poids et syst`emes de racines - application `a la détermination du

POIDS ET SYST` EMES DE RACINES - APPLICATION ` A LA D´ ETERMINATION
DU GROUPE DE MUMFORD-TATE DE CERTAINES VARI´ ET´ ES AB´ ELIENNES
(D’APR` ES Y. ZARHIN ET B. MOONEN)
ANNA CADORET
Contents
1. Introduction 1
2. Alg`ebres de Lie semisimples scind´ees (ALSSS) 2
2.1. Alg`ebres de Lie semisimples ALSS 2
2.2. sl2(k) 3
2.3. Sous-alg`ebres de Cartan 4
2.4. Syst`eme de racines associ´e `a une k-ALSSS et structure 4
3. Syst`emes de racines 6
3.1. Ind´ependence du corps de base et compl`ete r´eductibilit´e 6
3.2. Orientation: bases, chambres de Weyl et groupe de Weyl 7
3.3. Quelques mots sur la classification 8
3.4. R´eseaux des poids et des racines 9
3.5. Poids minuscules 10
4. Repr´esentations simples des ALSSS 11
4.1. Le th´eor`eme du plus haut poids 11
4.2. Repr´esentations minuscules 12
5. Preuve du th´eor`eme 1.1 12
5.1. Un r´esultat g´en´eral 12
5.2. Structures de Hodges pures 14
5.3. Vari´et´es ab´eliennes 14
References 15
Dans cet expos´e, kd´esignera toujours un corps de caract´eristique 0.
1. Introduction
L’objectif de cet expos´e est d’introduire la th´eorie des alg`ebres de Lie semisimples scind´ees, notamment
d’expliquer comment associer `a toute alg`ebre de Lie semisimple scind´ee un syst`eme de racines et
d´ecrire comment cette donn´ee permet de classifier les alg`ebres de Lie semisimples scind´ees et leurs
repr´esentations de dimension finie. On terminera l’expos´e par une ´etude succinte des repr´esentations
minuscules d’une alg`ebre de Lie semisimple scind´ee que l’on appliquera pour montrer le th´eor`eme
suivant (initialement pr´esent´e par Nicolas Ratazzi dans l’expos´e 7)
Theorem 1.1. Soit Aune vari´et´e ab´elienne sur Cde dimension impaire et d’anneau d’endomorphismes
Z. Alors
MT (A) = GSp(H1
B(A(C),Q), ϕ).
La plupart des preuves seront omises d’une part par paresse, d’autre part pour ne pas noyer l’expos´e
dans des d´etails techniques. Le mat´eriel pr´esent´e ici est par ailleurs standard. Pour les alg`ebres de Lie
semisimples scind´ees, on pourra se r´ef´erer `a [B90], [H72] ou [S66]. Pour la th´eorie des repr´esentations
minuscules appliqu´ees aux groupes de Mumford-Tate, aux notes de B. Moonen [Mo99] et `a l’article
Date: Rencontre ARIVAF 8 - 10 novembre 2011, Paris.
1

2 ANNA CADORET
original de Y. Zarhin [Za85] dont elles s’inspirent.
Soit Vun k-espace vectoriel de dimension finie. On appelle reflexion de Vtoute automorphisme k-
lin´eaire s:V˜→Vtel que ker(s−IdV) (resp. ker(s+IdV)) est un hyperplan (resp. une droite) de V;
on dit alors que les ´el´ements non nuls de ker(s+IdV) sont les vecteurs de s:V˜→V. Si s:V˜→Vest
une reflexion de V, le choix d’un vecteur αd´etermine un unique α∗∈V∨tel que (α, α∗) := α∗(α)=2
et ker(α∗) = ker(s−IdV). On a alors s(v) = v−(v, α∗)α,v∈V.
On appelle syst`eme de racines sur ktout couple (V, R) o`u Vest un k-espace vectoriel de dimension
finie et R⊂Vun sous-ensemble v´erifiant les trois axiomes suivants
(SR1) 0 6∈ R,|R|<+∞,Rengendre Vcomme k-espace vectoriel;
(SR2) pour tout α∈Ril existe une (unique) reflexion sα:V˜→Vde vecteur αtelle que sα(R) = R;
(SR3) pour tout α, β ∈Ron a sα(β)−β∈Zα.
Remark 1.2.
(1) Sous (SR1) et la condition sα(α) = −α, l’unicit´e de sα:V˜→Vest automatique; c’est donc
l’existence qui importe.
(2) (SRi), i= 1,2,3 ´equivalent `a (SR1) et pour tout α∈Ril existe un unique α∗∈V∨tel que
(α, α∗) = 2, (R, α∗)⊂Zet sα,α∗(R) = R.
(3) Pour tout α∈Ron a toujours kα ∩R={±α}ou kα ∩R={±α, ±1
2α}. Dans le premier cas,
on dit que (V, R) est r´eduit.
2. Alg` ebres de Lie semisimples scind´ ees (ALSSS)
2.1. Alg`ebres de Lie semisimples ALSS. Soit gune k-alg`ebre de Lie de dimension finie. Pour
tout x∈g, on note adg(x) : g→gl’endomorphisme k-lin´eaire d´efini par adg(x)(y) = [x, y], y∈get
κg:g⊗kg→k
x⊗y→T rg(adg(x)◦adg(y))
la forme de Killing de g, qui est une forme k-bilin´eaire sym´etrique associative i.e. κg(x⊗[y, z]) =
κg([x, y]⊗z) (identit´e de Jacobi).
Proposition 2.1. Les conditions suivantes sont ´equivalentes
(1) gne contient pas d’id´eal commutatif non trivial;
(2) Rad(g)=0, o`u Rad(g)est le radical r´esoluble de g;
(3) κg:g⊗kg→kest non-d´eg´en´er´ee;
(4) gn’a qu’un nombre fini d’id´eaux simples g1,...,gret g=⊕1≤i≤rgi(comme k-espace vectoriels)
ou, de fa¸con ´equivalente, g=Q1≤i≤rgi(comme k-alg`ebres de Lie).
On dit alors que gest semisimple.
D´erivations et d´ecomposition de Jordan abstraite:
Soit gune k-alg`ebre de Lie de dimension finie. Notons
Derk(g) := {d:g→gk−lin´eaire |d([x, y]) = [dx, y]+[x, dy], x, y ∈g} ⊂ gl(g)
la sous-k-alg`ebre de Lie des d´erivations de g. On a toujours une suite exacte de k-alg`ebres de Lie
0→Z(g)→gadg →Derk(g)
Lorsqu’on suppose de plus gsemisimple, on a mieux.
Lemma 2.2. Si gsemisimple alors adg:g˜→Derk(g)est un isomorphisme.
Supposons maintenant gsemisimple. Pour tout x∈gon dispose de la d´ecomposition de Jordan
usuelle
adg(x) = adg(x)n+adg(x)s

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comme somme d’un endormorphisme nilpotent et d’un endomorphisme semisimple uniques et poly-
nomiaux en adg(x). On montre facilement que adg(x)net adg(x)ssont encore des d´erivations. Par le
lemme 2.2, il existe donc un unique couple xn, xs∈gtel que
adg(xn) = adg(x)n, adg(xs) = adg(x)s.
On dit alors que x=xn+xsest la d´ecomposition de Jordan abstraite de xdans g. Cette d´ecomposition
de Jordan abstraite s’incarne dans toutes les repr´esentations de dimension finie de gen la d´ecomposition
de Jordan usuelle.
Proposition 2.3. (Pr´eservation de la d´ecomposition de Jordan) Pour toute repr´esentation ρ:g→
gl(V)de dimension finie,
ρ(xs) = ρ(x)s, ρ(xn) = ρ(x)n, x ∈g.
Repr´esentations:
Notons Repk(g) la cat´egorie des repr´esentations de dimension finie de gsur ki.e. des couples (V, ρ),
o`u Vest un k-espace vectoriel de dimension finie et ρ:g→gl(V) un morphisme de k-alg`ebres de Lie.
On a alors l’´enonc´e suivant, justifiant la terminologie ’semisimple’.
Theorem 2.4. (Weyl) gest semisimple si et seulement si Repk(g)est semisimple.
2.2. sl2(k).Les k-alg`ebres de Lie de dimension 1 et 2 sont ab´eliennes ou r´esolubles. C’est en dimension
3 qu’apparait la premi`ere k-ALSS, qui est sl2(k), le noyau de la trace sur gl2(k). On peut la d´ecrire
par g´en´erateurs et relations comme suit.
sl2(k) = kx ⊕ky ⊕kh
[h, x]=2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h.
et, concr`etement, on peut prendre
x=0 1
0 0 , y =0 0 1 0 , h =1 0 0−1
Notons que x=xn,y=ynet h=hs.
On va voir que sl2(k) est la brique de base qui apparait dans le th´eor`eme de structure des k-ALSSS.
Pour en comprendre la preuve, il est indispensable d’avoir bien compris les repr´esentations simples
de sl2(k) sur lesquelles hagit diagonalement (rappelons que par pr´eservation de la d´ecomposition de
Jordan, hagit toujours de fa¸con semisimple). On va donc d´ecrire leur classification ci-dessous. Cela
nous donnera ´egalement le ’baby-case’ du th´eor`eme de classification des modules simples de dimension
finie sous une k-ALSSS.
Soit donc Vun sl2(k)-module de dimension finie sur lequel hagit diagonalement. Ecrivons
V=V0⊕M
λ∈P(V)
Vλ,
o`u P(V) d´esigne l’ensemble des poids de Vi.e. des valeurs propres non nulles de hagissant sur Vet
Vλl’espace de poids λi.e. Vλ:= ker(h−λIdV).
On appelle vecteur primitif de Vde poids λ∈P(V) tout v∈Vλ,v6= 0 tel que xv = 0.
Etant donn´e un vecteur primitif v0de poids λ, posons
v−1= 0
vi=1
i!yiv0i≥0 (= 1 ivi−1,i≥1).
On peut alors d´ecrire explicitement (par r´ecurrence, en utilisant Jacobi et les relations de sl2(k)) les
actions de x, y, h sur les vi,i≥ −1.

4 ANNA CADORET
Lemma 2.5. Pour tout i≥0on a
(1) hvi= (λ−2i)vi;
(2) yvi= (i+ 1)vi+1;
(3) xvi= (λ−i+ 1)vi−1.
La relation (1) impose aux vinon nuls d’ˆetre libres donc, V´etant de dimension finie, cela permet de
d´efinir le plus petit entier mtel que vm6= 0 mais vm+1 = 0. Les relations (1), (2), (3) montrent alors
que
W:= M
0≤i≤m
kvi
est un sl2(k)-sous-module. En outre, hagit encore diagonalement sur Wavec
P(W) = {λ−2i|0≤i≤m}
et dimk(Wλ) = 1, λ∈P(W). Cela impose `a Wd’ˆetre un sl2(k)-module simple. En effet, si W0⊂W
est un sous-sl2(k)-module, hagit encore diagonalement sur W0(puisque le polynˆome minimal de h|W0
divise celui de h|Wdonc est scind´e sur k) donc contient au moins l’un des vi. Mais alors, par les
relations (2) et (3), il les contient tous. Enfin, la relation (3) pour i=m+ 1 montre que
λ=m= dimk(W).
On peut r´esumer ces observations par
Lemma 2.6. (Classification des sl2(k)-modules simples de dimension finie) Notons Repirr
sl2(k)la cat´egorie
des sl2(k)-modules simples de dimension finie. On a alors une correspondance bijective
Repirr
sl2(k)/' ↔ Z≥−1
V→dimk(V)−1
V(m) (d´efini par les relations (1), (2), (3)) ←m
2.3. Sous-alg`ebres de Cartan. Soit gune k-ALSS de dimension finie et h⊂gune sous-k-alg`ebre
de Lie. On dit que hest torique si x=xs,x∈het que hest de Cartan (d´eployante) si hest torique
maximale (et spec(adg(x)) ⊂k,x∈h).
On a le r´esultat ´el´ementaire - mais essentiel - suivant.
Lemma 2.7. Toute sous-k-alg`ebre de Lie torique est ab´elienne.
Notons C(g) l’ensemble des sous-k-alg`ebres de Cartan d´eployantes. Alors,
Theorem 2.8. Le groupe AutLie/k(g)agit transitivement sur C(g).
On peut donc d´efinir le rang d’une k-ALSS gcomme la k-dimension commune des ´el´ements de C(g).
Enfin, on appelle k-alg`ebre de Lie semisimple scind´ee (ou d´eploy´ee) (ALSSS) tout couple (g,h), o`u g
est une k-ALSS de dimension finie et h⊂gune sous-k-alg`ebre de Cartan d´eployante.
Example 2.9. Dans sln(k) les alg`ebres de Cartan sont toutes conjugu´ees `a la sous-k-alg`ebre des
matrices diagonales de trace nulle; le rang de sln(k) est donc n−1.
2.4. Syst`eme de racines associ´e `a une k-ALSSS et structure. Soit (g,h) une k-ALSSS. Par le
lemme 2.7, hagit diagonalement sur gpar adjonction. On peut donc d´ecomposer
g=Cg(h)⊕M
α∈h∨\{0}
gα,
o`u, pour tout α∈h∨on a pos´e
gα:= {x∈g l [h, x] = α(h)x, h ∈h}.
Notons enfin
R:= {α∈h∨\ {0} | gα6= 0}.
L’identit´e de Jacobi montre que pour tout α, β ∈h∨on a toujours [gα,gβ]⊂gα+β. En particulier, si
α+β6= 0, gαet gβsont orthogonales pour la forme de Killing. On en d´eduit que la forme de Killing

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reste non d´eg´en´er´ee sur les gα+g−α,α∈h∨(donc en particulier sur g0=Cg(h)).
On a le fait suivant, pas tout `a fait imm´ediat
Lemma 2.10. Cg(h) = h.
La forme de Killing est donc non d´eg´en´er´ee sur haussi. Cela permet d’identifier
h˜→h∨
t→κg(t, −)
tα←α
et de munir h∨d’une forme k-bilin´eaire sym´etrique non-d´eg´en´er´ee h−,−i :h∨⊗kh∨→kd´efinie par
hα, βi=κg(tα, tβ).
Commen¸cons par le petit lemme suivant.
Lemma 2.11. Pour tout α∈h∨,x∈gα,y∈g−αon a
[x, y] = κg(x, y)tα.
Preuve. Comme κgest non d´eg´en´er´ee sur h, il suffit de montrer que
κg([x, y]−κg(x, y)tα, h) = 0, h ∈h.
Or κg([x, y], h) = κg(x, [y, h]) = α(h)κg(x, y) par associativit´e de κgalors que κg(κg(x, y)tα, h) =
α(h)κg(x, y) par d´efinition de tα.
Notons hα:= [gα,g−α]. Le lemme 2.11 nous dit d´ej`a que hαest de dimension au plus 1. En fait
Lemma 2.12. hαest de dimension 1et il existe un unique hα∈hαtel que (hα, α) = 2.
Preuve. Pour la premi`ere partie de l’assertion, il suffit d’observer que pour tout x∈gα,x6= 0 il
existe y∈g−α,6= 0 tel que [x, y] = κg(x, y)6= 0. En effet, sinon, xserait orthogonal `a g−αpour la
forme de Killing or on sait d´ej`a que xest orthogonal `a M
β6=−α
gβ. Donc comme κgest non d´eg´en´er´ee,
cela imposerait x= 0. L’unicit´e dans la seconde partie de l’assertion r´esulte du fait que hαest de
dimension 1. Pour l’existence, il suffit de montrer que hα, αi=α(tα)6= 0 (puis poser hα= 2tα/hα, αi).
Si on avait α(tα) = 0, en choisissant x∈gα,y∈g−αtels que κg(x, y) = 1 donc [x, y] = tα, on aurait
[tα, x] = [tα, y] = 0. Donc
rα:= kx ⊕ky ⊕ktα
serait une sous-k-alg`ebre de Lie r´esoluble et par th´eor`eme de Lie appliqu´e `a rαop´erant par adjonction
sur g, on aurait
adg(tα) = [adg(x), adg(y)]
nilpotent donc tα=tα,n. Mais par hyoth`ese, tα=tα,s donc tα= 0: contrad. 
Pour tout α∈Ret pour tout xα∈gα,xα6= 0 il existe donc yα∈g−αtels que [xα, yα] = hαet
sα=kxα⊕kyα⊕khα
est isomorphe `a sl2(k). En fait, le lemme suivant montre que gαest de dimension 1 donc une fois que
xαest donn´e, yαest ´egalement uniquement d´etermin´e.
Lemma 2.13. gαest de dimension 1.
Preuve. Supposons que gαsoit de dimension ≥2 alors on peut toujours trouver y∈g−αtel que
[xα, y] = 0. Mais comme [hα, y] = −2y,yapparaˆıt comme un vecteur primitif du sα-module gde
poids −2. C’est impossible puisque les vecteurs primitifs sont de poids positif. 
Proposition 2.14. R⊂h∨est un syst`eme de racines r´eduit.
Preuve. Elle repose essentiellement sur les deux lemmes suivants.