REPR´ESENTATIONS DES GROUPES ALG´EBRIQUES ET

REPR´ ESENTATIONS DES GROUPES ALG´ EBRIQUES
ET ´ EQUATIONS FONCTIONNELLES
(COURS DE TROISI` EME CYCLE,DEUXI` EME NIVEAU, 2008/2009)
J. Sauloy 1
11 d´ ecembre 2009
1Institut math´
ematique de Toulouse et U.F.R. M.I.G., Universit´ e Paul Sabatier, 118, route de Narbonne,
31062 Toulouse CEDEX 4

R´ esum´ e
Le but du cours est de donner le minimum de connaissances sur les repr´ esentations des groupes
alg´ ebriques lin´ eaires complexes qui permette de d´ efinir le groupe de Galois d’une ´ equation diff´ erentielle
ou aux q-diff´ erences analytique. On prouvera la partie facile du “th´ eor` eme de Tanaka” et on ad-
mettra l’autre partie, que l’on appliquera ` a des exemples int´ eressants en th´ eorie de Galois.
Contenu du cours :
– Cat´ egories et foncteurs
– G´ eom´ etrie alg´ ebrique affine
– Groupes alg´ ebriques lin´ eaires
– Comment reconstruire un groupe alg´ ebrique ` a partir de la cat´ egorie de ses repr´ esentations.
– Compl´ et´ e proalg´ ebrique d’un groupe.
– La correspondance de Riemann-Hilbert et le groupe de Galois.
Bibliographie :
1. Ahlfors L. : Complex Analysis
2. Borel A. : Linear Algebraic Groups.
3. Deligne P. and Milne J. S. : Tannakian categories in L.N.M. 900
4. Douady R. et Douady A. : Alg` ebre et th´ eories galoisiennes.
5. Springer T. A. : Linear Algebraic Groups
Le r´ esum´ e ci-dessus reproduit la pr´ esentation du cours telle qu’elle figurait sur le site “Ensei-
gnement” du d´ epartement de math´ ematiques. Je ne pr´ etends pas que ce (vaste) programme soit
r´ ealisable. Le v´ eritable plan du cours et la v´ eritable bibliographie apparaissent plus loin!!!
Outre le cours polycopi´ e, les documents suivants ont ´ et´ e distribu´ es aux ´ etudiants :
– Le premier chapitre de mon cours de DEA de 2004-2005; ce chapitre porte sur le prolon-
gement analytique et la correspondance de Riemann-Hilbert.
– Des feuilles d’exercices de g´ eom´ etrie alg´ ebrique de M1.
– Le chapitre de g´ eom´ etrie alg´ ebrique d’un cours de L3 sous la direction de Jean-Pierre Ramis
et Andr´ e Warusfel, ´ edit´ e chez De Boeck.
– L’appendice de ma th` ese portant sur le calcul ´ el´ ementaire de l’enveloppe proalg´ ebrique de
Z.

1

Table des mati` eres
I Les bases 5
1 En guise d’introduction : groupe(s) attach´ e(s) ` a une ´ equation diff´ erentielle. 6
1.1 ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Le faisceau des solutions de (1.1.0.1) sur X0................ 7
1.1.2 Le faisceau Fest un syst` emelocal..................... 7
1.2 Exemplesbasiques ................................. 8
1.2.1 Les “caract` eres” .............................. 8
1.2.2 Lelogarithme................................ 10
1.3 Retour au formalisme g´ en´ eral............................ 11
1.3.1 Le principe de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 La repr´ esentation de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 La th´ eorie de Galois diff´ erentielle ......................... 14
1.4.1 La th´ eorie de Picard-Vessiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 La dualit´ etannakienne........................... 17
2 Cat´ egories, foncteurs, ´ equivalences, limites, produit tensoriel 18
2.1 Cat´ egoriesetfoncteurs ............................... 18
2.1.1 Cat´ egories ................................. 18
2.1.2 Foncteurs.................................. 20
2.1.3 ´ Equivalences de cat´ egories......................... 22
2.2 Probl` emesuniversels ................................ 23
2.2.1 Limites inductives (direct limits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Limites projectives (inverse limits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Le produit tensoriel : rappels et compl´ ements............... 26
3 Repr´ esentations lin´ eaires de groupes, enveloppe proalg´ ebrique 28
3.1 Repr´ esentations lin´ eaires.............................. 28
3.1.1 Repr´ esentations de Get K[G]-modules................... 29
3.1.2 Repr´ esentations de Z............................ 30
3.2 Quelques questions de classification (effleur´ ees).................. 31
3.2.1 Vocabulaire de la classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Repr´ esentations compl` etement r´ eductibles................. 33
3.2.3 Repr´ esentations des groupes ab´ eliensfinis................. 34
3.3 Premi` ere approche de la dualit´ e........................... 35
3.3.1 Peut-on reconstituer G` a partir de RepK(G)?............... 35
2

3.3.2 Produit tensoriel de repr´ esentations .................... 37
3.3.3 Enveloppe proalg´ ebrique d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Rappels et compl´ ements de g´ eom´ etrie alg´ ebrique affine 40
4.1 Ensembles alg´ ebriquesaffines ........................... 40
4.1.1 La topologie de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.2 Correspondance entre ferm´ es et id´ eaux .................. 41
4.1.3 Lenullstellensatz.............................. 43
4.2 Fonctions r´ eguli` eres................................. 44
4.2.1 Fonctions r´ eguli` eres, alg` ebresaffines ................... 45
4.2.2 Dimension d’un ensemble alg´ ebrique ................... 46
4.2.3 Qu’est-ce intrins` equement qu’un ensemble alg´ ebrique? . . . . . . . . . 47
4.3 La cat´ egorie Af fK................................. 50
4.3.1 Morphismes ................................ 50
4.3.2 Aspects topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.3 Produits d’ensembles alg´ ebriques ..................... 54
II La suite 56
5 Groupes alg´ ebriques affines (th´ eorie ´ el´ ementaire) 57
5.1 Groupes dans une cat´ egorie............................. 57
5.1.1 Groupes et diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.2 Objetsengroupe .............................. 59
5.1.3 Groupes alg´ ebriquesaffines ........................ 61
5.2 Alg` ebres de Hopf commutatives r´ eduites...................... 62
5.3 Groupes alg´ ebriques lin´ eaires............................ 64
5.4 Morphismes de groupes alg´ ebriquesaffines .................... 66
5.5 Action (ou op´ eration) d’un groupe alg´ ebrique affine sur un ensemble alg´ ebrique
affine ........................................ 68
5.5.1 Vocabulaire................................. 68
5.5.2 Approche topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.3 Approche alg´ ebrique : la coaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Tout groupe alg´ ebrique affine est lin´ eaire...................... 71
6 Repr´ esentations rationnelles d’un groupe alg´ ebrique 73
6.1 G´ en´ eralit´ es sur les repr´ esentations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.1 Repr´ esentations localement finies rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.2 La repr´ esentation r´ eguli` ere......................... 75
6.2 Th´ eor` eme de Tannaka et d´ ecomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.1 Le petit th´ eor` emedeTannaka ....................... 77
6.2.2 Rappels sur la d´ ecomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.3 La d´ ecomposition de Jordan dans un groupe alg´ ebrique . . . . . . . . . . 81
6.3 Les th´ eor` emesdeChevalley ............................ 82
6.3.1 La forme de base du th´ eor` eme de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.2 Compl´ ements d’alg` ebre multilin´ eaire ................... 83
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