1. Ensembles et Fonctions – Induction 2. Calcul Booléen et Logique

L1 – Option Math´emathiques pour l’informatique – Mme J.Cohen – D´ecembre 2009 1
Correction du partiel Option Math´ematiques pour l’informatique
1`ere session 2009-2010
1. Ensembles et Fonctions – Induction
1.1 Soit Eun ensemble fini de cardinal 4.
•Quel est le cardinal de P(E)×B?
r´eponse 24×2 = 32
•Quel est le nombre d’applications de l’ensemble Bdans l’ensemble P(E) ?
r´eponse (24)2= 28= 256
1.2 Soit E={0,1,00,01,10,11,000,· · · } l’ensemble des suites finies de 0 et de 1. On d´efinit
inductivement le sous-ensemble Lde la fa¸con suivante :
•0∈ L • si x∈ L alors 1x0∈ L et x1∈ L
Donner tous les ´el´ements de Lde longueur 5 (s’´ecrivant avec 5 symboles au total).
r´eponse en partant de 0 on obtient 100 et 01. Puis on obtient 11000, 1001, 1010 et 011. Puis
on obtient 1110000, 110001, 110010, 10011, 110100, 10101, 10110, 0111, puis en partant de 0111
on a 101110 et 01111. Il est inutile de continuer car sinon on n’aurait que des mots de longueur
sup´erieure `a 5.
Donc en r´esum´e les ´el´ements de Lde longueur 5 sont
11000, 10011, 10101, 10110 et 01111.
2. Calcul Bool´een et Logique
2.1 Soit (E, 0,1,+, .,¯ ) une alg`ebre de Boole.
Soient x, y ∈Etels que x+y=y. Montrer alors que
(x·y) = x
r´eponse x·y=x·(x+y) par hypoth`ese
x·(x+y) = (x·x)+(x·y) par distributivit´e
(x·x)+(x·y) = x+ (x·y) par idempotence
x+ (x·y) = (x·1) + (x·y) car 1 est neutre pour ·
(x·1) + (x·y) = x·(1 + y) par distributivit´e
x·(1 + y) = x·1 = xcar 1 est absorbant pour + et neutre pour ·

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2.2 A quelle fonction bool´eenne fcorrespond ce circuit ? Simplifiez fet construisez le circuit
correspondant avec 3 portes seulement.
r´eponse f(x, y, z) = (((y+z)·x) + x) + (y·z)
f(x, y, z) = (((y+z)·x) + x·1) + (y+z) = (((y+z) + 1) ·x)+(y+z)
f(x, y, z) = x+ (y+z) = (x·y·z)
donc 2 portes ET et une porte NON.
2.3 Vous vous retrouvez devant trois portes qui m`enent chacune soit `a un tas de pierre soit `a
un tas d’or. Sur chaque porte il y a une indication et vous savez qu’une et une seule d’entre
elles est vraie.
– porte bleue : s’il y a un tas d’or derri`ere cette porte bleue et derri`ere la porte jaune alors
il y a aussi un tas d’or derri`ere la porte rouge.
– porte jaune : il y a un tas de pierre derri`ere la porte bleue et s’il y a un tas d’or derri`ere la
porte jaune alors il y a aussi un tas d’or derri`ere la porte rouge.
– porte rouge : s’il y a un tas d’or derri`ere la porte jaune alors il y a aussi un tas d’or derri`ere
la porte bleue
On pose B=”il y a un tas d’or derri`ere la porte bleue”, J=”il y a un tas d’or derri`ere la
porte jaune”, R=”il y a un tas d’or derri`ere la porte rouge”.
Traduire les trois indications par trois formules et en d´eduire o`u trouver un tas d’or.
r´eponse les formules correspondant aux trois indications sont respectivement
(B∧J)−→ R
¬B∧(J−→ R)
J−→ B
B J R (B∧J)−→ R¬B∧(J−→ R)J−→ B
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1
1 1 1 1 0 1

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Les lignes en rouge correspondent aux solutions possibles ; dans ces deux cas la porte jaune
m`ene `a un tas d’or.
3. Notions d’algorithmes
3.1 On suppose que les entiers sont cod´es sur 8 bits en compl´ement `a deux.
´
Ecrire selon cette repr´esentation le codage des entiers relatifs suivants : -35 et 57.
r´eponse Sur 8 bits 35 est cod´e par 00100011 et donc en compl´ement `a deux -35 est cod´e
par 11011101.
Sur 8 bits 57 est cod´e par 00111001.
A quels nombres relatifs exprim´es en base dix correspondent les deux codages suivants :
10101010deux 00111011deux ?
r´eponse sur 8 bits en compl´ement `a deux 10101010deux correspond `a −27+ 25+ 23+ 21=
−128 + 32 + 8 + 2 = −86
00111011deux correspond `a 25+ 24+ 23+ 21+ 20= 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59
3.2 Un p`ere poss`ede nvaleurs, num´erot´ees de 1 `a n, qu’il veut transmettre `a ses deux enfants.
Chaque valeur est estim´ee `a un prix not´e vipour la valeur noi. Le partage doit ˆetre le plus
´equitable possible.
Compl´eter les cadres dans l’algorithme suivant pour d´eterminer ce partage :
r´eponse on cherche en fait le minimum de diff´erence de valeurs entre les deux parties d’un
partage des nobjets.
•m←(v1+v2+· · · +vn), part ←(1,1,...,1)
| {z }
n termes
•pour (a1, . . . , an)∈ {−1,1}nfaire
si (0 <Piaivi<m)
alors (m←P
P
Piaivi;part ←(a1,· · ·, an)
fin si
fin pour
•le r´esultat est part : pour i∈ {1, . . . , n}donner la valeur noi½au premier enfant,si ai= 1 ;
au deuxi`eme enfant,si ai=−1.
Quel est le nombre de r´ep´etitions pour consid´er´ees par cet algorithme ? En d´eduire si l’algo-
rithme est efficace.
r´eponse le nombre de n-uplets consid´er´es correspond au cardinal de {−1,1}nqui est 2n. On
sait donc que pour de grandes valeurs de ncet algorithme n’est pas efficace.
BAR` EME PROVISOIRE : 6–7–7.