Topologie différentielle

Topologie différentielle
Antoine Gournay
Institut de Mathématiques,
Université de Neuchâtel
Suisse
Septembre, 2012
Notes de Cours

Table des matières
Introduction v
1 Variétés, transversalité et degré 1
1.1 Variétés et espaces tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.i Variétéslisses................................. 1
1.1.ii L’espacetangent ............................... 2
1.1.iii Valeurs régulières et le théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . 5
1.1.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 LethéorèmedeSard ................................. 8
1.2.i Sous-variétés et valeur régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.ii Variétésàbord ................................ 10
1.2.iii Le théorème du point fixe de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.iv La preuve du théorème de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.v Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Le degré modulo 2 et le théorème de Borsuk-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.i Homotopies et isotopies lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.ii Ledegrémodulo2 .............................. 17
1.3.iii Le théorème de Borsuk-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Orientabilité et degré de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.i Variétés orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.ii DegrédeBrouwer .............................. 24
1.4.iii Le théorème de la “sphère poilue” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.iv LethéorèmedeHopf............................. 27
1.4.v Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Triangulation, Homologie, et caractéristique d’Euler 31
2.1 Homologiesimpliciale ................................ 31
2.1.i Complexes simpliciaux et bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.ii Homologie et Homologie relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.iii Excision et suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
i

TABLE DES MATIÈRES
2.2 Calculetinvariants .................................. 39
2.2.i Invariance................................... 39
2.2.ii Complexes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.iii Caractéristique d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.iv Casdessurfaces ............................... 43
2.2.v Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Triangulation et deux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.i Plongement et triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.ii Le théorème d’Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.iii Le théorème du point fixe de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Fibrés, Intersection, et ... caractéristique d’Euler 47
3.1 Fibrésvectoriels.................................... 47
3.1.i Définition................................... 47
3.1.ii Isomorphismes et sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.iii Comment bricoler un nouveau fibré à partir d’anciens . . . . . . . . . . . . 50
3.1.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Transversalité et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.i Transversalité................................. 51
3.2.ii Intersection.................................. 54
3.2.iii Caractéristique d’Euler, via l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Indice des champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.i L’indice.................................... 58
3.3.ii Les points non-dégénérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.iii Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Théorème de Poincaré-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.i LelemmedeHopf .............................. 66
3.4.ii Division barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.iii Le théorème et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.iv Exemples et Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Théorie de Morse 71
4.1 CoupesetGreffes................................... 71
4.1.i FonctionsdeMorse.............................. 71
4.1.ii Indices des points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.iii Type d’homotopie et valeurs critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Applications...................................... 71
4.2.i Lessphères.................................. 71
4.2.ii Les inégalités de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
ii

TABLE DES MATIÈRES
5 Classes caractéristiques 73
5.1 Cohomologie ..................................... 73
5.1.i Définitions .................................. 73
5.1.ii Polygonisation duale et dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.iii Produit d’union et d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.iv Laclassed’Euler............................... 77
5.1.v Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Classe de Stiefel-Whitney et de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.i Les classes d’obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.ii Définition géométrique ; version cohomologique . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.iii Définition géométrique ; version homologique . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.iv Définition axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.v Les espaces projectifs réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.vi Quelques derniers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.vii Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Cobordisme 93
6.i ... ....................................... 93
6.ii ... ....................................... 93
Bibliographie 95
iii