Corrigé liste d`exercices d`algèbre

Math 314 - Groupe E- Corrigé Liste d’exercices d’algèbre 1
Corrigé liste d’exercices d’algèbre
des questions, commentaires, coquilles? adressez-vous à: antoine[email protected]
4 décembre 2007
Exercice 4 : (a)La matrice Amange des gens écrit dans la base ei(i=1,2,3) pour les ressortir dans la base
fj(j=1,2) de R2. Il suffit de trouver la matrice qui mange les e′
iet les expriment par des combinaison de eipour
savoir comment l’application hmange les e′
i. La matrice de passage de e′
ivers eiest
P=
011
101
110
puisque P(1,0,0)†= (0,1,1)†correspond bien à e′
1est envoyé vers e2+e3. La matrice A1recherchée est donc
A1=AP =Ã2−1 1
3 2 −3!
0 1 1
1 0 1
1 1 0
=Ã0 3 1
−1 0 5!
(b)Cette fois-ci on exprime à l’aide d’une nouvelle matrice comment les f′
jdeviennent des fj:
Q=1
2Ã1 1
1−1!
Cependant, ce qui nous intéresse c’est une fois que A1aura mangé des vecteurs écris en base e′
iet ressorti des
vecteurs en base fj, passé de la base fjà la base f′
j. Il faut donc inverser Q:
Q−1=−Ã−1−1
−1 1 !=Ã1 1 1−1!
(Par un heureux hasard cette matrice est presque son propre inverse.) La matrice A2peut maintenant se calculer :
A2=Q−1A1=Ã1 1
1−1!Ã 0 3 1 −1 0 5!=Ã−1 3 6 1 3 −4!
Exercice 5 : On va supposer que Kcontient les entiers (c’àd. ,Kcontient au moins Q) pour que l’application
linéaire soit définie (elle est aussi définie sur les Fp, mais le calcul pourrait devenir embêtant [pour p=2 dans ce
cas-ci] sans être plus instructif). L’application fs’écrit comme une matrice
A=
0 2 −1
2−5 4
3−8 6 

2
L’identité IEs’écrit matriciellment par la matrice identité Id3de taille 3×3.
(a)Pour chercher le noyau de f−IE, il faut trouver les vecteurs (x,y,z)†(écrits dans la base e1,e2,e3) qui satisfont
0= (A−Id3)
x
y
z
=
−1 2 −1
2−6 4
3−8 5 
x
y
z
=
−x+2y−z
2x−6y+4z
3x−8y+5z
Ce système d’équation a pour solution x=y=z. Une base de Ker(f−IE)est donc le vecteur e1+e2+e3.
(b)La matrice de l’application f2+IEest
B=A2+Id3=
0 2 −1
2−5 4
3−8 6 
0 2 −1
2−5 4
3−8 6 
+
100
010
001
=
1−2 2
2−3 2
2−2 1
+
100
010
001
=
2−2 2
2−2 2
2−2 2
Le noyau de cette matrice est formé des vecteurs (x,y,z)†tels que x−y+z=0. Une base de cet espace est donnée
par (1,1,0)†et (0,1,1)†(beaucoup d’autres choix sont valables).
(c)Même si on ne sait pas (encore) que ceci est une base, posons
e′
1=e1+e2+e3,e′ 2=e1+e2et e′ 3=e2+e3.
Pour montrer que c’est une base il faut montrer leur indépendance linéaire. Pour ce faire, il suffit que le déterminant
de la matrice dont les vecteurs qui expriment les e′
ien base eisoit de déterminant non-nul. Incidemment, si c’est bien
une base, cette matrice sera aussi la matrice de passage (la matrice qui mange des e′
ipour en ressortir l’expression
en ei)
P=
110
111
101
On calcule facilement son déterminant (en combinant des lignes, on se ramène au déterminant d’une matrice très
simple) qui vaut 1. Ces nouveaux vecteurs forment bien une base. Pour avoir fdans cette base, on utilise Ppour
passer des e′
iaux eipuis on applique Apour avoir le résultat de l’application (mais dans la base ei!), et enfin, on
utilise P−1pour revenit à la base e′
i. Si A′est la matrice de fdans la base e′ ielle s’écrit donc
A′=P−1AP =
1−1 1
0 1 −1
−1 1 0 
0 2 −1
2−5 4
3−8 6 
110
111
101
=
1−1 1
0 1 −1
−1 1 0 
1 2 1
1−3−1
1−5−2
=
1 0 0
0 2 1
0−5−2
Par le choix de la nouvelle base f(e′
1)−IE(e′ 1) = 0⇔f(e′ 1) = e′ 1, ce qui correspond bien à ce qu’on trouve dans la
matrice A′. D’autre part, la matrice de f2est
A2=
1 0 0
0−1 0
0 0 −1
ce qui correspond bien au choix de base : pour i=2,3, f2(ei) = −IE(ei) = −ei.

Math 314 - Groupe E- Corrigé Liste d’exercices d’algèbre 3
Exercice 7 : (a)Soit v,v′∈R3,v= (x,y,z)†et v′= (x′
,y′ ,z′). Pour que φsoit une forme bilinéaire, il faut que,
pour vfixé, φ(v,v′)soit une application linéaire et que, pour v′fixé, φ(v,v′)soit une application linéaire. Le plus
simple est encore de trouver la matrice Atelle que φ(v,v′) = v†Av′. En l’occurence on réécrit φcomme :
φ(v,v′) = xx′+y(2y′+2z′) + z(2y′+z) = (x,y,z)
x′
2y′+2z′
2y′+z′
= (x,y,z)
100
022
021
x′
y′
z′
=v†Av′
La forme quadratique associée à φest v7→ φ(v,v). Ici c’est donc v7→ x2+2y2+4yz+z2=x2+2(y+z)2−z2. Celle-ci
admet des valeurs négatives, il ne s’agit donc pas d’un produit scalaire.
(b)Cette fois-ci on va exprimer qcomme v†Bv pour une matrice B. La tâche nous est simplifiée ici car q(x,y,z)est
la norme du vecteur ¡x,3(x+y−z),z−y¢. Soit Cla matrice qui envoie (x,y,z)sur ¡x,3(x+y−z),z−y¢,
C=
1 0 0
3 3 −3
0−1 1 
alors, si h·,·i est le produit scalaire usuel de R3,q(v) = hCv,Cvi= (Cv)†Cv =v†(C†C)v.qest donc bien une forme
quadratique, et sa forme bilinéaire associée est χ(v,v′) = v†(C†C)v′. Pour montrer qu’il s’agit bien d’une norme
euclidienne, il faut vérifier que q(v)≥0 et q(v) = 0⇔v=0. Ici q(v)≥0 est évident car q(v) = kCvk2≥0. Pour
avoir que q(v) = 0⇔v=0, il faut vérifier que Cn’a que 0 dans son noyau. Or ici, DetC=0, c’àd. le noyau de C
n’est pas trivial. Ainsi qn’est pas une norme euclidienne.
Exercice 9 : On rappelle que φ∗est défini par la relation hφv,wi=hv,φ∗wi. (Dans Rnavec sa norme usuelle ∗
est la transposition, dans Cnc’est la transposition hermitienne.)
(a)Si φest antisymétrique,
hφ(x),xi=hx,φ∗(x)i=hx,−φ(x)i=−hx,φ(x)i=−hφ(x),xi
d’où hφ(x),xi=0, pour n’importe quel x.
Si ∀x,hφ(x),xi=0 alors on pose x=y+zet
0=hφ(y+z),y+zi=hφ(y) + φ(z),y+zi=hφ(y),yi+hφ(z),yi+hφ(y),zi+hφ(z),zi
=hφ(z),yi+hφ(y),zi=hφ(z),yi+hz,φ(y)i=hφ(z),yi+hφ∗(z),yi
=hφ(z) + φ∗(z),yi
Donc ∀y∈E,hφ(z) + φ∗(z),yi=0 ce qui implique que ∀z∈E,φ(z) + φ∗(z) = 0, ou autrement dit φ∗(z) = −φ(z).
(b)Soit (Kerφ)⊥={x∈E|∀y∈Kerφ,hx,yi=0}.
Montrons que Imφ⊂(Kerφ)⊥, Soit x∈Imφ, alors il existe z∈Etel que φ(z) = x. Si y∈Kerφ,
hx,yi=hφ(z),yi=hz,φ∗(y)i=hz,−φ(y)i=hz,0i=0.
Ainsi x∈(Kerφ)⊥, d’où Imφ⊂(Kerφ)⊥.
Montrons que Imφ⊃(Kerφ)⊥. Pour ce faire, il est plus simple de montrer que (Imφ)⊥⊂Kerφ. Effectivement,
si x∈(Imφ)⊥, alors ∀y∈E,
0=hx,φ(y)i=hφ∗(x),yi=−hφ(x),yi
ainsi φ(x) = 0⇒x∈Kerφ.