
une fonction x 7→ ({±x},t(x)x) (où t(x) ∈ R et x ∈ Rn+1 ) telle que t(−x) = −t(x).
b. Utiliser que Sn est connexe et que t est continue pour montrer qu’il existe un x tel que t(x) = 0.
c. En conclure que γ1n n’est pas le fibré trivial de rang 1.
Opérations sur les fibrés
exo-fibstatri
E XERCICE 53: Trouver un fibré non-trivial, telle que sa somme de Whitney avec un fibré trivial est
triviale. [Indice : regarder Sn où n est pair.]
E XERCICE 54: Une application f : M → N est dite une submersion si dfx : Tx M → T f (x) N est
surjective ∀x ∈ N. Montrer que le noyau de df défini un fibré, noté µ f , et que TM est isomorphe à
µ f ⊕ f ∗ TN.
E XERCICE 55: Étant donné deux fibrés ξ et η sur M et une section s du fibré Hom(ξ, η), montrer
que, si le rang de s est constant, alors le noyau et le conoyau de s sont des sous-fibrés (de ξ et η
respectivement).
3.2
Transversalité et intersection
3.2.i
Transversalité
Définition 3.2.1: Soit f : M → N une application lisse et L ⊂ N une sous-variété lisse. f est dite
transverse à L si, ∀x ∈ f −1 (L), T f (x) M = T f (x) L + Im dfx .
F
51
3.2 - Transversalité et intersection
Voici une manière un peu plus sophistiquée de présenter ceci. Soit py : Ty N Ty N/L la projection de l’espace tangent à y dans N vers l’espace normal à L en y dans N. Dire que f est transverse,
c’est dire que ∀x ∈ f −1 (L), l’application dfx ◦ p f (x) est surjective :
dx f
p
Tx M −−→ T f (x) N −−→ T f (x) M/L
Lorsque L = {un point} ceci est équivalent à demander que ce point soit une valeur régulière.
De plus, si f (M) ∩ L = ∅ la condition est automatiquement satisfaite. Finalement, lorsque dfx est
toujours surjective, f est transverse à toutes les sous-variétés. Une telle application est appelée une
submersion.
La codimension d’une sous-variété L d’une variété N est codim L = dim N − dim L. Si L est de
codimension k dans N de dimension n, L est de dimension n − k.
tdiminter-t
Théorème 3.2.2: Si f : M → N est transverse à une sous-variété L de codimension k et f (M) ∩
L 6= ∅, alors f −1 (L) est une sous-variété de codimension k. De plus, pour x ∈ f −1 (L), dfx est un
isomorphisme entre Tx M/P et T f (x) N/L .
Démonstration. Soit x ∈ f −1 (L) et soit φ : W → V (où V ∈ Vois N f (x) et W ⊂ Rn ) tel que φ(0) =
f (x). Soit π : Rn → Rk la projection sur les k dernières coordonnées. Alors
dfx
Tx M −−−−→ T f (x) N −−−−→ T f (x) N/L
x
x


∼
dφ0 ∼
=
=dφ0
∼
=
T0 Rn −−−−→ T0 Rn/Rn−k −−−−→ T0 Rk
La ligne du haut est surjective par transversalité. La ligne du bas est dπ0 . Ainsi, x est un point régulier
de la composition
f|U
π|W
φ−1
U = f −1 φ(W ) −→ φ(W ) −−→ W −−→ Rk .
tvalregssvar-l
par le lemme 1.2.2. Ce même lemme dit, de plus, que (π ◦ φ−1 ◦ f|U )−1 (0) = (φ ◦ f|U )−1 (Rk ) =
f −1 (L ∩V ) = f −1 (L) ∩U est une sous-variété de codimension k dans U. Ainsi f −1 (L) ⊂ M est une
variété de codimension k. Un autre diagramme, avec x ∈ f −1 (L) et y = f (x) :
Tx f −1 (L) −−−−→ Tx M −−−−→ Tx M/ f −1 (L)




df
df
dfx y
y x
y x
Ty L
−−−−→ Ty N −−−−→
Ty N/L
Par transversalité, l’application de Tx M vers Ty N/L est surjective alors que la composition de la ligne
du haut est l’application triviale. Un argument de dimension montre que Ty N/L ∼
= Tx M/ f −1 (L) . [En
fait, l’isomorphisme est même vrai sur un ouvert autour du point, i.e. en tant qu’isomorphisme de
fibrés vectoriels.]
tdiminter-t
Une conséquence de la démonstration du théorème 3.2.2 est :
Corollaire 3.2.3: Si f : M → N est une application lisse et y ∈ N une valeur régulière, alors le fibré
normal Tx M/ f −1 (y) est un fibré trivial de rang m − dim f −1 (y). Plus généralement, si TN/L est trivial,
alors le fibré normal TM/ f −1 (L) est aussi trivial.
52
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Démonstration. Le cas où L = {y} est le plus simple : dfx : Tx M → Ty N a pour noyau T f −1 (y).
Ainsi le fibré ξ donné par le complémentaire de Ker df est le fibré normal TM/ f −1 (y) . De plus, dfx
est un isomorphisme sur le complémentaire de son noyau. Ainsi, pour chaque ei élément d’une base
de Ty N, il existe une section ti : M → TM/ f −1 (y) définie par x 7→ dfx−1 (ei ).
Plus généralement, si le fibré TN/L est trivial, c’est équivalent à l’existence de sections linéairement indépendantes s1 , . . . , sk : L → TN/L . Par transversalité, pour tout x ∈ f −1 (L), la composition
dfx
p
⊥TL
Tx M −→ T f (x) N −−
→ T f (x) N/L est surjective (où p⊥TL est la projection orthogonale sur le complémentaire de TL. Soit ξ le sous-fibré du fibré restreint TM| f −1 (L) donné par le complémentaire du
noyau de la composition df ◦ p⊥TL . Ce n’est rien d’autre que le fibré normal à f −1 (L) dans M :
ξ = TM/ f −1 (L) . De plus, g := df ◦ p⊥TL : ξ → TN/L est un isomorphisme. Sur chaque fibre, c’est par
définition de ξ. De plus, soient ti : M → ξ définies par
ti (x) = φ−1 si f (x) .
Alors, ces k sections seront aussi des sections linéairement indépendantes du fibré ξ (de rang k).
Ainsi, ξ est trivial.
En particulier, le fibré normal de Sn dans Rn+1 est trivial (ce qui est facile à voir sans le théorème), tout comme celui de On (R) dans Mn×n (R). Par conséquent, les fibré tangents de variétés
définies par des valeurs régulières sont stablement triviaux.
Il est bon de rappeler que si f : M → N est un difféomorphisme local (i.e. en chaque point) et
qu’elle est injective, alors c’est un difféomorphisme.
tfoninvman-l
Lemme 3.2.4: Soit L ⊂ M une variété compacte. Soit f : M → N une application lisse telle que
∀x ∈ L, dfx : Tx M → T f (x) N et f|L est injective, il existe un voisinage U de L dans M tel que f est un
difféomorphisme entre U et f (U).
Démonstration. Par le théorème d’inversion locale, f est un difféomorphisme localement en tout
point de L. Il suffit de montrer que f est injective sur un voisinage. Si ce n’est pas le cas, sur tout
voisinage de L, il existe deux points {xU } et {yU } tels que f (xU ) = f (yU ). Mais comme L est
compacte, il existe un sous-suite de ces éléments qui converge vers des points de L. Par injectivité
sur L, ces points sont en fait le même point z0 ∈ L.
En utilisant un paramétrage, les deux suites {xi } et {yi } donnent :
0=
f (xi ) − f (yi )
→ dfz0 (v)
kxi − yi k
où v est un vecteur unité dans la fermeture de
l’hypothèse que dfz0 n’a pas de noyau.
xi −yi
kxi −yi k
∈ Sm ⊂ Tz0 M. Puisque z0 ∈ L, ceci contredit
Si on prend un point dans le lemme précédent, on retrouve le théorème d’inversion locale. En
utilisant les partitions de l’unité, il est possible de montrer que ce lemme reste valable pour un L
non-compact.
tepsnbh-t
Théorème 3.2.5 (Théorème du ε-voisinage): Soit N une variété compacte dans R` , et ε > 0. Soit
inf kx − yk < ε} le ε-voisinage de N. Alors ∃ε0 tel que, si ε < ε0 :
N ε = {x ∈ R` | y∈N
53
3.2 - Transversalité et intersection
– il existe un difféomorphisme d’un voisinage de N × {0} ⊂ TR`/N à N ε ;
– à tout x ∈ N ε il correspond un unique point π(x) ∈ N qui réalise la distance de x à N ;
– π : N ε → N est une submersion.
Démonstration. Soit y ∈ N ⊂ R` , et h : TR`/N → R` définie par h(y, v) = y + v. L’application h est
régulière en tout point de Y × {0}. En effet, en ces points, R` se décompose comme une somme du
fibré tangent et du fibré normal. En particulier, dh(y,0) est un isomorphisme entre TN × TR`/N et R` .
tfoninvman-l
Par le lemme 3.2.4, un voisinage de N × {0} ⊂ TR`/N est difféomorphe par h à un voisinage
de N ⊂ R` . Lorsque N est compact, il est aisé de voir que tout voisinage contient un N ε . Soit
h−1
π
1
N.
π1 : TR`/N → N définie par π1 (y, v) = y. Alors π est la composition de N ε −−→ TR`/N −→
Il est possible d’étendre le théorème aux variétés non-compactes, mais il faut que ε soit une
fonction (qui devra peut-être décroître vers 0).
3.2.ii
thomotran-t
Intersection
Théorème 3.2.6 (Théorème de l’homotopie transverse): Soit L ⊂ N ⊂ Rk des sous-variétés sans
bord et M une variété lisse compacte (avec ou sans bord). Étant donné une application lisse f : M →
L, il existe une application g qui est homotope à M, g est transverse à L et g|∂M est transverse à L. Si
de plus f|∂M est transverse à L, alors il existe un voisinage U de ∂M tel que l’homotopie est relative 5
à U et f|∂M = g|∂M .
Idée de la démonstration : L’idée est de regarder toutes les déformations possibles de f , celles-ci
sont paramétrée par F définie sur M × D̊k où une paire (x, v) représente un déplacement v basé en
f (x) ∈ Rk , i.e. F(x, v) = f (x) + v (et D̊k est le disque ouvert). L’application F est une submersion
lisse, en particulier, transverse à quoique ce soit. Elle a pour problème de ne pas nécessairement
tepsnbh-t
prendre valeur dans N. En utilisant le théorème du ε-voisinage 3.2.5, il est possible de faire une
submersion π d’un voisinage de N ε sur N. π ◦ F reste une submersion et W = (φ ◦ F)−1 (L) est une
sous-variété.
Reste à montrer que si une application F définie sur un produit cartésien de variété (comme
M × D̊k ) alors Ft (x) := F(x,t) est transverse pour presque tout t (le théorème de Sard est utilisé).
Il faut utiliser a projection sur le second facteur π2 : W → D̊k , car ses valeurs régulières sont celles
où Ft est transverse à L (il faut faire un calcul pour le voir). De plus, il y a une homotopie naturelle
entre n’importe quelle Ft et f : s 7→ Fst .
Pour montrer l’homotopie relative, des estimés plus poussés sont requis. Le point principal est
que la transversalité est une condition ouverte. Conséquemment si f∂M est transverse, il existe un
voisinage de ∂M où f est transverse.
Pour plus de détails, voir Guillemin & Pollack, Chap.2, §3, pp.67–73.
La notation vM sera utilisée pour désigner une base d’un espace tangent.
5. une homotopie F(x,t) entre f (x) et g(x) est relative à un ensemble K si ∀k ∈ K, F(k,t) = f (k) = g(k).
54
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Définition 3.2.7: Soit M une variété compacte sans bord, soit L une sous-variété sans bord d’une
variété connexe sans bord N et soit f : M → L. Si f est transverse et dim M + dim L = dim N, alors
le nombre d’intersection modulo 2, noté I2 ( f , L), est défini par | f −1 (L)| (mod 2).
Si M, L et N sont orientées, le nombre d’intersection de I( f , L) est la somme des signes de
x ∈ f −1 (L). Pour définir le signe d’un tel x, soit vM et vL des bases respectant l’orientation de Tx M
et T f (x) L. Si la concaténation de dfx (vM ) avec vL respecte l’orientation de T f (x) N, alors le signe est
positif (négatif sinon).
F
ex-capprod
Exemple 3.2.8: Le groupe fondamental du tore T2 = S1 × S1 est un groupe abélien libre de rang 2
(i.e. ∼
= Z2 ). Ses deux générateurs sont représentés par des cercles S1 × {y0 } et S1 × {x0 }. Appelons
ces générateurs α et β. Un dessin convaincra rapidement le lecteur que le nombre d’intersection
entre ces deux cercles est ±1, selon le choix d’orientation des cercles. Supposons que ce choix est
fait de sorte à obtenir 1.
Il est facile de réaliser aα + bβ comme une variété. Si a, b 6= 0, il suffit de regarder l’image
de l’application fa,b : S1 → T2 définie par fa,b (θ) = (aθ, bθ) ∈ S1 × S1 (où aθ ∈ S1 représente le
point (cos aθ, sin aθ) dans le cercle vu comme sous-ensemble de R2 ). En effet cette application
est bijective est de différentielle de rang maximal (i.e. c’est un paramétrage). Si a = 0 (resp. b =
0), il vaut mieux le voir comme une union disjointe de b (resp. a) cercles (le signe déterminant
l’orientation).
En tout cas, ceci permet de définir un produit en homologie :
(aα + bβ) ∩ (a0 α + b0 β) = I( fa,b , Im fa0 ,b0 ) = a0 b + ab0 .
Ce “produit” en homologie s’appelle le produit d’intersection (ou cap-produit) et est noté _. Il sera
ch-classcar
♠
important au chapitre 5.
Proposition 3.2.9: Soit M, f , L et N comme ci-haut. Si M = ∂W et qu’il existe F : W → N avec
F|M = f alors I2 ( f , L) = 0 et, si les orientations sont possibles, I( f , L) = 0
thomotran-t
Démonstration. F peut être choisie transverse par le théorème de l’homotopie transverse 3.2.6.
Alors F −1 (L) est une sous-variété de dimension 1. Les arguments usuels de comptage et d’orientation donnent la conclusion.
Le corollaire usuel de cette proposition est
Corollaire 3.2.10: Si f0 , f1 : M → N sont deux applications homotopes et transverses à L, alors leur
nombres d’intersections (modulo 2 ou entiers) sont égaux.
Démonstration. Appliquer la proposition à F : M × I → N l’homotopie de f0 à f1 .
Ceci permet aussi d’étendre la définition des nombres d’intersection au cas où f n’est pas transverse : I( f , L) = I(g, L) où g est une application homotope à f qui est transverse à L. [La même
chose est vraie pour I2 dans le cas non-orientable.] Par le théorème de l’homotopie transverse, g
existe, et par le corollaire ci-dessus, le résultat ne dépend pas du choix.
exo-interappli
L’exercice 56 montre même qu’il est possible de définir le nombre d’intersections entre deux
applications, en considérant I( f × g, ∆) où ∆ ⊂ N × N est la diagonale. Attention, ceci diffère par un
55
3.2 - Transversalité et intersection
signe du nombre obtenu en regardant les sommes de signes associés aux concaténations de dfx (vM )
avec dgy (vL ) (où f (x) = g(y)) : il y a un (−1)dim L qui apparaît. [De nouveau, ceci reste vrai dans le
cas non-orientable pour I2 , sauf que le signe est sans importance !]
3.2.iii
Caractéristique d’Euler, via l’intersection
Pour cette partie on supposera que M (et donc TM) est orientable. Lorsque f est aussi une
inclusion, il est possible de définir I(M, L) = I( f , L). Étant donné un fibré ξ, la section nulle est la
section z : M → E(ξ) définie par z(x) = (x, 0).
Définition 3.2.11: Soit M une variété sans bord. La caractéristique d’Euler de M (via l’intersection)
est χI (M) = I(∆, ∆) où ∆ est la diagonale de M × M. Plus généralement, la caractéristique d’Euler
d’un fibré ξ de rang m = dim M est χI (ξ) = I(z, M × {0}) (où M × {0} ⊂ E(ξ) et z est la section
nulle).
F
Puisque, Im z = M × {0}, l’intersection n’est pas transverse, mais il est tout de même possible
de la définir. Le gros travail qui s’amorce est de montrer que χI (M) = χI (TM) = χ(M).
Lemme 3.2.12: Si un fibré ξ de rang m sur M a une section s qui ne s’annule jamais, alors χI (ξ) = 0.
Démonstration. En effet, χI (ξ) = I(M, M). Or s : M → E(ξ) est homotope 6 à la section nulle z :
M → M × {0} : F(x,t) = x,ts(x) . D’où χI (M) = I(s, M) = 0.
exo-chidimimp
Il est déjà encourageant que χI (S2n+1 ) = 0 (en fait, par l’exercice 58, χI (ξ) = 0 et χI (M) = 0
dès que m est impair).
La première égalité (et la plus simple) qui sera démontrée est χI (M) = χI (TM). L’idée est
que chaque espace Tx M est localement un bout de M, ainsi, il est assez naturel de penser qu’un εvoisinage de M ⊂ TM est pareil qu’un ε-voisinage de ∆M ⊂ M ×M. C’est l’idée de la démonstration.
Lemme 3.2.13: Soit µ = T(M × M)/∆ le fibré normal à la diagonale dans M × M. L’application
φ : TM → µ définie par (x, v) 7→ (x, x), (v, −v) est un difféomorphisme.
Démonstration. Il suffit de montrer que la partie “fibrée” est un isomorphisme d’espaces vectoriels
(M est assez évidemment difféomorphe à sa diagonale) qui varie lissement. D’abord, comme un
paramétrage diagonal le montre :
(w, w0 ) ∈ T∆ ⊂ TM × TM ⇔ w = w0 .
Or (v, v0 ) ∈ µ(x,x) si et seulement si ∀(w, w0 ) ∈ T∆ ⊂ TM ×TM, h(v, v0 ), (w, w0 )i = 0. Mais, en utilisant,
w = w0 et
h(v, v0 ), (w, w0 )i = hv, wi + hv0 , w0 i = hv + v0 , wi
Ainsi, il faut que v0 = −v.
tepsnbh-t
Le théorème du ε-voisinage 3.2.5 a un cousin dont nous auront besoin :
6. En fait, toute section d’un fibré est homotope à la section nulle, par le même argument.
56
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
tvoistub-l
exo-interappli
Lemme 3.2.14 (Théorème du voisinage tubulaire): Soit L une sous-variété compacte de N. Il existe
un difféomorphisme d’un voisinage de L dans TN/L sur un voisinage de L dans N.
Démonstration. Soit π : N ε → N la projection au point le plus proche donné par le théorème du εtepsnbh-t
voisinage 3.2.5. Puisque N ⊂ R` , il est possible de définir h : TN/L → R` par h(x, v) = x + v. Alors,
h
π
− N est l’identité lorsque restreinte à L. Par le
W = h−1 (N ε ) est un voisinage de L. Mais W →
− Nε →
tfoninvman-l
lemme 3.2.4, ceci implique qu’un voisinage de L (dans W ⊂ TN/L ) est difféomorphe à un voisinage
de L dans N.
Théorème 3.2.15: χI (M) = χI (TM).
Démonstration. On sait que M ∼
= ∆ ,→ M × M a un voisinage difféomorphe à M ,→ TM. Pour
calculer I(∆, ∆ ⊂ M × M), il suffit de regarder une petite perturbation transverse de ∆ et compter
tvoistub-l
ses intersections. Par le difféomorphisme du lemme 3.2.14, cette perturbation n’est autre qu’une
perturbation de M ⊂ TM qui aura les même intersections. Ainsi I(∆, ∆) = I(M, M), ce qui termine
la démonstration.
Par la bande, on a fait un lien avec les champs de vecteur. En effet, le plongement de M ,→ TM
se fait par la section nulle. En prendre une petite perturbation, c’est se donner un champ de vecteur
et compter ces intersections avec la section nulle. Cette observation sera utilisée aux prochaines
sections pour montrer la dernière égalité : χI (TM) = χ(M).
3.2.iv
Exemples et Exercices
E XERCICE 56: Soit f : M → N et g : L → N deux applications lisses de variété de dimensions
dim M + dim L = dim N.
a. Définir le nombre d’intersection modulo 2 de deux applications en utilisant que la diagonale
∆ ⊂ M × M est une variété lisse de codimension m.
b. Si g est une inclusion, montrer que I2 ( f , g) = I2 ( f , L).
c. Montrer que I2 ( f , g) = I2 (g, f ).
d. Soit N le ruban de Möbius et M le cercle au milieu de N. Montrer que I2 ( f , g) = 1 où f , g :
M ,→ N sont les inclusions.
E XERCICE 57: Cet exercice vise à montrer qu’il n’y a pas de variétés compactes contractiles sans
bord autre que le point.
a. Montrer que si N est contractile, alors I2 ( f , L) = 0 pour tout L ⊂ N fermée et f : M → N lisse
tels que dim M + dim L = dim N.
b. Soit N une variété compacte sans bord. Monter que si N est contractile alors N est un point.
c. En déduire aussi que si M est une variété (sans bord) connexe compacte de dimension k − 1
dans Rk , il est possible de définir un intérieur et un extérieur de M, c’àd. que Rk r M a deux
composantes connexes (par arc). [Indice : sinon, construire une application du cercle qui
intersecte M transversalement exactement une fois.]
57
3.3 - Indice des champs de vecteurs
d. Si M est dans la précédente sous-question, en conclure que le fibré normal est un fibré trivial.
exo-chidimimp
E XERCICE 58: Montrer que si M et L sont deux sous-variétés compacte de N (de dimensions complémentaires) alors I(M, L) = (−1)dim M dim L I(L, M). En déduire que χI (M) = 0 = χI (ξ) si M est
une variété compacte orientée de dimension impaire.
E XERCICE 59: Deux sous-variétés de même dimension M, L ⊂ N sont dites cobordantes si il existe
un sous-variété W ⊂ N × [0, 1] telle que ∂W = M × {0} ∪ L × {1}. Montrer que si M et L sont
cobordantes alors pour toute sous-variété X telle que dim X + dim M = dim N, I2 (M, X) = I2 (L, X).
[Indice : Utilise la restriction à W de la projection N × I → N.]
3.3
Indice des champs de vecteurs
3.3.i
L’indice
s-poinhopf1
Pour faire simple, commençons par une section du fibré trivial de rang m sur U ⊂ Rm . Puisque
E(εUk ) = U × Rm , il s’agit d’une application v : U → Rm (la section peut s’écrire (Id, v) : U → U ×
Rm ). Soit z ∈ U un point où le champ de vecteur s’annule et D un disque centré en z qui ne contient
v(x)
aucun autre points où v s’annule. Alors, l’application v̂ : ∂D → Sm−1 définie par v̂(x) := kv(x)k
aura
m−1
∼
un degré (car ∂D = S
) qui s’appelle l’indice du champ de vecteur.
Bien défini ? Il faut tout de même vérifier que ce nombre ne dépend pas du choix de D. Pour ce
faire, soit D0 un autre disque centré en z ne contenant pas d’autres zéros. Supposons, sans perdre
de généralité, que D ⊂ D0 . Si D̊ est le disque ouvert, alors v̂ s’étend à D0 r D̊. En particulier, ceci
implique que deg v̂|∂D = deg v̂|∂D0 .
♣
Pour construire un champ de vecteur de degré arbitraire, il suffit de prendre m = 2, d’identifier
∼
= C et de prendre v : z 7→ zk où k > 0 : ce champ aura indice k. De plus, v : z 7→ z̄k (où k > 0)
aura indice −k. Finalement, pour k = 0, il faut modifier (par une homotopie) le champ de vecteur
constant pour lui faire prendre la valeur 0.
R2
Quelques images ne peuvent pas faire de mal (les flèches en bleu indique le champ de vecteurs,
celles en rouges leur flot, le point noir est le zéro). Voici deux situations, une où l’indice est 1, où
l’indice est −1 :
58
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
L’indice ne caractérise par tout, en témoigne ces trois autres situations où l’indice est 1 :
Maintenant pour les indices 2 et 3 :
Et les indices −2 et −3 :
Finalement, quelques situations d’indice 0 :
59
3.3 - Indice des champs de vecteurs
Pour donner un sens à cet indice dans une variété quelconque, il faut montrer que cette notion
ne dépend pas du paramétrage ou, mieux, qu’elle est invariante par difféomorphismes. À partir de
maintenant, seul les champs de vecteurs dans le fibré tangent seront considérés 7 . En effet, la différentielle df est une application naturelle entre fibré tangents. De plus, si f est un difféomorphisme,
df : TM → TN est aussi un isomorphisme de fibrés.
Définition 3.3.1: Une application f : M → N envoie le champ de vecteurs (Id, v) : M → TM sur
(Id, v0 ) : f (M) → TN (où f (M) ⊂ N) si v0 ( f (x)) = dfx (v(x)).
En particulier, si f est un difféomorphisme, les champs de vecteurs sur M et N se correspondent :
= df ◦ v ◦ f −1 . Ainsi, pour le fibré tangent, l’indice de v (sur TM) pourrait se définir comme
l’indice du v0 correspondant pour un difféomorphisme f : M → U ⊂ Rm .
Quelques lemmes préliminaires sont requis pour montrer que ceci ne dépend pas du choix de
difféomorphisme. Ceci revient à vérifier que pour U,U 0 ⊂ Rm et un difféomorphisme f : U → U 0
l’indice de v sur U correspond à celui de v0 (sur U 0 ).
v0
tpremorse-l
Lemme 3.3.2: Soit f : Rm → Rm une application lisse telle que f (0) = 0 alors, il existe gi : Rm →
Rm des fonctions lisses telles que
m
– f (x) = ∑ xi gi (x) ;
i=1
– gi (0) =
∂f
(0).
∂xi
Démonstration. Il suffit d’écrire
f (x) =
Z 1
d
0
dt
Z 1 m
f (tx1 , . . . ,txm )dt =
Puis de poser gi (x) =
0
m
∂f
∑ xi ∂xi (tx1 , . . . ,txm )dt = xi ∑
i=1
i=1
R 1 ∂f
0 ∂xi (tx)dt
Z 1
∂f
0
∂xi
(tx1 , . . . ,txm )dt
7. Il est tout à fait possible de considérer des fibrés vectoriels quelconques (tant que le rang est le même que la
dimension de la variété) : tous les fibrés vectoriels sont localement comme un fibré trivial sur un ouvert de Rm . Tout ce
qui change, est qu’il faut montrer l’invariance pour les isomorphismes de fibrés. D’autre part, on verra sous peu qu’il est
aussi possible de passer par la théorie de l’intersection. Dans ce contexte, il est à peine nécessaire de changer un argument
quelconque... sauf pour l’invariance de la somme des indices : il faut aussi faire attention à ce que le fibré soit orientable.
60
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Une application linéaire Rm → Rm injective est nécessairement surjective (pour des raisons de
dimension). Elle est ainsi un difféomorphisme. Il y a au moins deux qui sont non-isotopes 8 : l’application déterminant est continue et prend valeur dans un ensemble avec deux composantes connexes
par arc (R r {0}) ; l’identité est de déterminant 1 et une réflexion est de déterminant −1. Le prochain lemme montrer que c’est toutes les possibilités à isotopies près. Remarquons qu’une isotopie
d’isomorphismes vectoriels est équivalente à un chemin dans l’espace des matrices de déterminant
non-nul.
tdeuxccdeom-l
Lemme 3.3.3: Une application linéaire Rm → Rm injective est isotope soit à l’identité (si son déterminant est > 0) soit à une réflexion ρ(x1 , . . . , xm ) = (−x1 , x2 , . . . , xm ) (si son déterminant est < 0).
Démonstration. Tout d’abord, par un processus de Gramm-Schmidt (où on ajoute un facteur de
temps à chaque étape) il est possible de voir que la matrice peut-être supposée orthogonale, i.e. à
un choix d’axes numérotés. Ensuite, en utilisant des rotations, il est possible de faire en sorte que
les axes coïncident avec les axes standards de Rm à renumérotation près. Autrement dit, il suffit de
chercher quelles permutations d’axes sont reliés par des chemins.
Pour m = 2, il n’y a que deux permutations possibles : l’une correspond à l’identité et l’autre à
une réflexion (suivi de la rotation de π/2 pour que les axes coïncident).
Pour m > 2, il faut voir que les permutations cycliques de trois axes de coordonnées sont reliées :
il suffit de regarder le cube engendré par trois vecteurs unitaire, et la rotation autour de la grande
diagonale (reliant (0, 0, 0) à (1, 1, 1)) de 2π/3 est une permutation cyclique de ces trois axes. Ensuite,
les 3 cycles engendrent les permutations paires. Il n’y a que deux éléments dans le groupe Sn /An des
permutations quotienté par les permutations paires. Les permutations paires préservent l’orientation
tandis que les impaires la renverse.
tdifisoid-l
Lemme 3.3.4: Un difféomorphisme f : Rm → Rm est isotope à l’identité s’il préserve l’orientation
et à une réflexion s’il la renverse.
Démonstration. Quitte à changer f par des translations, il est possible de supposer que f (0) = 0.
lim f (tx) = df0 (x). Ainsi, soit F : Rm × [0, 1] → Rm l’homotopie définie par
Alors t→0
t
F(x,t) =
f (tx)
si t 6= 0 et F(x, 0) = df0 (x).
t
tpremorse-l
Il faut montrer que F est lisse, ce qui n’est pas évident lorsque t → 0. Par le lemme 3.3.2,
m
∀t ∈ [0, 1],
F(x,t) = ∑ xi gi (tx),
i=1
et conséquemment F est bien lisse pour tout t. Ainsi, f est isotope à df0 , une application linéaire.
tdeuxccdeom-l
Le lemme 3.3.3 permet de conclure.
8. Puisqu’on parle de degré, il est possible d’expliquer de manière capillo-tractée (mais utile pour la suite) comme
suit : les applications linéaires sont déterminées par leur valeurs sur les sphères, et le degré de l’identité est 1 tandis que
celui d’une réflexion est −1.
61
tindptnondeg-l
3.3 - Indice des champs de vecteurs
Théorème 3.3.5: Soit f : U → U 0 ⊂ Rm un difféomorphisme et v un champ de vecteur sur U ⊂ Rm
s’annulant en z ∈ U. Alors l’indice de v en z est égal à l’indice de v0 = df ◦ v0 ◦ f −1 en f (z).
Démonstration. Sans perdre de généralité, supposons que z = f (z) = 0 ∈ Rm . Dans un premier
temps, par le lemme précédent, f est isotope à Id ou ρ : il existe une famille lisse ft avec ft (0) = 0,
f0 = Id ou ρ (selon que f préserve l’orientation ou pas) et f1 = f . Ainsi, le champ
vt0 = dft ◦ v ◦ ft−1 ,
correspondant à v par ft , s’annule lui aussi en 0.
Mais 0 reste toujours isolé : si z est tel que ft (z) = 0 ⇒ f (tz) = 0. Par conséquent, si f ne
s’annule pas sur un disque de rayon r en 0, ft ne s’annule pas sur un disque de rayon r/t ≥ r. Ainsi,
cette famille de champ défini une homotopie entre v0 = v et v1 = v0 qui, dans un disque suffisamment
petit en 0, ne s’annulent pas.
Maintenant, si f préserve l’orientation, v̂t est une homotopie de v̂0 = v̂ vers v̂1 = v̂0 , ce qui clôt
la démonstration.
Si f ne préserve pas l’orientation, notons que dρ = ρ et ρ−1 = ρ. Alors, v̂t est une homotopie de
v̂0 = ρ ◦ v̂ ◦ ρ vers v̂1 = v̂0
Soit vρ = ρ ◦ v ◦ ρ. Alors v̂ρ = ρ ◦ v̂ ◦ ρ, et donc :
deg(vρ )|∂D = deg ρ|Sm−1 deg v|∂D deg ρ|∂D = (−1)2 deg v|∂D = deg v|∂D ,
car deg ρ|Sm−1 = deg ρ|∂D = −1. Ainsi, l’indice de v0 est le même que celui de v.
Définition 3.3.6: L’indice d’un champ de vecteurs v : M → TM en un zéro z ∈ M est l’indice du
champ de vecteurs v0 = dg−1 ◦ v ◦ g où g : U → V est un difféomorphisme de U ⊂ Rm sur v ∈ Vois M z.
Il sera noté Indz v ∈ Z. Lorsque v a un nombre fini de zéros, Ind v est employé pour la somme de tous
les indices.
3.3.ii
Les points non-dégénérés
Définition 3.3.7: Soit U ⊂ M. Un point d’annulation z d’un champ de vecteur v : U → Rm est
non-dégénéré si dvz est injective.
Par le théorème d’inversion locale, de tels points sont nécessairement isolés.
Lemme 3.3.8: L’indice de v en z un point non-dégénéré est Indz v = ±1.
Démonstration. Le théorème d’inversion locale assure que v est un difféomorphisme local en z.
Quitte à supposer que z = 0, v est un difféomorphisme d’un voisinage de 0 sur un autre voisinage
tdifisoid-l
de 0. Ainsi, v est isotope à dv0 , par le lemme 3.3.4. Son indice est alors 1 s’il préserve l’orientation
ou −1 s’il ne la préserve pas.
Plus généralement, si M ⊂ Rk , un champ de vecteur v est une application v : M → Rk telle que
v(x) ∈ Tx M ⊂ Rk .
62
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Lemme 3.3.9: Si z ∈ M est un point où v s’annule alors dvz envoie Tz M dans lui-même. En tant
qu’endomorphisme d’espace vectoriel (de dimension m), soit D son déterminant. Si D 6= 0, alors z
est un point isolé et l’indice en z est le signe de D.
Démonstration. Soit h : U → M un paramétrage d’un voisinage de z (disons avec h(0) = z). Soit ei
la base canonique de Rm (où m = dim M) et
ti (u) = dhu (ei ) =
∂h
(u)
∂ui
la base correspondante de Th(u) M. Il faut calculer l’image de ti (0) par dvz . D’une part,
dvh(u) (ti (u)) = d(v ◦ h)u (ei ) =
∂(v ◦ h)
(u).
∂ui
D’autre part, si w(u) = ∑mj=1 w j (u)e j est le champ de vecteurs correspondant à v par h (i.e. w =
dh−1 ◦ v ◦ h), alors
m
ecoordloc
exe-dimimpcar0
(3.3.10)
v(h(u)) = dhu w(u) =
∑ w j (u)t j (u).
j=1
D’où
dvh(u) (ti (u)) =
∂(v ◦ h)
(u) =
∂ui
m
∂w j
m
∂t j
∑ t j (u) ∂ui (u) + ∑ w j (u) ∂ui (u).
j=1
i=1
Mais, comme le champ de vecteur s’annule en z = h(0), les w j (0) = 0. Ainsi
m
dvz (ti (0)) ∑ t j (0)
j=1
∂w j
(0).
∂ui
Autrement dit, Im dvz (ti (0)) ∈ Tz M. De plus, la matrice de cette endomorphisme est (A)i j =
∂w j
∂ui (0).
Dans le précédent lemme, on a aussi donné une méthode pour évaluer le degré : c’est l’équation
exe-sphind
(3.3.10). Elle sera utilisée à l’exemple 3.3.13.
tindptnondeg-l
À peu de choses près, le lemme 3.3.8 montre déjà que, si tous les zéros d’un champ de vecteurs
sont non-dégénérés, alors v est transverse à la section nulle et la somme des indices d’un champ
exo-interindic
de vecteur est le nombre d’intersection I(v, M × {0}) ; voir exercice 61. Ce point de vue est fort
pratique, car on sait que
– ce nombre est un invariant d’homotopie entre champs de vecteurs transverses ;
– tous les champs de vecteurs sont homotopes à la section nulle.
Ainsi, il suffit de vérifier que les zéros dégénérés de degré ±k (où k > 0) se transforme par une petite
tdegnondeg-l
perturbation en k zéros non-dégénérés de signe ±1. Voir le lemme 3.3.14 ci-bas. En attendant :
ecoordloc
Corollaire 3.3.11: Si M est une variété compacte sans bord et orientable, Ind v = χI (TM).
Exemple 3.3.12: Si M est une variété de dimension m impaire, −v est un champ de vecteur qui
aura les même zéros que v. Mais le degré de l’application antipodale (sur Sm−1 ) est (−1)m , d’où
Indz v = (−1)m Indz (−v) = −Indz (−v). Mais alors Ind v = −Ind v et donc Ind v = 0. De nouveau,
ceci est cohérent avec le fait que χI (M) = 0 lorsque M est de dimension impaire.
♠
63
3.3 - Indice des champs de vecteurs
exe-sphind
Exemple 3.3.13: Sur une sphère il existe toujours un champ de vecteur qui “pointe vers le nord”.
Plus précisément, soit n = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rm , et soit v le champ de vecteur sur Sm−1 ⊂ Rm défini par
v(x) = n − (x · n)x. En x = (±1, 0, . . . , 0), v(x) = 0. Si on prend le paramétrage
h± : Dm−1
→ Sm−1
q
2
(x2 , . . . , xm ) 7→ (± 1 − ∑m
i=2 xi , x2 , . . . , xm ),
(qui paramètre soit la demi sphère supérieure [+] ou inférieure [−]) alors
s
s
m
v(h± (x2 , . . . , xm )) =
∑
m
xi2 , ∓x2
1− ∑
i=2
xi2 , . . . , ∓xm
i=2
m
1− ∑
xi2
.
i=2
∓x j
q
, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (où le 1 est en jème position). En2
1 − ∑m
x
i=2 j
ecoordloc
suite, par l’équation (3.3.10), il faut trouver w j (x2 , . . . , xm ) tel que
s
s
m
m
m
m
∓x j
2
2
2
, −− e j −−)
∑ xi , ∓x2 1 − ∑ xi , . . . , ∓xm 1 − ∑ xi = ∑ w j (x2 , . . . , xm ) q
2
i=2
i=2
i=2
j=2
1 − ∑m
x
i=2 j
D’autre part t j (x2 , . . . , xm ) =
où −− e j −− est écrit pour noter le vecteur de longueur m − 1 dont le ( j − 1)ème coefficient est 1 et les
autres des 0. Heureusement pour nous, l’apparence de e j permet de trouver rapidement la réponse :
s
s
m
w j (x2 , . . . , xm ) = ∓x j
1 − ∑ xi2
m
w(x2 , . . . , xm ) = ∓(x2 , . . . , xm ) 1 − ∑ xi2
d’où
i=2
i=2
q
xj
∂w
2
(x2 , . . . , xm ) = ±(x2 , . . . , xm ) q
∓ ei 1 − ∑m
i=2 xi . Autrement dit,
m
∂xi
2
1 − ∑i=2 x j
∂w
en (0, . . . , 0) ∈ Dm−1 (dont l’image est (±1, 0, . . . , 0) ∈ Rm ),
(x2 , . . . , xm ) = ∓ei . Ainsi, la diffé∂xi
rentielle de w est ∓Id.
Par conséquent, ces zéros sont non dégénérés et leur indice est (∓1)m−1 . Ainsi, Ind v = (+1)m−1 +
(−1)m−1 = 1 + (−1)m−1 . Ainsi, ce nombre est 2 pour une sphère de dimension paire (m − 1 est pair)
et 0 pour une sphère de dimension impaire. Fort heureusement pour l’objectif, ceci coïncide avec la
caractéristique d’Euler.
♠
On en conclut que
Finalement, comme promis, il est possible de changer un zéro dégénéré en plusieurs zéros nondégénérés.
tdegnondeg-l
Lemme 3.3.14: Soit v un champ de vecteur et z un zéro isolé d’indice k alors v est homotope à un
n
champ de vecteurs w qui possède n zéros non-dégénérés (disons zn ) tels que ∑ Indzi w = Indz v.
i=1
Démonstration. Il suffit de faire cet argument pour un champ de vecteur v : U → Rm avec un unique
zéro en 0 ∈ U ⊂ Rm . Soit λ : U → [0, 1] une fonction lisse qui vaut 1 sur un disque D contenant z et 0
en-dehors d’un disque plus grand D0 . Soit y une valeur régulière de v proche de 0, plus précisément
kyk <
1 inf
kv(x)k.
2 x∈D0 rD̊
64
exo-interindic
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Un tel y existe car : 1- l’infimum sur un compact d’une fonction positive mais jamais nulle est > 0,
2- par densité des valeurs régulières il en existe de norme arbitrairement petite. Alors
vt (x) = v(x) − tλ(x)y
est n’a aucun zéro en dehors de D. En dehors de D0 c’est évident (puisqu’on a rien changé). Sur
D0 r D, si x est un zéro de vt alors v(x) = tλ(x)y, mais alors kv(x)k ≤ kyk puisque t et λ(x) sont
dans [0, 1], une contradiction. De plus, w := v1 est non-dégénéré car les zéro de w sont exactement
les point réguliers de v. Finalement, comme le degré de v̂t sur ∂D est le même pour tout t (c’est une
homotopie), ceci démontre le lemme.
Le lemme précédent est utile dans la mesure où la théorie de l’intersection nous garantie l’invariance de l’indice (si les zéros sont non-dégénérés) pour les variétés avec ou sans bord. En particulier,
si v est un champ de vecteur non-dégénéré et M est sans bord, Ind v = I(v, M × {0}) = χI (TM).
Si le sens de χI (TM) est étendu aux variétés avec bord en ajoutant la condition que le champ
pointe vers “l’extérieur” au bord, cette égalité est alors aussi vraie pour les variétés avec bord.
3.3.iii
Exemples et Exercices
E XERCICE 60: Donner l’indice dans les deux situations suivantes :
E XERCICE 61: Soit v : U → Rm un champ de vecteurs (où U ⊂ Rm ) et z un zéro non-dégénéré de
v. Montrer que v est transverse à 0. Ensuite, montrer que le nombre d’intersection I(v, {0}) en z est
l’indice de v en z.
E XERCICE 62: Montrer que si f : M → M est homotope à Id alors le graphe de f est homotope à
la diagonale.
E XERCICE 63: Soit U ⊂ Rm un ouvert contenant 0. Les applications lisses f : U → Rm telle que
f (0) = 0 et les champs de vecteurs v s’annulant en 0 sont en bijection (de manière naturelle, via le
flot des champs de vecteurs) par v(x) = f (x) − x. Montrer que si v est non-dégénéré, le graphe de f
est transverse à la diagonale dans U × Rm .
65
3.4 - Théorème de Poincaré-Hopf
3.4
Théorème de Poincaré-Hopf
3.4.i
Le lemme de Hopf
s-poinhopf2
Cette première sous-section n’est pas cruciale. Elle sert à montrer que l’indice d’un champs
de vecteur ne dépend que de M. Lorsque ce champs est non-dégénéré, c’est une conséquence de
la théorie de l’intersection. À part la jolie interprétation qui sera faite de l’indice, ceci permettra
d’étendre cette invariance au champs dégénérés 9 .
Le lemme de Hopf relie de manière surprenante la somme des indices (d’un champ de vecteurs
dont les zéros sont tous isolés) avec le degré de l’application de Gauss :
Définition 3.4.1: Soit M ⊂ Rm une variété à bord de dimension m. L’application de Gauss est
γ : ∂M → Sm−1 définie en associant à x ∈ ∂M le vecteur unitaire normal sortant en x.
tlemhopf-l
tinddeggauss-t
Lemme 3.4.2 (Lemme de Hopf): Soit M ⊂ Rm une variété à bord de dimension m dont le bord est
compact et v : M → Rm un champ de vecteurs tel que v|∂M pointe toujours vers l’extérieur et v ne
s’annule qu’en un nombre fini de point. Alors Ind v = deg γ.
Démonstration. L’astuce est déjà apparue auparavant : soit M 0 la variété obtenue de M en retirant
un petit disque autour de chaque zéro du champ de vecteur. Alors, le degré de v̂ sur ∂M 0 est 0
textdeg0-l
(par le lemme 1.4.7). Or ∂M 0 est formé de ∂M et des ∂Di (avec un orientation opposée). D’une part
∑ deg v̂|∂Di = Ind v. De l’autre, v̂|∂M n’est rien d’autre que γ. D’où deg γ = Ind v.
Le degré de γ est aussi appelé “curvatura integra” (voir Chern [1945] sans l’hypothèse de codimension 1) dans le théorème de Gauss-Bonnet. Comme on le verra, c’est la caractéristique d’Euler
de M (et si m est impair, la moitié de la caractéristique d’Euler de ∂M).
Pour corriger le fait que le lemme de Hopf n’est valable qu’en codimension 1, il suffit de prendre
tepsnbh-t
un ε-voisinage (voir le théorème 3.2.5) :
Théorème 3.4.3: Pour tout champ de vecteurs v sur M ⊂ Rk compacte sans bord dont les zéros
sont non-dégénérés, Ind v = deg γMε où γMε est l’application de Gauss d’un ε-voisinage de M.
Démonstration. Soit π : M ε → M la submersion qui envoie x ∈ M ε vers le point le plus proche dans
M. En particulier, x − π(x) est perpendiculaire à l’espace tangent Tx M. Soit φ : M ε → M définie par
φ(x) = 21 kx − π(x)k2 , alors ∇φ(x) = x − π(x). Par conséquent, le vecteur normal à ∂M ε est
γ(x) := γMε (x) =
x − π(x)
.
ε
Il est alors possible d’étendre v en un champ de vecteur w sur M ε par w(x) = (x − π(x)) + v(π(x)).
Alors
w(x) · γ(x) = (x − π(x)) + v(π(x)) · (x − π(x))/ε = kx − π(x)k2 /ε = ε,
car γ(x) · v(π(x)) = 0. Ainsi w pointe bien vers l’extérieur sur ∂M ε et M ε est de dimension k. De plus
comme la somme qui forme w est orthogonale, les zéros de w sont les mêmes que ceux de v.
9. Et justifie a posteriori la convention qui veut que le nombre d’intersection dans une situation non-transverse soit
celui de n’importe quelle application transverse suffisamment proche.
66
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
Finalement, un calcul de la dérivée de w donne
∀h ∈ Tz M;
∀h ∈ Tz (M ε )/M .
dwz (h) = dvz (h)
dwz (h) = h
tlemhopf-l
Ainsi, le déterminant de w est bien celui de v. Par le lemme de Hopf 3.4.2, deg γ = Ind v.
tinddeggauss-t
Le théorème 3.4.3 ne s’applique pas aux variétés à bord. Même si l’énoncé reste vrai, la démonstration contient quelques lacunes. En effet, les voisinages M ε de variété à bord ne sont en général
pas lisses (mais seulement de classe C 1 ) et le champ de vecteur donné par v(π(x) + (x − π(x)) est
seulement continu. Il est néanmoins possible de rendre cet argument rigoureux 10 .
Exemple 3.4.4: Sur un disque Dm il existe un champ de vecteur qui est normal (et même unitaire)
au bord : v : x 7→ x. Comme 0 est le seul zéro et que dv0 = Id, le déterminant est 1. Ainsi, pour
n’importe quel champ de vecteur normal au bord Ind v = 1.
D’autre part, l’application de Gauss est aussi Id : Sm−1 → Sm−1 qui manifestement une application de degré 1. Finalement χ(Dm ) = 1 (puisqu’il est contractile).
♠
Cette sous-section montre que (si M est sans bord) Ind v = χI (TM) même si v est dégénéré.
[Pour M avec bord, il faut un peu plus de travail.]
3.4.ii
Division barycentrique
tinddeggauss-t
La démonstration du théorème sera faite en se ramenant au théorème 3.4.3. Pour ce faire, deux
lemmes sont nécessaires. Pour le premier de ces deux lemmes, il y a deux manières “classiques” de
ch-morse
procéder. La première est d’utiliser la théorie de Morse (voir chapitre 4) qui nous dit que (sur une
variété sans bord) le champ de vecteurs donné par le gradient d’une fonction générique fait l’affaire.
ss-triangplong
Puisqu’il a déjà été question de triangulations 2.3.i et d’homologie, ce sera plus cohérent d’utiliser ces concepts. Dans notre hâte pour survoler l’homologie, les divisions barycentriques n’ont pas
été abordées, et elles sont maintenant nécessaires.
Définition 3.4.5: Soit a1 , . . . , am des points de RN , le barycentre est b(a1 , . . . , am ) =
1
m
∑m
i=1 ai .
L’enveloppe convexe de a1 , . . . , am est
m
Cvx(a1 , . . . , am ) := {x ∈ RN | x = ∑ αi ai et
i=0
m
∑ αi = 1}.
F
i=0
Le simplexe standard τn est l’enveloppe convexe de ses point extrémaux : p0 = (1, 0, . . . , 0),
p1 = (0, 1, 0, . . . , 0), ..., et pn = (0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1 . En fait, dans la définition de l’enveloppe convexe
on aurait pu écrire α ∈ τm au lieu de ∑m
i=0 αi = 1.
Définition 3.4.6: La division barycentrique d’un simplexe standard τn est sa division 11 en (n+1)!
simplexes de dimension n. Ces simplexes sont l’enveloppe convexe de c0 , . . . , cn où ci = b(Pi ) et les
Pi sont des sous-ensembles de {p0 , . . . , pm } tels que P0 ⊂ P1 ⊂ . . . ⊂ Pm et |Pi | = i + 1.
F
10. Les applications continues sur une variété compacte peuvent être approchées de manière uniforme par des applications lisses.
11. en quelque sorte, on donne une structure de complexe simpliciale à un simplexe standard...
67
mpavecindcar-l
3.4 - Théorème de Poincaré-Hopf
Ci-dessous à gauche, la division barycentrique d’un 2-simplexe. Ci-dessous à droite, un des 3simplexes obtenue dans la division barycentrique d’un tétraèdre. Il correspond à c0 = b(p0 ) = p0 ,
c1 = b(p0 , p1 ), c2 = b(p0 , p1 , p2 ), et c3 = b(c0 , c1 , c2 , c3 ).
v
T
T
T
T
T
T
T
Tf
f
T
T
f
T
T
T
T
T
v
f
Tv
p3
E@
E @
E @
@
E
@
E
@
E
@
E
@v c0
E
c4v E
E
E
vc2
v E
c3 EE p2``````
```
``` E `
E
= p0
p1
Une autre façon de présenter la division barycentrique est en passant par les cônes. On commence par les même 0-simplexes. Puis la construction est inductive : pour chaque (n + 1)-simplexe
σ, on prend son barycentre b et on forme le cône (convexe) de b avec la structure simplicial étable
(jusqu’ici) sur le bord de σ.
Étant donné un simplexe σn dans un complexe simplicial (avec f : τn → σn le difféomorphisme
qui l’identifie au simplexe standard), son barycentre est l’image du barycentre des extrémités de τn
par f et sa division barycentrique l’image par f de la division barycentrique de τn .
La division barycentrique d’un complexe simplicial est la division barycentrique de chacun de
ses simplexes.
Lemme 3.4.7: Soit M une variété (avec ou sans bord) de dimension m. Il existe un champ de vecteur
sur TM avec Ind v = (−1)m (χ(M) − χ(∂M)).
Démonstration. Soit X une structure simpliciale sur M.
Le champ de vecteur sera nul sur les 0-simplexes. On le construit ensuite sur les 1-simplexes :
il est nul sur le barycentre et pointe sinon sur le bord du 1-simplexe. Pour un 2 simplexe, il est nul
au barycentre est pointe sinon vers le bord du 2-simplexe, au bord on le tord un peu de manière à ce
qu’il y ait un passage lisse. Et ainsi de suite, pour les simplexes de dimension plus grande.
Par exemple, le dessin ci-dessous est pour un 2-simplexe : le barycentre tout comme les sommets
(des 0-simplexes) sont des zéros d’indice 1 tandis que les arêtes sont de degré −1.
Ainsi chaque simplexe possède un zéro isolé (en son barycentre), et la forme de v au zéro z j
qui se trouve au barycentre d’un j-simplexe est (x1 , . . . , x j , −x j+1 , . . . , −xm ), son indice est donc
(−1)m− j .
Autrement dit, Indv = ∑mj=0 (−1)m− j X [ j] = (−1)m χ(M). Ceci permet de conclure lorsque m est
pair. Si m est impair, le champ −v aura pour indice χ(M).
Lorsque M a un bord, il faut choisir d’abord sur tous les simplexes du bord un champ normal
extérieur. Lorsqu’un simplexe σ n’est pas inclu dans le bord mais que ∂σ a des composantes dans le
68
Chapitre 3 - F IBRÉS , I NTERSECTION , ET ... CARACTÉRISTIQUE D ’E ULER
bord, la recette ci-dessus s’applique il faut simplement changer le comportement près de ∂σ :
Ce champ de vecteur n’aura aucun zéro sur les simplexes formant le bord. Par contre, ailleurs
tout se passe comme avant, ainsi il suffit de retirer la contribution de ∂M à toutes les sommes, ce qui
donne :
Indv = (−1)m (χ(M) − χ(∂M)).
w
T
T
T
B T
B ET
E
b
A EE A T g""
b g
T
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@ T ! % B Paa @
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X P a QQ
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""
b
Z
% B Z Q T
@ T e
% E BB E E AlQ@
e
E B E E A l QQ
w
g
Tw
exe-dimimpcar0
De plus, même si ce n’était pas évident 12 , l’exemple 3.3.12 montre que la caractéristique d’Euler (usuelle ou combinatoire) est nulle pour les variétés compactes (sans bord) de dimension impaire.
exo-carvardimimpabor
En utilisant cette remarque et l’exercice 64 :
tchampbord-l
Lemme 3.4.8: Si M est une variété compacte (avec ou sans bord), il existe un champ de vecteur v
tel que Ind v = χ(M).
tchampavecindcar-l
Démonstration. Il suffit d’utiliser le champ v construit au lemme 3.4.7. Si M est sans bord et de
dimension impaire, le champ −v aura pour indice
Ind (−v) = (−1)m Ind v = (−1)2m χ(M) = χ(M).
exo-carvardimimpabor
Si M est à bord et de dimension impaire, par l’exercice 64, χ(∂M) = 2χ(M), ainsi
Ind v = −(χ(M) − χ(∂M)) = χ(M).
Si M est de dimension paire, ∂M est de dimension impaire et sans bord (⇒ χ(∂M) = 0), et ainsi il
existe un v avec Ind v = χ(M) − χ(∂M) = χ(M).
3.4.iii
Le théorème et ses conséquences
tdegnondeg-l
Le lemme 3.3.14, l’invariance de l’indice pour les champs de vecteurs non-dégénérés (soit grâce
tinddeggauss-t
tchampbord-l
au théorème 3.4.3, soit par les nombres d’intersection), et le lemme 3.4.8 donnent :
Théorème 3.4.9 (Théorème de Poincaré-Hopf): L’indice d’un champ de vecteur (normal au bord,
si bord il y a) sur une variété M compacte est χ(M). En particulier, χI (M) = χI (TM) = χ(M).
ss-triangdual
12. Il est possible d’utiliser la triangulation duale pour s’en apercevoir, voir sous-section 5.1.ii.
69
3.4 - Théorème de Poincaré-Hopf
Une conséquence notable est :
Corollaire 3.4.10: Le fibré tangent d’une variété (orientable) compacte n’est pas trivial si χ(M) 6=
0.
En fait, l’annulation de χI a un sens plus fort :
thopfcareul-t
rvardimimpabor
Théorème 3.4.11: Soit ξ un fibré de rang m sur M une variété de dimension m. Si χI (ξ) = 0, alors
il y a une section qui ne s’annule nulle part.
Démonstration. Si s est une section transverse à la section nulle, alors s s’annule en un nombre fini
tlemhomogen-l
de points. Quitte à utiliser un difféomorphisme (un peu comme au lemme d’homogénéité 1.3.4), ces
points sont tous dans un petit ouvert. Ainsi il est possible de supposer qu’il s’agit du fibré trivial
(puisque tout se passe dans l’image d’un seul paramétrage).
tlemhopf-l
Soit W un ouvert qui contienne tous ces points. Ensuite, comme au lemme de Hopf 3.4.2, soit Di
de plus petits disques, disjoints deux à deux et disjoint de ∂W . Comme avant, soit ŝ(x) = s(x)/ks(x)k
(défini lorsque s(x) 6= 0). Par hypothèse, ∑i deg ŝ|∂Di = 0 et, ainsi, toujours comme au lemme de Hopf
tlemhopf-l
3.4.2,
deg ŝ|∂W = ∑ deg ŝ|∂Di = 0.
i
tprehopf-t
Par le théorème de Hopf 1.4.14, ŝ possède une extension lisse g sur W qui est égale à ŝ sur ∂W .
Ainsi, la section définie par
(
ŝ(x) si x ∈
/W
s̃(x) =
g(x) si x ∈ W
est une section lisse qui n’est jamais nulle.
Finalement, on utilisera les ingrédients de ce chapitre pour retrouver un résultat de Whitney :
Corollaire 3.4.12: Soit M ⊂ R2m une variété orientable de dimension m. Alors le fibré de M a une
section partout non-nulle ( i.e. M possède un champ de vecteur normal partout non-nul).
Démonstration. Par le théorème précédent, il suffit de montrer que χI (ξ) = 0 où ξ est le fibré normal
tepsnbh-t
de M. Par le théorème du ε-voisinage 3.2.5, un voisinage W du fibré normal est difféomorphe (disons
par h) à un voisinage de M dans R2m , ainsi
χI (ξ) = I(i, M ⊂ W ) = I(h ◦ i, h(M) ⊂ R2m ).
où i est l’inclusion de M. Mais dans R2m , toute application peut être contractée en un point (puis
déplacée). Il y a une donc homotopie entre h ◦ i et une application f telle que f (M) ∩ h(M) = ∅.
Ainsi, I(h ◦ i, h(M)) = 0, ce qui termine la démonstration.
3.4.iv
Exemples et Exercices
E XERCICE 64: Montrer que si M est une variété compacte à bord de dimension impaire, χ(M) =
1
2 χ(∂M).
[Indice : Prendre une triangulation de M, regarder la triangulation de ∂M correspondante et
celle de Md (la variété “double” obtenue en collant deux copies de M sur leur bord.]
70
Chapitre 4
Théorie de Morse
ch-morse
4.1
Coupes et Greffes
4.1.i
Fonctions de Morse
4.1.ii
Indices des points critiques
4.1.iii
Type d’homotopie et valeurs critiques
4.2
Applications
4.2.i
Les sphères
4.2.ii
Les inégalités de Morse
71
4.2 - Applications
72
Chapitre 5
Classes caractéristiques
ch-classcar
“Les mathématiques, c’est comme le cochon : tout est bon”
-JBB en réponse à une question sur le pourquoi d’une
méthode compliquée pour arriver à un résultat simple
5.1
Cohomologie
Pour le meilleur (ou pour le pire) la cohomologie est très similaire à l’homologie : c’est aussi
le défaut d’exactitude d’une suite. De plus, dans les cas simple, la connaissance de l’une implique
celle de l’autre.
5.1.i
Définitions
Rappelons que Γ est Z2 ou Z. Ce qui est écrit ici se fait sans problème sur Q ou R, et quelques
modifications sont requises pour des groupes abéliens tels Z ⊕ Z (qui n’est pas un anneau).
Définition 5.1.1: Soit X un complexe simplicial et n ≥ 0. L’espace des n-cochaînes (simpliciales)
sur X, noté Cn (X; Γ) ou plus brièvement Cn (X), est le dual de C( X), i.e. Cn (X) = {L : Cn (X) → Γ}
l’ensemble des fonctions linéaires à valeur dans Γ.
La première chose à remarquer est que ces éléments sont déterminés par leur valeur sur une base
de Cn (X). Or ce dernier admet une base les fonctions (notées σ) qui valent 1 sur un simplexe σ et 0
ailleurs. Ainsi, les éléments de Cn (X) sont aussi déterminés par leur valeur sur les simplexes. Si on
écrit hL, ci := L(c), alors
L = ∑ Lσ σ
où Lσ = hL, σi.
σ∈X [n]
En particulier, si c = ∑σ∈X [n] cσ σ ∈ Cn (X), alors
hL, ci =
∑
Lσ cσ .
σ∈X [n]
Autrement dit, on a simplement introduit un produit scalaire (en donnant un nom différent aux
éléments de gauche, les cochaînes, que ceux de droite, les chaînes). Ce produit scalaire permet
73
5.1 - Cohomologie
l’identification de Cn avec son dual Cn . Par construction, ce produit est non-dégénéré, c’àd.
∀L, hL, ci = 0 ⇒ c = 0
et
∀c, hL, ci = 0 ⇒ L = 0.
L’intérêt de cette distinction est de définir un opérateur qui n’est pas un opérateur de bord (mais qui
partagera ses propriétés).
Définition 5.1.2: Le cobord d’une cochaîne L ∈ Cn (X), noté δn L, est un élément de Cn+1 (X) défini
par hδn L, ci = hL, ∂n+1 ci.
F
Autrement dit, c’est l’adjoint de l’opérateur de bord. Il est possible d’écrire une formule explicite
pour cet opérateur (exercice !). Si X est de dimension m alors δm ≡ 0.
Lemme 5.1.3: Pour tout n ≥ 0, Im δn ⊂ Ker δn+1 , ou δn+1 δn ≡ 0.
Démonstration. Il suffit de voir que, ∀c ∈ C( X),
hδn+1 δn L, ci = hδn L, ∂n+2 ci = hL, ∂n+1 ∂n+2 ci.
Mais ∂n+1 ∂n+2 ≡ 0 et h·, ·i est non-dégénéré, ce qui donne la conclusion.
Ainsi, presque comme pour les chaînes, on a une suite
δn−1
δn
δn+1
δn+2
. . . −−→ Cn (X) −
→ Cn+1 (X) −−→ Cn+1 (X) −−→ . . .
qui n’est pas exacte. Son défaut d’exactitude est la cohomologie.
Définition 5.1.4: La cohomologie (simpliciale) de X est (pour n > 0)
H n (X) := Ker δn /Im δn−1
et H 0 (X) = Ker δ0 . Un élément de Z n (X) := Ker δn est appelé un n-cocycle et un élément de
Bn (X) := Im δn−1 est appelé un n-cobord.
F
La cohomologie satisfait essentiellement les même propriétés que celles de l’homologie (avec
essentiellement les même démonstrations). Par contre, la plupart des choses vont “dans le sens
inverse”. Par exemple, l’opérateur de cobord augment la dimension (de Cn → Cn+1 ) tandis que le
bord la diminue. Une autre différence qu’il nous faudra souligner est celle des applications induite.
Si f : X → Y est simpliciale, alors l’application induite f n : Cn (Y ) → Cn (X) est définie par
h f n L, ci = hL, fn ci.
Un avantage de la cohomologie qui n’apparaîtra pas dans ce texte est qu’elle est plus facile à
définir sur des espaces étranges ou des applications qui ne sont pas simpliciales. En bref, elle se
comporte souvent mieux que l’homologie.
Un exercice important est de vérifier que H n est l’ensemble des applications linéaires de Hn
dans Γ.
74
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
5.1.ii
Polygonisation duale et dualité de Poincaré
ss-triangdual
Le mot dual est en mathématiques bien employé car il a souvent deux sens. Le dual d’un espace
vectoriel (ou d’un module) est l’ensemble des applications linéaires de cet espace vers le corps
(ou l’anneau). La polygonisation duale qui sera décrite ici est duale en ce sens qu’il y aura un
élément de dimension i pour chaque élément de dimension m − i de la triangulation initiale. Cette
polygonisation sera obtenue en fusionnant division barycentrique.
Une polygonisation est comme une triangulation sauf qu’au lieu d’avoir à chaque étape un
simplexe de dimension i, on aura un “polytope” de dimension i. C’est une sorte d’étape intermédiaire
entre le complexe simplicial et le complexe cellulaire.
Définition 5.1.5: Étant donné X une structure simpliciale sur une variété (lisse) M de dimension m,
la polygonisation duale à X est définie comme suit. Les sommets sont
Y [0] = {b(σ) | σ ∈ X [m] }
Pour chaque σ ∈ X [m−1] , il correspond un ρ ∈ Y [1] qui est donné par ρ = ∪τ⊃σ Cvx b(τ), b(σ) où
Cvx b(τ), b(σ) est le 1-simplexe de la division barycentrique qui relie b(τ) et b(σ). 1
Plus généralement, pour chaque σ ∈ X [m−i] , le ρ ∈ Y [i] correspondant est ρ = ∪τm ⊃τm−1 ⊃...⊃τm−i+1 ⊃σ Cvx b(τm ), b(τm−1
F
Dit d’une manière plus concise mais moins rigoureuse, Y [i] = { polytopes de dimension i dont
les extrémités sont b(τ) | τ ⊃ σ ∈ X [m] }.
La propriété qui nous intéresse vraiment est que l’intersection d’un élément de Y [i] avec un
élément de X [ j] est toujours transverse. En particulier, si d ∈ Ci (Y ) et c ∈ Cm−i (X), alors |d ∩ c| est
un nombre fini. Ainsi, il est possible de définir
hd, ci := |d ∩ c|.
Ce produit est aussi non-dégénéré. Autrement dit, il existe un isomorphisme entre Ci (Y ) et Cm−i (X)
qui associe à L ∈ Cm−i (X) l’unique L̂ ∈ Ci (Y ) tel que
∀c ∈ Cm−i (X), hL̂, ci = hL, ci.
m−i L = ∂ L̂.
Lemme 5.1.6: Dans les notations précédentes, δ\
i
Démonstration. ...
Théorème 5.1.7 (Dualité de Poincaré): H m−i (X) ' Hi (X)
Démonstration. Par le lemme précédent H m−i (X) ' Hi (Y ). Mais Hi (Y ) ' Hi (X), d’où la conclusion.
À l’avenir, ˆ· sera l’utilisation de la dualité de Poincaré sur ·. Il sera aussi bien utilisé pour les
chaînes que les cochaînes.
1. Ici il est important d’être dans une variété pour que cet élément soit bien difféomorphe à un segment
75
5.1 - Cohomologie
5.1.iii
Produit d’union et d’intersection
Dans cette sous-section une approche assez peu rigoureuse sera faite pour ces “produits”. L’auteur espère surtout qu’elle permettra de donner une bonne idée géométrique (qui est perdue dans les
définitions rigoureuses).
Il est possible d’utiliser à meilleur escient le fait que X et sa polygonisation duale Y sont transverses. En effet, puisque Hi (Y ) ' Hi (X), il est même possible de définir un produit sur les groupes
d’homologie.
Lemme 5.1.8: Soit X un complexe simplicial sur M de dimension m, Y la polygonisation duale de X
et B la division barycentrique. Alors si c ∈ Cm−i (X), c0 ∈ Cm−i+1 (X), d ∈ Cm− j (Y ), d 0 ∈ Cm− j+1 (Y ),
alors ∂c0 ∩ d = 0 = c ∩ ∂d 0 et c ∩ d ∈ H2m−i− j (B).
Démonstration. La seule chose qui mérite une attention particulière est que ∂c0 ∩ d = 0 ne veut
pas dire que l’intersection est vide, simplement que les coefficients donne 0 (lorsque comptés avec
signe). L’argument est très similaire à tous ceux qui sont apparus précédemment dans le cours (pour
le degré ou le nombre d’intersection).
Le contenu du lemme précédent est que ce produit est défini en homologie.
Définition 5.1.9: Soit X un complexe simplicial sur M de dimension m, Y la polygonisation duale
de X et B la division barycentrique. Le produit d’intersection, ou produit cap 2 , _: Hm− j (X) ×
Hm−i (Y ) → Hm− j−i (B) (où 0 ≤ i + j ≤ m) est défini par c _ c0 = c ∩ c0 . Si i + j ≥ m, le résultat est
0 par convention.
Comme les trois homologies qui rentre dans la définition ci-dessus sont les mêmes, il est possible
de parler de ce produit sur H∗ (X) (où ∗ remplace les différents entiers).
De nouveau, il s’adonne que ce produit ne soit pas très commode à écrire ou manipuler. De
manière inattendue, ce n’est pas le cas pour son cousin en cohomologie.
Définition 5.1.10: Soit L ∈ H i (X) et L0 ∈ H j (X), le produit d’union ou produit cup est défini par
L ^ L0 = L̂\
_ L̂0 ∈ H i+ j (X).
Selon la théorie choisie (simpliciale, singulière, ...) le produit d’union peut s’écrire par un équation assez simple (ce qui n’est pas le cas du produit d’intersection).
(L ^ L0 )(σ) = L(σ|0,1,...p ) · L0 (σ|p,p+1,...,p+q )
où σ ∈ X [p+q] et σ|S (où S ⊂ {0, 1, . . . , p + q} et |S| = k) est le sous-simplexe de σ qui correspondent
à l’enveloppe convexe des pi avec i ∈ S dans le simplexe standard τ p+q .
Quelques exemples de propriétés sont, pour L ∈ H i (X) et L0 ∈ H j (X),
U1- L ^ L0 = (−1)i j (L0 ^ L) ;
U2- δ(L ^ L0 ) = δL ^ L0 + (−1)i (L ^ δL0 );
U3- f i+ j (L ^ L0 ) = ( f i L) ^ ( f j L0 );
2. Cette définition est très peu standard et ne marche pas en-dehors des variétés, voir un peu plus loin dans cette
sous-section.
76
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
U4- (L1 + L2 ) ^ L0 = L1 ^ L0 + L2 ^ L0 et L ^ (L10 + L20 ) = L ^ L10 + L ^ L20 .
De la seconde propriété, on voit que le produit de deux cocycles est un cocycle, et que le produit
d’un cocycle et d’un cobord est un cobord. Ce qui permet de faire passer directement l’opération au
quotient (la cohomologie).
Le produit d’union peut aussi être défini en regardant la composition
∆∗
Ci (X) ×C j (X) → Ci+ j (X × X) → C• (X)
où ∆ : X → X × X est l’application diagonale. Cette composition passe au quotient
Dans la littérature, le produit d’intersection est normalement défini sur Hi (X) × H j (X). Il faut
alors regarder la composition
∆ ⊗Id
Id⊗ε
∗
Ci (X) ⊗C j (X) −→
⊕kCi−k (X) ⊗Ck (X) ⊗C j (X) −→ Ci− j (X)
où ∆ : X → X × X est l’application diagonale et ε : Cp (X) ⊗Cq (X) → Z est l’évaluation (qui donne
toujours 0 si p 6= q). Cette composition passe au quotient (l’homologie) pour définir _: Hi (X) ×
H j (X) → Hi− j (X).
5.1.iv
La classe d’Euler
Avant 3 d’attaquer les autres classes caractéristiques, il en est une dont toute la description a
essentiellement déjà été faite : la classe d’Euler. De nouveau, la présentation donnée ici est géométrique plutôt que générale (la classe d’Euler peut-être définie sur des variétés sans bord ou même
des complexes simpliciaux).
La classe d’Euler d’un fibré ξ (orientable, de rang n) sur une variété M (lisse, compacte, sans
bord, de dimension m) est son obstruction à la présence d’une section partout non-nulle. L’idée est
de commencer avec une section s0 : M → ξ transverse à la section nulle, puis de regarder s−1
0 (0) :
c’est une sous-variété de M de dimension m − n.
Étant donné une autre section s1 : M → ξ (elle aussi transverse), il y a une homotopie F : [0, 1] ×
M → ξ avec F(t, x) = st (x) (pour t ∈ [0, 1]) entre s0 et s1 . F −1 (0) sera aussi une sous-variété de
−1
codimension m − n (dans M × [0, 1]) et son bord est {1} × s−1
1 (0) − {0} × s0 (0) (où le signe −
thomoinvhomo-p
représente une orientation). Comme pour la proposition 2.2.1, ceci permet de réaliser une chaîne c
−1
telle que le bord est s−1
1 (0) − s0 (0).
Autrement dit, pour n’importe quelle section transverse s, s−1 (0) représente une classe d’homologie, qui sera désormais notée ê(ξ) ∈ Hm−n (M) (puisqu’elle ne dépend pas de ξ). Ceci est la
première propriété de la classe d’Euler :
Ê1- ê(ξ) ∈ Hm−n (M).
Étant donné deux fibrés ξ et ξ0 ,
ê(ξ ⊕ ξ0 ) = (s ⊕ s0 )−1 (0) = s−1 (0) ∩ s0−1 (0) = ê(ξ) _ ê(ξ0 ).
C’est la deuxième propriété :
3. Attention : cette sous-section est une improvisation de l’auteur.
77
5.1 - Cohomologie
Ê2- ê(ξ ⊕ ξ0 ) = ê(ξ) _ ê(ξ0 ).
Si ξ¯ est le fibré ξ avec l’orientation inverse, une troisième propriété est obtenue facilement (tous
les signes changent) :
¯ = −ê(ξ).
Ê3- ê(ξ)
Si f : M 0 → M est une application lisse transverse à e(ξ) et f ∗ ξ le fibré induit (de rang n sur M 0 ),
alors une section de f ∗ ξ s’écrit s ◦ f où s est une section de ξ. Ainsi,
ê( f ∗ ξ) = (s ◦ f )−1 (0) = f −1 ◦ s−1 (0) = f −1 e(ξ).
Comme c’est la codimension qui se comporte bien, il est facile de vérifier que f −1 e(ξ) ∈ Hm0 −n (M 0 ).
Ê4- Si f est transverse à ê(ξ) alors ê( f ∗ ξ) = f −1 ê(ξ).
Finalement,
Ê5- Si ξ possède une section non-nulle, ê(ξ) = 0.
Cette précédente propriété peut-être complétée par : si ξ est de rang n = m et ne possède pas une
thopfcareul-t
section non-nulle, ê(ξ) 6= 0 (par le théorème 3.4.11). Même en faisant cela, il se pourrait que ê(ξ)
puisse être défini comme étant toujours 0. Ainsi, il faut ajouter :
Ê6- ê(TS2 ) = 2 ∈ H0 (M; Z).
Les 6 propriétés ci-dessus caractérise complètement ê(ξ). La classe d’Euler n’est rien d’autre
que le dual de Poincaré de ê(ξ) ; elle est notée e(ξ).
E1- e(ξ) ∈ H n (M) ;
E2- e(ξ ⊕ ξ0 ) = e(ξ) ^ e(ξ0 ) ;
¯ = −e(ξ) ;
E3- e(ξ)
E4- e( f ∗ ξ) = f n e(ξ) ;
E5- Si ξ possède une section non-nulle, e(ξ) = 0. Si ξ est de rang n = m et ne possède pas une
section non-nulle, e(ξ) 6= 0 ;
E6- e(TS2 ) = 2 ∈ H 2 (M; Z).
De nouveau, ces 6 propriétés caractérisent e. En enlevant E6, cela ne serait vrai qu’à une constante
multiplicative près. L’avantage de cette classe en cohomologie est qu’elle peut aussi être définie sur
des espaces qui ne sont pas des variétés sans bord (e.g. variétés à bord et complexes simpliciaux) et
que l’opération f n est toujours bien définie (sans que f ne doivent être transverse).
Lorsque ξ n’est pas orientable, tout ce qui est écrit ci-haut a encore du sens modulo 2. Ainsi
un élément, noté ŵn (ξ) ∈ Hm−n (M, Z2 ) et son dual wn (ξ) ∈ H n (M, Z2 ) est obtenu. L’élément en
cohomologie wn (ξ) s’appelle la nème classe de Stiefel-Whitney de ξ.
5.1.v
Exemples et exercices
Cohomologie comme anneau de polynôme quotienté par idéal.
E XERCICE 65: Donner une formule explicite pour δn .
E XERCICE 66: Vérifier que H n est l’ensemble des applications linéaires de Hn dans Γ.
78
tfibsurmdim1-l
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
5.2
Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
L’objectif de cette section est d’expliquer géométriquement la naissance des classes caractéristiques. Étant donné un fibré ξ de rang n sur M de dimension m, Les classes caractéristiques sont
(traditionnellement) en quatre groupes :
– Si ξ est orientable, la classe d’Euler (introduite à la section précédente), e ∈ H n (M).
– Les classes de Stiefel-Whitney : wi (ξ) ∈ H i (M) pour i ∈ {1, . . . , m}.
– Si le fibré est un fibré complexe (i.e. défini sur C au lieu de R), les classes de Chern : ci (ξ) ∈
H 2i (M) pour i ∈ {1, . . . , bm/2c}.
– Les classes de Pontryagin : pi (ξ) ∈ H 4i (M) pour i ∈ {1, . . . , bm/4c}.
Toutes ces classes sont des obstructions à la trivialité d’un fibré (i.e. le fibré est non-trivial si une de
ces classes sont non-nulles). La manière la plus naturelle et géométrique de les introduire (comme
classes de cohomologie) est de commencer par les classes d’obstructions.
5.2.i
Les classes d’obstructions
Comme 4 leur nom l’indique, elles sont des obstructions à la trivialité du fibré. Ce n’est pas une
famille en tant que telle car pour définir la nème classe d’obstruction, il faut que la (n − 1)ème classe
d’obstruction soit triviale. L’idée est de commencer par un petit lemme :
Lemme 5.2.1: Soit M une variété de dimension 1, alors ξ (de rang n) est trivial sur M si et seulement
si il est orientable.
Démonstration. Si M est contractile, ξ est automatiquement trivial. Le seul cas est celui du cercle.
Soit p0 ∈ S1 , U ∈ Vois S1 p0 et M 0 = S1 rU. Alors il existe une section non-nulle sur M 0 . Sans perdre
de généralité cette section est de norme 1 partout. Si n > 1, il est possible de recoller les valeur de
la section aux bord de U sur U en employant une rotation. De manière pédante (mais utile pour les
considérations futures), c’est possible car Sn−1 n’a qu’une composante connexe si n > 1. Ainsi, il
suffit de montrer que le fibré orthogonal à cette section, de rang n − 1, est trivial.
Par induction, il est possible de construire n − 1 sections orthonormées à ξ. Ces sections étant
construites, la dernière section peut-être faite exactement lorsque ξ est orientable : c’est ce que
signifie le fait que les deux vecteurs au bord de U sont dans la même composante connexe de
π0 (S0 ).
(É TAPE 1) Ainsi, l’idée la plus simple est de vérifier que le fibré est orientable. C’est le cas précisément lorsque, pour toute courbe γ dans M, ξ|γ est toujours orientable. Soit O1 : π1 (M) → Z2 définie
par O1 (γ) = 0 si ξ|γ est orientable et 1 sinon. Alors O1 est un homomorphisme de groupe. En effet, si
ξ change d’orientation le long de γ et σ alors il ne change pas d’orientation le long de γ ∗ σ.
Comme c’est un homomorphisme de groupe vers un groupe abélien, il est défini sur l’abélianisé
de π1 (M) qui n’est rien d’autre que H1 (M; Z). De plus, comme le groupe cible est d’ordre 2, il est
thurewicz-t
en réalité défini sur H1 (M; Z2 ) (par le théorème d’Hurewicz 2.3.1). Ainsi O1 : H1 (M; Z2 ) → Z2 . Par
définition, O1 est une 1-cochaîne.
4. Références : Hatcher au Chap.3, Milnor & Stasheff §12.
79
5.2 - Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
Une dernière vérification est que si γ est contractile, ξ|γ est forcément orientable. Ainsi ∀c ∈
C2 (M), hO1 , ∂ci = 0, ce qui implique que δ1 O1 = 0, c’àd. que O1 est un cocycle. Au bout du compte :
O1
∈ H 1 (M; Z2 )
et
O1
= 0 ⇔ ξ est orientable.
Cet élément O1 est appelé première classe d’obstruction. Par convention, O0 = 0 ∈ H 0 (M; Z). Ce sont
les deux seules classes d’obstructions qui sont toujours définies. Dans quelques instants, on définira
la première classe de Stiefel-Whitney ; il se trouve que cette première classe est w1 (ξ) = O1 (ξ).
(É TAPE 2) Comme tout élément de π1 (M) peut être déformé pour que son image soit dans le
1-squelette de X [1] , O1 = 0 équivaut à demander que ξ|X [1] soit trivial. Étant donné n sections orthonormales sur X [1] , la prochaine étape naturelle est de tenter de les étendre au 2-squelette X [2] .
Soit σ ∈ X [2] , alors σ ' D2 et il y a n sections orthonormales sur ∂D2 ' S1 . Ces n sections peuvent
être vues comme une section à valeur dans On := On (R), et puisque que On a deux composantes
connexes (et que S1 est connexe), on peut supposer qu’elles sont dans celle de l’identité : SOn .
L’extension de cette section de S1 sur le disque D2 est possible exactement lorsque la boucle
dans SOn représentée par la section au bord est triviale. Il s’adonne que π1 (SO1 ) = {0}, π1 (SO2 ) =
Z et, si n > 2, π1 (SOn ) = Z2 . Puisque SO2 ' S1 , son π1 se décrit bien. Pour n > 2, il suffit de
mentionner que l’injection SO2 ,→ SOn induit une surjection π1 (SO2 ) π1 (SOn ). Autrement dit,
l’élément non-trivial consiste à fixer un plan et regarder la courbe décrite par la rotation de 360˚ de
ce plan (en gardant le reste fixé).
Posons Γ = π1 (SOn ). Ainsi, on a une application O2 : X [2] → Γ, autrement dit une 2-cochaîne.
De nouveau, cette cochaîne est, de plus, un cocycle et représente une classe de cohomologie dans
H 2 (M; Γ). C’est la 2ème classe d’obstruction. Elle est triviale précisément si ξ|X [2] est trivial.
Lorsque n = 2, il est possible de démontrer qu’elle coïncide avec la classe d’Euler e. Ce n’est
pas évident, sauf si m = 2 où l’équivalence de l’annulation de ces classes avec la trivialité du fibré
force l’équivalence des classes (à constante multiplicative près). Si n ≥ 2, O2 sera la seconde classe
de Stiefel-Whitney w2 (ξ) (si n = 2 il faut regarder la réduction modulo 2).
(É TAPE 3) Lorsque O1 = 0 et O2 = 0, ξ est trivial sur X [2] . De nouveau, on peut tenter d’étendre au
3-squelette ce qui donne O3 : X [3] → Γ où Γ = π2 (SOn ). Par chance, π2 (SOn ) = 0 pour tout n > 0.
Ainsi, l’extension au 3-squelette est automatique !
(É TAPE 4) Toujours si Oi = 0 (pour i < 3), ξ est trivial sur X [3] . La possibilité d’une extension au
4-squelette est caractérisée par O4 : X [4] → Γ où Γ = π3 (SOn ). Cette fois-ci


{0}
si n ≤ 2



 Z
si n = 3
Γ = π3 (SOn ) =

Z ⊕ Z si n = 4



 Z
si n ≥ 5
La surprise est un moins bonne, mais O4 représente toujours une classe de cohomologie de H 4 (M; Γ).
Lorsque Γ = Z, cette classe est la 1ère classe de Pontryagin, p1 (ξ). Lorsque n = 4, cette classe peut
être vue comme la conjonction de deux classe : l’une est la classe d’Euler e(ξ) et l’autre p1 (ξ)
(É TAPE k, OÙ k > 4) On pourrait se croire en bonne voie, mais un facteur qui a été fortement
obscurci dans cette présentation rend les choses difficiles : le calcul de πk−1 (SOn ). Dans le régime
80
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
“stable” (n > k), un théorème (la périodicité de Bott) rend le calcul faisable. Ce groupe est nontrivial dans deux cas. Lorsque k = 4i, où la classe d’obstruction O4i (en supposant qu’elle puisse être
définie ! c’àd. que les classes d’obstructions précédentes sont toutes nulles) coïncident avec la ième
classe de Pontryagin, pi (ξ). Puis lorsque k = 8i + 1 ou 8i + 2, où la classe d’obstruction n’est pas
donnée par les classes caractéristiques (sauf si i = 0).
Dans le régime “instable” (k ≥ n), les classes de Pontryagin pi détectent la partie sans torsion de
O4i . Indépendamment de ceci, le calcul des classes d’obstructions est compliqué, et ne satisfait pas
de règles agréables.
Il faudra passer par un autre chemin, ce qui est le contenu de la sous-section suivante.
5.2.ii
Définition géométrique ; version cohomologique
D’une certaine façon 5 , c’est notre ambition qui nous a trahi. Il est plus raisonnable de demander
s’il existe k section linéairement indépendantes plutôt que d’en chercher tout de suite n.
(La classe d’Euler revisitée) Par exemple, reprenons notre argument en cherchant une seule
section non-nulle. Si une telle section existe sur X [k−1] , alors l’obstruction à l’extension à X [k] sera
représentée par E : X [k] → πk−1 (Sn−1 ). Heureusement, πk−1 (Sn−1 ) = 0 si k < n. Ainsi, la première
obstruction apparaît lorsque k = n, et alors πn−1 (Sn−1 ) = Z. Cependant, il y a un petit problème :
l’identification avec Z n’est pas canonique. Plus précisément 6 , si le fibré n’est pas orientable, il y
aura deux identifications qui pourraient différer par l’automorphisme de Z, x 7→ −x.
Si le fibré est orientable cependant, E = e(ξ). Sinon, la réduction modulo 2 est toujours bien
définie, et elle donne E (mod 2) = wn (ξ), la nème classe de Stiefel-Whitney.
(Les classes de Stiefel-Whitney) Maintenant, si on désire trouver k sections orthogonales, la
sphère Sn−1 sera remplacée par la variété de Stiefel, notée Vk (Rn ), des k-uplets de vecteurs orthogonaux dans Rn . Il se trouve que le premier groupe d’homotopie non-trivial de ces variétés est πn−k .
Autrement dit, il n’y a pas d’obstructions à trouver k sections orthogonales sur le (n − k)-squelette :
tfibsurmdim1-l
il y a n sur le 0-squelette (c’est évident !), n − 1 sur le 1-squelette (voir lemme 5.2.1), n − 2 sur le
2-squelette, etc...
Ainsi, on obtient une obstruction W ∈ H n−k+1 (M; Γ) où Γ = πn−kVk (Rn ). Il est possible de
montrer que Γ = Z ou Z2 . Mais lorsque Γ = Z il n’y a pas une identification raisonnable. Pour
éviter ce problème technique, on prend toujours la réduction modulo 2. Alors W = wn−k+1 (ξ) ∈
H n−k+1 (M; Z2 ) est la (n − k + 1)ème classe de Stiefel-Whitney.
De plus, on a montré : si ξ a k sections linéairement indépendantes, alors wn−i+1 (ξ) = 0 pour
1 ≤ i ≤ k.
5. Références : Hatcher Chap.3§1.
6. La formulation rigoureuse est qu’on regarde une sorte de fibré dont les fibres sont πn−1 (Sn−1 ). On en tire un autre
fibré dont les fibres sont les identifications πn−1 (Sn−1 ) ' Z. Cependant, ce second fibré ne possède pas nécessairement
une section continue (ceci se passe exactement lorsque le fibré n’est pas orientable). voici comment se traduit une telle
absence de section continue. On tente une de trouver une section s : pin−1 (Sn−1 ) → zz dont le lieu de discontinuité est
le plus petit possible. Dans un petit voisinage contractile d’un point où il n’y a pas continuité, il y a une identification
possible t : pin−1 (Sn−1 ) → Z. Mais s et t ne sont pas nécessairement d’accord. Même si s−1 ◦ t est un isomorphisme de
Z dans lui-même, en certains point il sera donné par a 7→ a tandis qu’en d’autre point par a 7→ −a.
81
5.2 - Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
(Les classes de Chern) Pour les classes de Chern, l’histoire est presque la même. Cette foisci, on regardera Vk (Cn ) l’espace des k vecteurs (à coefficients complexe) orthonormés. Cependant,
dans un espace vectoriel complexe si on a 2k − 1 section (réelles), en utilisant un processus de
√
Gramm-Schmidt et la multiplication par −1, il est possible de compléter en 2k sections (réelles)
linéairement indépendantes. De plus, le premier groupe d’homotopie non-nulle est π2n−2k+1Vk (Cn )
qui est isomorphe (de manière canonique !) à Z. D’où l’existence de cn−k+1 (ξ) ∈ H 2n−2k+2 (M; Z),
la (n + k − 1)ème classe de Chern. Tout comme pour w, si ξ a k sections (complexes !) linéairement
indépendantes, alors cn−i+1 (ξ) = 0 pour 1 ≤ i ≤ k.
Il vaut la peine de passer quelques temps à discuter de c1 , la première classe de Chern, ne
serait-ce pour clarifier pourquoi l’isomorphisme avec Z est canonique.
Vn (Cn ) est l’ensemble des 2n sections orthogonales (au sens réel), i.e. Vn (Cn ) ' Un (l’ensemble
des matrices unitaires, i.e. telles que U TŪ = Id où Ū est la conjugaison complexe de U). Il y a
√
automatiquement 2n sections réelles sur X [1] car la multiplication par ı = −1 permet de donner
une orientation canonique à chaque fibre : étant donnés des vecteurs v1 , . . . , vn tels que v̄i · v j = 0
lorsque i 6= j, alors v1 , ıv1 , v2 , ıv2 , . . . , vn , ıvn est une orientation de R2n ' Cn et inverser deux indices
est une permutation paire (car deux vecteur vi et ıvi ) sont permutés.
Ainsi, on a une section de Un sur X [1] (équivalentes aux 2n sections linéairement indépendantes)
et pour vérifier si elle s’étend à X [2] , on associe à chaque σ ∈ X [2] un élément de π1 (Un ) (cet élément
est la section sur ∂σ vue comme une application de ∂σ ' S1 → Un ). Pour voir “dans les yeux”
l’identification π1 (Un ), il faut simplement réaliser que Det (Un ) = S1 ⊂ C. Avec un peu de soin, il
est facile de montrer que les préimages du déterminant (i.e. Det −1 (a)) sont simplement connexes.
Autrement dit, π1 (Un ) = π1 (S1 ) est l’isomorphisme est donné par le déterminant, une application qui est toujours définie canoniquement sur toutes les fibres. Finalement, si s : ∂σ → Un est la
section (connue sur X [1] ) restreinte à ∂σ, alors φ := Det ◦ s : ∂σ → S1 s’étend à σ ' D2 exactement
thopf-t
tprehopf-t
lorsque deg φ = 0 (voir le théorème de Hopf 1.4.15 ou plutôt le théorème 1.4.14).
(Les classes de Pontryagin) La façon la plus simple d’introduire les classes de Pontryagin est
d’utiliser les classes de Chern. Étant donné un fibré ξ de rang n, il est possible de construire le fibré
complexifié ξC = ξ ⊗ C. Plus explicitement, ξC est isomorphe (en tant que fibré réel) à ξ ⊕ ξ muni
√
de la multiplication par ı = −1 suivante ı(x, y) = (−y, x).
La ième classe de Pontryagin pi (ξ) ∈ H 4i est définie par (−1)i c2i (ξC ) ∈ H 4 i(M; Z). (Le signe
(−1)i est introduit pour éviter des signes dans les formules reliant pi aux autres classes caractéristiques). Seules les classes de Chern paires de ξC sont considérées car les classes impaires peuvent
s’exprimer en terme des classes de Stiefel-Whitney (et n’apporte rien de neuf) 7 .
7. Plus précisément, c2i+1 (ξC ) = β w2i (ξ) ^ w2i+1 (ξ) où β provient de l’homomorphisme de Bockstein pour la
suite exacte 0 → Z → Z → Z2 → 0. Lorsque ξ est orientable de rang 2k + 1, cet homomorphisme permet aussi de relier
la classe d’Euler et la 2kème classe de Stiefel-Whitney : e(ξ) = βw2k (ξ).
L’homomorphisme de Bockstein pour la suite exacte 0 → Z2 → Z4 → Z2 → 0 donne aussi les relations suivantes :
βw2i+1 (ξ) = w1 (ξ) ^ w2i+1 (ξ) et βw2i (ξ) = w2i+1 (ξ) + w1 (ξ) ^ w2i (ξ).
82
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
5.2.iii
Définition géométrique ; version homologique
Pour la petite note, Whitney (en 1935, la même année que Stiefel) introduit les classes de StiefelWhitney essentiellement comme dans la précédente sous-section. Au même moment, il introduit la
classe duale en homologie (essentiellement par dualité de Poincaré).
La version cohomologique a un avantage indéniable : elle fonctionne sur n’importe quel complexe simplicial. Cependant, étant donné ce qui a été fait précédemment dans le cours, la version
homologique est plus simple à comprendre dans un premier temps, même si certaines définitions à
venir ne sont pas rigoureuses 8 .
(Les classes de Stiefel-Whitney) Comme mentionné à la précédente section, il est possible de
définir ŵn (ξ) = s−1 (0) ∈ Hm−n (M; Z2 ). Cette classe possède des propriétés pour les même raisons
que le dual de la classe d’Euler, ê, les a :
Ŵmax 1- ŵn (ξ) ∈ Hm−n (M; Z2 ) ;
Ŵmax 2- ŵn+n0 (ξ ⊕ ξ0 ) = ŵn (ξ) _ ŵn0 (ξ0 ).
Ŵmax 3- Si f est transverse à ŵn (ξ), ŵn ( f ∗ ξ) = f −1 ŵn (ξ).
Cependant, il est a priori peu clair de définir les autres classes de Stiefel-Whitney. Heureusement
pour nous, il y a une seconde classe facile, la première w1 . Pour ce faire il faut se rappeler que les
fibrés Λk ξ ont un sens, et que Λn ξ est de rang 1. De plus, ξ est orientable exactement lorsque Λn ξ
possède une section partout non-nulle. Ainsi, il est raisonnable de définir w1 (ξ) = w1 (Λn ξ) = s−1 (0)
où s : M → Λn ξ est une section transverse.
Il apparaît alors que
Ŵ1 1- ŵ1 (ξ) = ŵ1 (Det ξ) ∈ Hm−1 (M; Z2 )
Ŵ1 2- ŵ1 (ξ ⊕ ξ0 ) = ŵ1 (ξ) + ŵ1 (ξ0 ).
Ŵ1 3- Si f est transverse à ŵ1 (ξ), ŵ1 ( f ∗ ξ) = f −1 ŵ1 (ξ).
Ŵ1 4- ŵ1 (γ1n ) = a 6= 0 ∈ Hm−1 (RPn ; Z2 ).
La première et la troisième sont obtenues par les même arguments que pour ê ou ŵn .
0
Pour la deuxième, il faut commencer par prendre deux sections, s de Λn ξ et s0 de Λn ξ. Alors
0
s ∧ s0 sera une section de Λn+n (ξ ⊕ ξ0 ). Elle s’annule lorsque s ou s0 s’annule, d’où la somme.
Pour la quatrième, rappelons que RPn est un disque Dn dont le bord est recollé à une sphère
Sn−1 quotientée par l’application antipodale (i.e. à RPn−1 ). Le disque est évidemment orientable
(i.e. possède une section de Λn γ1n ), car contractile. Mais sur le bord cette section doit s’annuler. Or
le bord est un RPn−1 ⊂ RPn qui représente la classe d’homologie non-triviale de Hn−1 (RPn , Z2 ).
Une propriété simple (qui est cohérente avec la version cohomologique) est que ŵ1 (ξ) = 0
lorsque ξ est orientable. La réciproque est aussi vraie (comme dans la version cohomologique) mais
ça demande un peu de réflexion.
Reste à trouver les classes intermédiaires. L’argument est similaire, une fois observé que Λ1 ξ '
ξ, mais bien plus difficile à mettre en place. Pour wn−1 , il serait tentant de regarder Λ2 ξ. Il y a un
problème cependant : dim Λ2 Rn = n(n−1)
2 . Ainsi, une section transverse intersecterait 0 dans un lieu
8. Attention : cette sous-section est une improvisation de l’auteur !
83
5.2 - Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
de codimension n(n−1)
(au lieu du n − 1 attendu). Mais étant donné deux sections s et s0 de ξ, s ∧ s0
2
n’intersecte jamais 0 transversement...
Une première tentative pour résoudre ce problème serait de fixer une section s et de regarder
7→ s0 ∧ s. En effet, si v ∈ Rn est non-nul, l’application ωv : v0 7→ v0 ∧ v prend valeur dans un espace
de dimension n − 1 et vaut 0 exactement lorsque v0 = λv pour un λ ∈ R. En fait, le représentant
naturel du quotient de Rn par le noyau de ωv est v⊥ . Si s ne s’annule jamais, poser ŵn−1 (ξ) = s̃−1 (0)
où s̃ est une section à valeur dans le fibré s⊥ de rang n − 1 est parfaitement correct.
s0
Malheureusement, une section générique s aura tendance à devoir s’annuler et ainsi le fibré s⊥
n’est pas défini. Pire, trouver un sous-fibré D de rang 1 de sorte que ξ = D ⊕ ξ0 est impossible en
général : l’exemple le plus simple 9 est un fibré de rang 3 sur S4 tel que ξ 6= D ⊕ P pour n’importe
quel fibré D de rang 1 et P de rang 2. Finalement, étant donné deux sections, il n’est pas non
plus possible de demander qu’elles ne s’annulent pas en même temps : ceci reviendrait à dire que
wn (ξ) _ wn (ξ) = 0.
Cette première idée peut probablement se résoudre en regardant les sections qui sont “presquenulles” : on définirait φ : E(ξ) → E(Λ2 ξ) par (x, v) 7→ (v · ∧s(x)) pour une section s fixée, puis
Z := φ−1 (M × ∂Bε ) où Bε est la boule de rayon ε dans les fibres. Alors s n’est jamais nulle sur
π(Z) (où π : E(ξ) → M est la projection), et si v1 , v2 ∈ ∂Bε , les deux (variétés) φ−1 (M × {vi }) sont
homologues : leur différence est le bord de φ−1 (M × γ) où γ est un chemin de v à v0 dans ∂Bε ' Sn−1
(qui est connexe par arc comme n > 1).
Une deuxième idée serait de regarder les paires de sections puis de regarder l’intersection avec
Z le lieu des sections colinéaires. Soit ξ2 = ξ ⊕ ξ, alors
Zx = {(v1 , v2 ) ∈ ξx ⊕ ξx | ∃u ∈ ξx avec kuk = 1 et ∃λ1 , λ2 ∈ R tels que vi = λi u}
Cela semble encourageant car Zx est de dimension n + 1 dans un espace de dimension n2 , ainsi de
codimension n − 1. Cependant, Zx n’est pas une variété lisse (le point où λ1 = λ2 = 0 est singulier).
Cette deuxième idée peut probablement se résoudre en imitant la situation où la variété singulière
{(x, y) | xy = 0} est transformée en {(x, y) | xy = ε} (pour ε 6= 0). On poserait alors ŵn−1 (ξ) = s−1 (Z̃)
où s est une section de ξ ⊕ ξ.
Une troisième idée (qui est essentiellement une variation sur la seconde) est d’utiliser Rn r
{0} ' γ1n−1 r (RPn−1 × {0}). Autrement dit, une manière de désingulariser Zx est de regarder les
sections à valeur dans “γ1ξ ” : chaque fibre Rn est remplacée par le fibré canonique sur RPn . Une
section de ξ se réécrit comme une section de γ1ξ (qui est localement γ1n ) et une paire de sections
comme une section de γ1ξ ⊕ γ1ξ . Le lieu des sections colinéaires s’exprime tout simplement comme
∆ ⊂ γ1ξ ⊕ γ1ξ donné localement comme les points (x1 , v1 , x2 , v2 ) ∈ γ1n × γ1n tels que x1 = x2 (i.e. les
directions sont les mêmes). ∆ est bien de codimension n − 1, et en prenant deux sections de ξ (qui
se relèvent en deux sections de γ1ξ ) qui donnent une paire transverse à ∆, on obtient dans M une
sous-variété de codimension n − 1. C’est 10 ŵn−1 (ξ).
9. voir Bott & Tu, “Differential forms in algebraic topology”, Exemple 23.16.
10. Il y a un peu de triche en ce sens que, géométriquement, les éléments de la forme (x1 , 0, x2 , 0) devraient aussi être
considérés.
84
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
Géométriquement, le plus simple reste d’ignorer ces difficultés. En plus, même si ŵn _ ŵn 6= 0,
cette classe d’homologie représente un lieu de grande codimension (i.e. “petit”). De manière générale, ŵk est défini aussi comme (s1 ∧ s2 ∧ · · · ∧ sn−k+1 )−1 (0), en utilisant les mêmes méthodes pour
éviter les problèmes lorsque les n − k premières sections ne sont pas linéairement indépendantes 11 .
Par convention, ŵ0 (ξ) = [M] ∈ H m (M; Z2 ) la classe déterminée par tous les simplexes de dimension maximale. Si k > Rang ξ, Λk ξ = {0}, et alors wk (ξ) = 0. Aussi, il est commode d’écrire
ŵ(ξ) comme la somme ŵ0 (ξ) + ŵ1 (ξ) + . . . + ŵk (ξ) où k = min(m, n).
Les propriétés des classes de Stiefel-Whitney duales ŵ sont alors :
Ŵ1- ŵi (ξ) ∈ Hm−i (M; Z2 ) ;
Ŵ2- ŵ(ξ ⊕ ξ0 ) = ŵ(ξ) _ ŵ(ξ0 ) ;
Ŵ3- Si f est transverse à ŵi (ξ), ŵi ( f ∗ ξ) = f −1 ŵi (ξ) ;
Ŵ4- ŵ1 (γ1CPn ) = a 6= 0 ∈ Hm−1 (RPn ; Z2 ). ;
Ŵ5- ŵi (ξ) = 0 si i > Rang ξ.
La seule propriété qui n’est pas évidente dans la description précédente est Ŵ2. Cette formule se
réécrit
j
ŵ j (ξ ⊕ ξ0 ) =
∑ ŵk (ξ) _ ŵ j−k (ξ0 )
k=0
Le cas général étant un peu compliqué ; il est raisonnable de commencer avec un cas particulier. Le
cas où ξ est un fibré de rang 1 et ξ0 est de rang 1 est déjà traité (car il n’y a que la classe maximale,
ŵ2 , et ŵ1 ).
Supposons donc que ξ est un fibré de rang 2 et ξ0 est de rang 1. Le cas de ŵ1 et ŵ3 sont déjà
fait. Reste ŵ2 , qui est donné (puisque le fibré est de rang 3) par le lieu où deux sections ne sont pas
linéairement indépendantes. Deux sections seront linéairement dépendantes :
– la où les sections sections de ξ0 s’annulent et les sections de ξ ne sont pas linéairement indépendantes (i.e. ŵ1 (ξ) _ ŵ1 (ξ0 )) ;
– là où les sections de ξ s’annulent (i.e. ŵ2 (ξ)) car il ne peut y avoir deux vecteur linéairement
indépendants dans un espace vectoriel de dimension 1.
D’où ŵ2 (ξ ⊕ ξ0 ) = ŵ1 (ξ) _ ŵ1 (ξ0 ) + ŵ2 (ξ).
Pour le cas général : ŵ j (ξ ⊕ ξ0 ) est le lieu où n + n0 − j + 1 sections ont une dépendance linéaire.
....
(Les classes de Chern) Elles sont l’analogue complexe des classes de Stiefel-Whitney. Si M
est orientable (une hypothèse qui n’est pas nécessaire dans l’approche cohomologique), le groupe
Z2 pourra être remplacé par Z en tout temps car les espaces vectoriels complexes sont toujours
orientables en tant qu’espaces vectoriels réels. Les intersections pourront être faites de manière
“orientées” ce qui donnera de l’homologie entière.
Les propriétés des classes de Chern duales ĉ sont alors :
11. Pour être plus précis, on sépare ξ ⊕ . . . ⊕ ξ = ξk−1 ⊕ ξ puis on relève une section de ξk−1 (i.e. (k − 1) sections de
ξ) au fibré canonique de la variété de Stiefel Vk−1 (ξ) et la section de ξ à γ1ξ . Ensuite, ∆ est remplacé par l’ensemble des
(g, v, x, w) ∈ γk−1
× γ1ξ tels que x ∈ g. Cet ensemble est bien de codimension n − k + 1.
ξ
85
5.2 - Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
Ĉ1- ĉi (ξ) ∈ Hm−2i (M; Z) ;
Ĉ2- ĉ(ξ ⊕ ξ0 ) = ĉ(ξ) _ ĉ(ξ0 ) ;
Ĉ3- Si f est transverse à ĉi (ξ), ĉi ( f ∗ ξ) = f −1 ĉi (ξ) ;
Ĉ4- ĉ1 (γ1n ) = a le générateur de Hm−2 (CPn ; Z) ;
Ĉ5- ĉi (ξ) = 0 si i > Rang C ξ.
Avant de passer à la suite, il est bon de noter ce joli théorème qui répond à une question de
Stiefel :
Théorème 5.2.2 (Whitney 1940 12 , Halperin & Toledo 1971): Si M est une variété (connexe) lisse 13
alors ŵ(TM) est la classe représentée par tous les simplexes d’une division barycentrique d’une
triangulation de M.
Ce théorèmes se vérifie bien à la main pour des variétés simples. Mentionnons seulement que,
[i]
si B est la division barycentrique de X (et M est compacte sans bord), |B[0] | = ∑m
i=0 |X |. D’autre
part, ŵn (TM) ∈ H0 (M; Z2 ) est la réduction modulo 2 de ê(TM) = χ(X) ∈ H0 (M; Z) ' Z. Mais
m
m
χ(X) = ∑ (−1)i |X [i] | ≡ ∑ |X [i] | (mod 2).
i=0
i=0
Ceci montre l’importance de regarder la division barycentrique. Pour ŵn−1 , il est aussi possible
tchampavecindcar-l
de recycler un argument, celui du lemme 3.4.7. En effet, dans ce lemme un champ de vecteur
est construit. Un second peut alors être fait pour la polygonisation duale. Ces deux champs de
vecteurs seront nuls ou colinéaires exactement sur les 1-simplexes de la division barycentrique,
d’où ŵn−1 = ∑σ∈B[1] σ ∈ H1 (M; Z2 ).
5.2.iv
Définition axiomatique
Par 14 dualité de Poincaré, voici les propriétés des classes de Stiefel-Whitney.
W1- wi (ξ) ∈ H i (M; Z2 ) ;
W2- w(ξ ⊕ ξ0 ) = w(ξ) ^ w(ξ0 ) ;
W3- w( f ∗ ξ) = f ∗ w(ξ) ;
W4- w1 (γ1n ) = a 6= 0 ∈ H 1 (RPn ; Z2 ) ;
W5- wi (ξ) = 0 si i > Rang ξ.
De la même manière, les propriétés des classes de Chern c sont :
C1- ci (ξ) ∈ H 2i (M; Z) ; 15
C2- c(ξ ⊕ ξ0 ) = c(ξ) ^ c(ξ0 ) ;
12. Démonstration jamais publiée.
13. ...ou linéaire par morceaux.
14. Références pour cette sous-section : Hatcher Chap.3, ou Milnor & Stasheff.
15. Attention : ce n’est pas parce qu’on regarde une cohomologie à coefficients entiers que ces groupes n’ont pas
d’éléments d’ordre finis !
86
ssecardetaxi-t
chermod2whit-p
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
C3- c( f ∗ ξ) = f ∗ c(ξ) ;
C4- c1 (γ1n ) = a le générateur de H 2 (CPn ; Z) ;
C5- ci (ξ) = 0 si i > Rang C ξ.
Bien que les propriétés ci-haut laissent planer une certaine quantité d’arbitraire, un théorème
(qui ne sera démontré ici) nous assure que c’est un choix “naturel” :
Théorème 5.2.3: Les propriétés ci-dessus déterminent uniquement les classes caractéristiques (de
Chern et de Stiefel-Whitney).
Voici les premières conséquences des propriétés ci-dessus.
Lemme 5.2.4: Si deux fibrés ξ et η sur M sont isomorphes, ils ont les mêmes classes caractéristiques.
Démonstration. C’est une conséquence de la naturalité W3 : w(η) = w( f ∗ ξ) = f ∗ w(ξ) = w(ξ) car
f est un difféomorphisme de M.
Exemple 5.2.5: Ce petit exemple montre qu’il est suffisant d’avoir W4 pour γ11 pour le déduire sur
les autres. En effet, il existe une inclusion j : RP1 → RPn . De plus γ11 = j∗ γ1n . Ainsi j∗ w1 (γ1n ) =
w1 ( j∗ γ1n ) = w1 (γ11 ).
Exemple 5.2.6: Le fibré trivial a toutes ses classes caractéristiques nulles (sauf w0 et c0 par convention). En effet, c’est le fibré induit par l’application M → {x0 } (avec n’importe quel fibré sur {x0 },
puisqu’il est automatiquement trivial). Comme la cohomologie d’un point est triviale, la formule
w( f ∗ ξ) = f ∗ w(ξ).
Lemme 5.2.7: w(ξ ⊕ ε) = w(ξ). En particulier, si k sections linéairement indépendantes existent
pour le fibré η, alors wi (η) = 0 pour n − k + 1 ≤ i ≤ n.
Démonstration. C’est une conséquence de la formule W2 avec le fait que w(ε) = 1. Si η possède k
sections linéairement indépendantes, alors η = ξ ⊕ εk où εk est le fibré trivial de rang k.
Proposition 5.2.8: Si ξ est un fibré complexe, w2i (ξ) ≡ ci (ξ) (mod 2) et w2i+1 = 0.
Idée de la démonstration. Pour la démonstration dans la version cohomologique, il faut utilise estclassecardetaxi-t
sentiellement le théorème 5.2.3 pour se ramener au cas de CP1 . Dans leur version homologique, il
ne s’agit que de regarder le lieu de colinéarité du même nombre de sections (pour la première égalité) et de voir que grâce à la multiplication complexe l’ajout d’une section ne pose pas de problèmes
(pour la seconde).
5.2.v
Les espaces projectifs réels
Le but de cette sous-section est de montrer que les classes caractéristiques se calculent très bien.
Afin de simplifier les notations 16 le ^ du produit d’union sera oublié et les ak dénoteront k produit
(d’unions) de a avec lui-même.
16. Références pour cette sous-section : Milnor & Stasheff §4.
87
5.2 - Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
Une des conséquences fort pratiques pour le calcul de la formule du produit W2, est que si
ξ ⊕ ξ0 = ε alors les classe de Stiefel-Whitney de ξ et ξ0 s’expriment l’une en fonction de l’autre :
soit wi := wi (ξ) et w0i = wi (ξ0 ), alors
0 = w1 + w01
0 = w2 + w1 w01 + w02
..
.
En fait, étant donné les classes wi , les w0i sont uniquement déterminées en résolvant ces équations.
La manière la plus compacte d’écrire ces formules emploie les séries :
1
= 1 − (w1 + w2 + w3 + . . .) + (w1 + w2 + w3 + . . .)2 − (w1 + w2 + . . .)3 + . . .
1 + w1 + w2 + w3 + . . .
Ces séries convergent car une puissance assez grande fini toujours par être 0 (conséquence de W5).
En regroupant les termes par degrés (ici wi a degré i et wki a degré ki), il apparaît :
1
= 1 − w1 + (w21 − w2 ) + (2w1 w2 − w3 − w31 ) + (w22 + 2w1 w3 − w4 − 3w21 w2 ) + . . .
1 + w1 + w2 + . . .
Il ne faut pas oublier que tout se passe dans Z2 , ce qui simplifie quelques peu les coefficients :
(1 + w1 + w2 + w3 + . . .)−1 = 1 + w1 + (w21 + w2 ) + (w3 + w31 ) + (w22 + w4 + w21 w2 ) + . . .
Ainsi, w01 = w1 , w02 = w21 + w2 , w03 = w3 + w31 , etc...
Exemple 5.2.9: Le fibré canonique γ1n est un sous fibré du fibré trivial de rang n + 1 sur RPn . En
effet, par définition la fibre de γ1n en un point est la droite que représente ce point dans Rn+1 . En
appliquant la formule ci-dessus, w(γ⊥ ) = 1 + a + . . . + an .
Lemme 5.2.10: TRPn ' Hom(γ1n , γ⊥ )
Démonstration. ...
Théorème 5.2.11: w(TRPn ) = (1 + a)n+1 .
Démonstration. Hom(γ1n , γ1n ) ' ε1 car il y a une section jamais nulle (l’identité !) et c’est un fibré de
rang 1. Rappelons que γ⊥ ⊕ γ1n ' εn+1
TRPn ⊕ ε1 ' Hom(γ1n , γ⊥ ) ⊕ Hom(γ1n , γ1n ) = Hom(γ1n , γ⊥ ⊕ γ1n )
= Hom(γ1n , εn+1 )
= Hom(γ1n , ε1 ⊕ . . . ⊕ ε1 )
= Hom(γ1n , ε1 ) ⊕ . . . ⊕ Hom(γ1n , ε1 ) ' γ1n ⊕ . . . ⊕ γ1n
D’où w(TRPn ) = w(TRPn ⊕ ε1 ) = w(γ1n ⊕ . . . ⊕ γ1n ) = w(γ1n )n+1 .
Corollaire 5.2.12: Si n 6= 1, 3, 7, 15, 31 . . ., alors le fibré tangent de RPn n’est pas stablement trivial.
Démonstration. Si TRPn est stablement trivial, alors sa classe de Stiefel-Whitney totale est 1. En
utilisant le résultat précédent, on a
n+1
n+1
n+1 n
n
n+1
w(TRP ) ≡ (1 + a)
= 1+
a+
a+...+
a (mod 2)
1
2
n
Ainsi, pour que ceci vaille 1 (mod 2), il faut que 2 divise tous les n+1
i . Un petit calcul (ou un dessin
du triangle de Pascal, voir plus bas) montre que ceci arrive précisément lorsque n + 1 = 2k .
88
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
Le tableau ci-dessous donne les coefficients dans la classe de Stiefel-Whitney des plans tangents
des espaces projectifs : la nème ligne et ième colonne donne le coefficient de wi (TRPn ). Le X signifie
que la dimension dépasse celle de n mais quelque chose est tout de même écrit pour permettre de
trouver la ligne suivante.
n\i 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
X
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
X
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
X
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
X
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
X
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
X
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
X
0
0
0
0
0
0
0
1
0
X
1
1
1
1
1
1
1
0
X
0
1
0
1
0
1
0
X
1
0
0
1
1
0
∅
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
X
0
0
0
1
0
X
1
1
1
0
X
0
1
0
X
1
0
X
0
X
Il se trouver que ce fibré est trivial exactement lorsque n = 1, 3 ou 7. Pour voir qu’il est trivial dans
ces cas-là, il faut utiliser les nombre complexes C, les quaternions (de Hamilton) et les octonions
(de Cayley).
Ces trois algèbres interviennent aussi dans une autre question amusante : étant donné une variété
M, quels éléments de H n (M; Z) peuvent être réalisés par la classe d’Euler d’un fibré (de rang n).
Pour les sphères S2m de dimension paires 17 et n = 2m, le fibré tangent réalise 2 ∈ H n (Sn ). En
regardant le fibré induit f ∗ TSn où f est de degré k ∈ Z, on obtient tout 2Z ⊂ H n (Sn ). Il se trouve
qu’on ne peut obtenir Z que si n = 2, 4 ou 8. Le fibré qui obtient ±1 est obtenu par une fibration de
Hopf 18 pour une de ces algèbres. Puis, en regardant les fibrés induits, tout Z est obtenu.
5.2.vi
Quelques derniers résultats
Finalement, voici quelques derniers théorèmes importants :
Théorème 5.2.13 (Pontryagin): Si M est le bord d’une variété W , alors w(TM) = 1.
17. Dans le cas des sphère S2m+1 de dimension impaire (et n = 2m + 1, il n’y a que la classe triviale.
18. Pour C, c’est l’application qui va de la sphère unité dans C2 vers CP1 ' S2 . La préimage de x ∈ S2 est un cercle
dans S3 . On définit un fibré en demandant que ce cercle soit les éléments de norme 1 dans l’espace vectoriel (de dimension
exo-fibhopfcareul
2), voir exercice 70)
89
lassisomfib1-t
5.2 - Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
Démonstration. ....
Les fibrés de rang 1 (ou fibrés en droites) viennent avec une structure de groupe. En effet, étant
donné deux espaces vectoriels de dimension 1, V et V 0 , leur produit tensoriel V ⊗ V 0 est aussi un
espace vectoriel de dimension 1. Ainsi, pour deux fibrés en droite ξ et ξ0 , le fibré ξ ⊗ ξ0 est un fibré
en droite.
Théorème 5.2.14: w1 est un isomorphisme du groupe des fibrés en droite (réel) vers H 1 (M, Z2 ). c1
est un isomorphisme du groupe des fibrés en droite (complexe) vers H 2 (M, Z).
tclassecardetaxi-t
Idée de la démonstration. Par des idées similaires à celles du théorème 5.2.3, ces classes caractéristiques sont déterminées par leur propriétés et leur comportement sur RP1 et CP1 , et il suffit de le
montrer sur ces variétés.
Le cas de RP1 est particulièrement facile : comme c’est une variété de dimension 1, le fibré est
tfibsurmdim1-l
trivial si et seulement si il est orientable (voir le lemme 5.2.1). Il est assez facile de vérifier à la main
que le produit tensoriel de deux fibrés en droites non orientables est orientable. 19
Pour CP1 , il en va de même. Coupons CP1 ' S2 en deux hémisphère un peu épaissis. Sur chacun le fibré en droite (complexe) peut peut-être identifié au fibré trivial. Il est alors déterminé par
l’application (un isomorphisme d’espaces vectoriels) qui relie les deux trivialisations. Mais un isomorphisme d’espace vectoriel de dimension 1 est un scalaire non-nul. Autrement dit, le fibré en
droite (complexes) D sur CP1 est caractérisé par une application φD : S1 → C r {0} à homotopie près. Il est assez facile de vérifier que le produit tensoriel donne le produit sur C r {0}, i.e.
φD⊗D0 (x) = φD (x)φD0 (x). Mais les applications S1 → C r {0} à homotopie près sont les éléments de
π1 (C r {0}) et le produit ci-avant est la loi de groupe sur le π1 .
Finalement, il se trouve que c1 est exactement ce nombre. Dans la description cohomologique
c’est assez clair. Dans la description homologique, il est bon de visualiser les plans de ξ comme des
plans horizontaux attachés à S2 en chaque point, mais au passage de l’équateur une section se fait
tournée (par le scalaire). Prenons une section qui pointe dans une direction fixée au pôle sud de S2
et étendons la de manière paresseuse. Après de traverser l’équateur, sur une tranche horizontale de
S2 (tranche qui est difféomorphe à S1 ), on retrouvera ΦD et la section ne peut pas être étendue au
pôle nord (sauf si φD est trivial) où elle doit conséquemment s’annuler. En perturbant cette section
pour qu’elle soit transverse elle devra s’annuler (en comptant les signes correctement) exactement
deg φ̂D fois (où φ̂D : S1 → S1 est φD /kφD k.
Par souci de complétude, voici quelques propriétés des classes de Pontryagin p :
P1- pi (ξ) ∈ H 4i (M; Z) ;
P2- pi (ξ ⊕ ε) = pi (ξ) ;
19. En effet, sur S1 , il est possible de visualiser tout fibré en droite comme contenu dans un tore plein (dans R3 ) : S1
est le cercle au centre (disons dans le plan xy), puis au-dessus de chaque point p, on choisit un segment (dans un plan
qui passe par l’origine, p et qui est vertical [contient l’axe z]). Le fibré est déterminé par l’angle que fait ce segment. Le
produit tensoriel donnera la somme des angles. Le résultat est orientable si le nombre de demi-tours fait en parcourant S1
est pair. Par exemple, pour un ruban de Möbius, seul un demi-tour est fait. Comme le nombre de demi-tours s’additionnera
par produit tensoriel, c’est bien un homomorphisme.
90
Chapitre 5 - C LASSES CARACTÉRISTIQUES
P3- pi ( f ∗ ξ) = f ∗ pi (ξ) ;
P4- pi (ξ) = 0 si i > 2Rang ξ.
Contrairement aux classes précédentes, ces propriétés ne caractérisent pas p.
Proposition 5.2.15: Soit ξ un fibré (réel) sur M, alors la réduction modulo 2 de pi (ξ) est w2i (ξ)2 ∈
H 4i (M, Z2 ).
Soit ξ un fibré orientable de dimension 2n. Alors pn (ξ) = e(ξ)2 .
(La seconde égalité est indépendante de l’orientation car la classe d’Euler est au carré.)
tchermod2whit-p
Démonstration. Pour la première assertion, la proposition 5.2.8 donne que, après réduction modulo
2, c2i (ξC ) donne w4i (ξ ⊕ ξ) qui est à son tour égal à w2i (ξ)2 (l’opération “mettre au carré” est un
homomorphisme additif dans un anneau de polynôme sur Z2 ).
Pour la seconde, il faut regarder un peu mieux les orientations de ξC : une provient de l’orientation canonique du complexifié et l’autre de l’orientation de ξ ⊕ ξ obtenue de ξ. Si v1 , . . . , v2n est
une base (ordonnée) d’une fibre de ξ représentant l’orientation de ξ, alors ξC est orienté par la base
(ordonnée) v1 , ıv1 , . . . , v2n , ıv2n tandis que ξ ⊕ ξ est orienté par v1 , . . . , v2n , ıv1 , . . . , ıv2n . Le nombre
de permutation à faire pour passer d’une de ces bases ordonnées à l’autre est (2n − 1) + (2n − 2) +
. . . + 1 = n(2n − 1). Les deux orientations diffèrent ainsi d’une signe (−1)n(2n−1) = (−1)n . Ainsi
pn (E) = (−1)n c2n (ξC ) = (−1)n e(ξC ) = e(ξ ⊕ ξ) = e(ξ)2 .
En utilisant que π8 (O10 ) = Z2 , il est possible de construire un fibré vectoriel qui n’est pas
stablement trivial sur la sphère S9 (en utilisant la fonction d’embrayage 20 associée à la classe d’homotopie non-nulle S8 → O10 dans π8 (O10 )). Ce fibré aura toutes ses classes de Stiefel-Whitney et
de Pontryagin nulles 21 . Ainsi :
Remarque 5.2.16: Les classes caractéristiques ne caractérise pas la stable trivialité : il existe des
fibrés dont toutes les classes caractéristiques sont nulles mais qui ne sont pas stablement triviaux.
Une autre possibilité est de regarder ξ = γ16 ⊗ C, le complexifié du fibré canonique sur RP6 ,
puis η = 4ξ = ξ ⊕ ξ ⊕ ξ ⊕ ξ. Il n’est pas difficile de voir que c(E) = 1 + a et w(ER ) = 1 + ā où
a ∈ H 2 (X, Z) ∼
= Z/2 et ā ∈ H2(X, Z/2) ∼
= Z/2 sont les éléments non-triviaux. Par la formule de
la somme de Whitney W2 et C2, les classes caractéristiques de Chern et de Whitney de η (en tant
qu’anneau de polynômes, H ∗ (RP6 , Z) = Z[a]/(2a, a4 )).
De plus, le groupe K̃ 0 (X) des classes de fibré vectoriels complexes sur RP6 à équivalence stable
près est un groupe cyclique d’ordre 8 engendré par ξ − 1 (voir Karoubi, “K-theory”, corollaire 6.47
au Chapitre IV). Ainsi 4(ξ − 1) = η − 4 ∈ K̃ 0 (X) est non-nul, et donc η n’est pas stablement trivial.
5.2.vii
Exemples et exercices
E XERCICE 67: Montrer que O2 est w2 (ξ) (quitte à faire une réduction modulo 2 lorsque n = 2).
E XERCICE 68: Soit M une sous-variété de Rn définie comme la valeur régulière d’une application.
Montrer que les classes caractéristiques du fibré tangent de M sont toutes nulles.
tclassisomfib1-t
20. un peu comme à la [ou l’idée de] démonstration du théorème 5.2.14. Voir aussi Hatcher, chapitre 1.
21. L’annulation de w9 est une conséquence de la formule de Wu w9 = w1 w8 + Sq1 (w8 )
91
-fibhopfcareul
5.2 - Classe de Stiefel-Whitney et de Chern
E XERCICE 69: Vérifier que l’ensemble des fibrés en droite munis de l’opération (ξ, ξ0 ) 7→ ξ ⊗ ξ0 est
un groupe.
E XERCICE 70: Soit S3 ⊂ C2 la sphère des éléments de norme 1, i.e. (z1 , z2 ) ∈ C2 tels que |z1 |2 +
|z2 |2 = 1. La fibration de Hopf φ : S3 → S2 s’écrit φ(z1 , z2 ) = z2 /z1 où on utilise la projection
stéréographique pour identifier S2 à C ∪ {∞}. Un fibré vectoriel ξ (de rang réel 2 et complexe 1)
associé à cette fibration est défini comme suit : E(ξ) ⊂ S2 × C2 et la droite complexe associée à
z2 /z1 ∈ S2 est {(w1 , w2 ) ∈ C2 | w2 z1 = w1 z2 }.
Montrer que ce fibré a e(ξ) = ±1. (Il suffit de regarder la somme des indices d’une section, e.g.
de trouver une section qui ne s’annule qu’en un point avec un indice ±1.)
92
Épilogue, alias Chapitre 6
Cobordisme
ch-corbord
6.i
...
6.ii
...
93
94
Bibliographie
Voici une liste de quelques livres qui pourrait servir au lecteur (et dont les notes de cours sont
tirées). Les sections ou chapitres mentionnés sont ceux qui sont directement reliés à ce qui est
fait en cours. Il va sans dire que plusieurs de ces livres contiennent des sections ou chapitres forts
intéressants qui ne seront pas abordé en cours.
Auteur
Titre
Langue
Remarque
Guillemin
& Pollack
Differential Topology
EN
Plus technique mais très abordable.
Chapitre 2 et 3 surtout.
Burns
& Gidea
Differential Geometry
and topology
EN
Beaucoup de géométrie riemmannienne,
pour ce cours : Chap.1, 7 et 8.
Hatcher
Vector bundles
and K-theory
EN
Pour les fibrés et les classes,
caractéristiques.†
Hirsch
Differential Topology
EN
Très technique au début.
Chapitre 4 à 6, voire 7.
Milnor
Topology from the
differentiable viewpoint
EN
Tout simplement génial.
Chapitre 1 à 6, voire 7.
Milnor
Morse Theory
EN
Première partie, §1 à 7.
Milnor
& Stasheff
Characteristic classes
EN
§1 à 12.
Rotman
An introduction to
algebraic topology
EN
Pour l’homologie.
Chapitre 7.
Sato
Algebraic Topology ...
an intuitive approach
EN
Pour l’homologie.
Chapitres 4 et 5 surtout.
Vick
Homology Theory : an
introduction to
algebraic topology
EN
Idem. Chapitres 1 à 3 et 7.
†
Il s’agit d’une version encore incomplète d’un projet de livre. Le pdf est disponible gratuitement en ligne sur http://www.math.cornell.edu/~hatcher/ .
95
Index
C ∞, 1
∂, voir bord
γ1n , voir fibré canonique
n, v
×, voir produit cartésien
F −1 , voir image réciproque
◦, voir composition
application
de Hopf, 8
application simpliciale, 35
barycentre, 67
barycentrique
division, 67
bord, 33
d’une variété, 10
homologie, 32
caractéristique
d’Euler, 56
d’une surface, 43
caractéristique d’Euler, 42
carte, 2
chaîne, 32
champ de vecteur, 27
classe
de Chern, 82, 85, 86
d’Euler, 77, 81
d’obstruction, 79
de Pontryagin, 82, 90
de Stiefel Whitney, 83
de Stiefel-Whitney, 81, 86
cobord, 74
cochaîne, 73
cocycle, 74
cohomologie, 74
complexe
simplicial, 32
composition, v
contractile, 17
convexe
enveloppe, 67
critique
point, 5
valeur, 5
cycle, 33
dérivée, 2
d’une application entre variétés, 4
deg2, voir degré modulo 2
deg2 , 18
degré
entier ou orienté, 24
modulo 2, 18
difféomorphisme, 1
dimension
d’une variété, 2
division barycentrique, 67
enroulement
indice, 19
entier, 29
enveloppe convexe, 67
espace
ambient, 2
normal, 9
tangent, 3
espace projectif
complexe, 8
96
INDEX
réel, 6
Excision, 35
fibré
canonique, 49
induit, 50
normal, 14
restreint, 50
stablement trivial, 51
tangent, 26
vectoriel, 48
fibre, 48
genre
d’une surface, 43
grassmannienne, 47
homologie, 33
excision, 35
relative, 33
homotopie, 16
lemme, 17
image
réciproque, v
immersion, 26
indice
enroulement, 19
entier, 29
intersection
nombre, 55
isomorphisme
fibré vectoriel, 49
isotopie, 16
lemme
homogénéité, 17
homotopie, 17
lisse, 1
Möbius
ruban de, 6
nombre d’intersection, 55
orientable, 23
orientation, 23
simplexe, 32
standard de Rm , 23
parallélisable, 49
paramétrage, 2
plan projectif
réel, 6
plongement, 26
point
critique, 5
régulier, 5
produit
cartésien, 50
intersection, 76
union, 76
régulier
point, 5
valeur, 5
rétraction, 38
par déformation, 38
ruban de Möbius, 6
signe
de la dérivée en un point régulier, 24
simplexe, 31
somme
de Whitney, 50
squelette, 32
submersion, 52
suite exacte, 35
de Mayer-Vietoris, 36
pour les paires, 36
transverse, 51
trivial
stablement, 51
valeur
critique, 5
régulière, 5
97
INDEX
variété, 2
à bord, 10
voisinage, 2
Whitney
somme, 50
98