energie

1
L’énergie
est un pouvoir de déplacer les corps
qui se consomme quand elle agit
Qu’est-ce que c’est ?
La même chose que la force ?
Non ... Parce que ...
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
qui ne se consomme pas quand elle agit
2
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
ce qu’on appelle les accélérer
Commençons donc par définir l’accélération
3
Au commencement était une idée très ancienne ...
... si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne l’équation (égalité des produits croisés)
x – xo = vx t
Cette formule nous donne la
géométrie ci-contre
Vitesse
vx
Aire = x – xo
t
Temps
Temps
Distance
t
x – xo
1
vx
4
Mais d’après toi, que penses-tu de cette idée :
Dans ce cas, ce n’est plus
une proportion !
admettre que l’aire en jaune est toujours égale à la distance ?
ce que les physiciens ont admis depuis le moyen âge
Vitesse
vx
AireAire
= x=
– xo– xo
t
Temps
Temps
Distance
t
x – xo
1
vx
5
Au commencement était une idée déjà ancienne (encore médiévale !) ...
... si un la vitesse d’un corps augmente proportionnelle au temps
alors nous pouvons appliquer la géométrie de Thalès :
Temps
P
vKx
aBx
O
1A
OH
t
OK
vx
OA
1
OB
ax
Ce tableau nous donne
comme équation
M
diagonnale
OH
OP
OA
OM
Diagonnale
Vitesse
OH
OK
OA
OB
Vitesse
avec ses tableaux de proportion
Vitesse
Temps
vx = a x t
H
t
Temps
Définition : le nombre ax est l’abscisse
de l’accélération.
Cas particulier : la vitesse initiale est nulle :
6
Et en « 3D »
?
Nous avons trois équations au lieu d’une :
vx = ax t , vy = ay t et vz = az t
et donc ay et az sont l’ordonnée et la cote de
l’accélération
Vitesse
P
vKx
aBx
O
L’aire du triangle est égale à la moitié
de celle du rectangle
M
1A
Conclusion : la distance s’obtient
en multipliant la vitesse par le
temps puis en divisant le résultat
par deux.
Aire = x – xo =
vx t
2
Nous avons une
Définition : le nombre ax est l’abscisse
de l’accélération.
formule pour l’ordonnée Aire = y – yo =
vy t
et
Cas particulier : la vitesse initiale est nulle :
une formule pourv la= cote
Aire = z – zo =
a t
vz t
H
t
Temps
x
x
2
2
7
Comment Newton a défini la force ?
Nous avons trois équations au lieu d’une :
vx = ax t , vy = ay t et vz = az t
• Soit un corps subissant une certaine force. Sa masse est m et son accélération est
définie par les trois coordonnées ax , ay et az .
• Expérience de pensée 1 - Si sa masse est doublée, alors si l’accélération produite
est la même ...
... nous admettrons que la force est aussi doublée.
• Expérience de pensée 2 - Si à masse égale l’accélération est doublée ...
... alors nous admettrons que la force est aussi doublée.
Etudions les trois définitions suivantes :
Aire = x – xo =
vx t
2
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
Nous voyons bien que les
résultats des deux
expériences de pensée
précédentes sont respectés.
Aire = y – yo =
Aire = z – zo =
vy t
2
vz t
2
8
vx = ax t , vy = ay t et vz = az t
Multiplions par la distance Fx (x – xo) = m ax (x – xo)
A droite, substituons la distance Fx (x – xo) = m ax vx t / 2
puis permutons deux facteurs
Fx (x – xo) = m ax t vx / 2
et reconnaissons la variation de la vitesse Fx (x – xo) = m vx vx / 2
pour conclure
Fx (x – xo) = m vx2/ 2
ou encore
1
Fx (x – xo) = 2 m vx2
Aire = x – xo =
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
Aire = y – yo =
Et maintenant dans l’espace en trois dimensions ?
Aire = z – zo =
vx t
2
vy t
2
vz t
2
9
Additionnons-les
Cas particulier : la vitesse initiale est nulle :
1
1
1
2
2
1 Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 2 m vx + 2 m vy + 2 m vz2
Factorisons 2 m
1
v2x2 + vy2 + vz2)
Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 2 m (v
vx2 + vy2 + vz2 est une grandeur positive car somme de trois carrés. On la considère
comme le carré d’un nombre unique : la valeur v de la vitesse du corps
Cas particulier : la vitesse initiale est nulle :
Nous avons les équations
analogues en ordonnée et en cote.
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
Et maintenant dans l’espace en trois dimensions ?
1
Fx (x – xo) = 2 m vx2
1
Fy (y – yo) = 2 m vy2
1
Fz (z – zo) = 2 m vz2
10
Pour moi, le corps mis en mouvement
1
Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 2 m v2
Nommé travail de la force
est
l’énergie que je reçois
Cas particulier : la vitesse initiale est nulle :
« en » = dans
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
ergos = mouvement
11
Pour moi, le corps mis en mouvement
1
Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 2 m v2
Nommé travail de la force
Nommé énergie cinétique
kinesis en grec
Je consomme cette
est l’énergie que je reçois
Cas
: la vitesse
est nulle
:
Et siparticulier
la vitesse initiale
n’estinitiale
pas nulle
?
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
pour augmenter ma vitesse
12
1
Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 2 m v2
Nommé travail de la force
1
2
02 m 0vo2
Nommé énergie cinétique
C’est la
vitesse
Remarque
initiale
Si le corps s’arrête et rebrousse chemin,
Cas
: la vitesse
est nulle
:
Et siparticulier
la vitesse initiale
n’estinitiale
pas nulle
?
Dans ce cas, les physiciens
admettent que la formule est
toujours applicable.
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
il faut permuter x et xo puis y et yo et z et zo
donc les différences
x – xo puis y – yo et z – zo
deviennent
xo – x puis yo – y et zo – z
qui sont de signe contraire
donc le travail change de signe.
13
C’est pourquoi cette équation est nommée
Loi de conservation de l’énergie
1
Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 2 m v2
Variation
de l’énergie cinétique
Travail de la force
Wx + Wy + Wz
1 mv 2
o
2
=
1 m v2
W = Variation de
2
de l’anglais
work
Fx
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
aire = Wx
aire = Wx
Et si la force est variable ?
La formule s’applique toujours
x - xo
14
Loi de conservation de l’énergie
1
Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 2 m v2
Travail de la force
1 mv 2
o
2
Variation
de l’énergie cinétique
1 m v2
= W = Variation de
Wx + Wy Somme
+ Wz des
2
Et si plusieurs forces agissent en même temps ?
C’est tout simple ! On additionne tous les travaux !
Et la formule s’applique encore !
F x = m a x , F y = m ay , F z = m a z .
15
Question de signes
• L’algèbre des travaux
• Travail moteur
• Travail résistant
16
Loi de conservation de l’énergie
Question de signes
Travail de la force
Variation
=
de l’énergie cinétique
1
Somme des W = Variation de 2 m v2
Si elle est négative
1
m 2 <
2 v
1 mv 2
o
2
Si elle est positive
1
m 2 >
2 v
donc
donc
v < vo
v > vo
donc la vitesse diminue !
1 mv 2
o
2
donc la vitesse augmente !
17
Loi de conservation de l’énergie
Question de signes
Travail de la force
D’où
l’importance
de comparer le
signe et
l’importance
des travaux !
Variation
=
de l’énergie cinétique
1
Somme des W = Variation de 2 m v2
Si elle est négative
donc la vitesse diminue !
Si elle est positive
donc la vitesse augmente !
18
Si les travaux
positifs sont plus
importants que les
négatifs ...
Si les travaux
positifs sont plus
importants que les
négatifs ...
Loi de conservation de l’énergie
Question de signes
Travail de la force
Variation
=
de l’énergie cinétique
1
Somme des W = Variation de 2 m v2
Si elle est négative
donc la vitesse diminue !
Si elle est positive
donc la vitesse augmente !
19
Les deux espèces de forces
• Travaux récupérables
• Travaux non récupérables
20
Et là, les ingénieurs et techniciens de l’industrie eurent à se poser la question suivante :
Un classement
essentiel des
forces
Un mouvement
possible
Arrivée
Départ
Un autre mouvement
possible
La force est dite
conservative
Travail de la
force = W
?=
Toujours
égaux ?
La force est dite
non conservative
Travail de la
force = W’
Si oui
Si non
21
Etagère
Force poids :
Abscisse nulle
Ordonnée nulle
Cote constante et = Fz
Cote
Travail = somme des Fz (z – zo)
Sol
Un classement
essentiel des
forces
Mais Fz est
constante, donc
est factorisable
Abscisse
Un exemple ?
La force est dite
conservative
Travail de la
force = W
?=
Toujours
égaux ?
La force est dite
non conservative
Travail de la
force = W’
Si oui
Si non
22
Force poids :
Abscisse nulle
Ordonnée nulle
Cote constante et = Fz
Cote
Travail = F
somme
desdes
Fz (z – zo)
z somme
Sol
Un classement
essentiel des
forces
Mais la somme
des (z – zo) est la
hauteur h entre
l’étagère et le sol
Abscisse
Un exemple ?
La force est dite
conservative
Travail de la
force = W
?=
Toujours
égaux ?
La force est dite
non conservative
Travail de la
force = W’
Si oui
Si non
23
Force poids :
Abscisse nulle
Ordonnée nulle
Cote constante et = Fz
Cote
Travail = Fzx somme
h
des (z – zo)
Sol
Un classement
essentiel des
forces
Naturellement
indépendant du
mouvement suivi
!
Abscisse
Un
Le exemple
poids ?
La force est dite
conservative
Travail de la
force = W
?=
Toujours
égaux ?
La force est dite
non conservative
Travail de la
force = W’
Si oui
Si non
24
Ces travaux sont
proportionels à la
consommation de
combustible
Les moteurs : le
travail est positif
est augmente
avec la longueur
des trajets
Un classement
essentiel des
forces
Deux exemples
importants
Les frottements : le
travail est négatif, et
son importance
augmente avec la
longueur des trajets
Le poids
La force est dite
conservative
Le travail dépendil de l’itinéraire
suivi ?
Si oui
La force est dite
non conservative
Si non
25
Un classement
essentiel des
forces
1 m v2
Somme des W = Variation de
2
Somme des Wnon cons +
Le travail dépendil de l’itinéraire
suivi ?
Somme des Wcons = Variation de
Si oui
1 m v2
2
Si non
26
L’énergie mécanique
• L’énergie de position
• l’énergie dans la vitesse
27
Un mouvement
possible
Un autre mouvement
possible
Arrivée
A
Un classement
essentiel des
forces
Départ
D
Lieu choisi
comme
R référence
Somme des Wcons
Somme des Wnon cons
Somme des Wcons de D à R
+
On a
toujours
égalité
entre eux
Somme des Wcons de R à A
Par definition on écrit UM un travail Wcons de M à R donc – UM un travail Wde R à M
Somme des UD
–
Somme des UA
28
Un mouvement
possible
Un autre mouvement
possible
Arrivée
A
Un classement
essentiel des
forces
Départ
D
R
Lieu choisi
comme
référence
– Somme des UA
Somme des Wnon cons + Somme des UWDcons
variation de
1
=
m v2
2
Par definition on écrit UM un travail Wcons de M à R donc – UM un travail Wde R à M
Somme des UD
–
Somme des UA
Somme des UD – Somme des UA
29
Un mouvement
possible
Un autre mouvement
possible
Arrivée
A
Un classement
essentiel des
forces
Départ
D
R
Lieu choisi
comme
référence
Somme des Wnon cons + Somme des UD – Somme des UA
variation de
1 1 2
1
–
m
v
m vD2
=
A v2
m
2 2
2
Par definition on écrit UM un travail Wcons de M à R donc – UM un travail Wde R à M
Somme des UD
–
Somme des UA
Somme des UD – Somme des UA
30
Un mouvement
possible
Un autre mouvement
possible
Un classement
essentiel des
forces
Arrivée
A
Départ
D
R
Lieu choisi
comme
référence
Somme des Wnon cons + Somme des UD – Somme des UA
1
=
2
m vA2 –
1
2
m vD2
Aux deux membres on ajoute la somme des UA puis soustrait la somme des UD
1
1
2 –
m
v
m vD2 + Somme des UA – Somme des UD
W
Somme des
A
non cons =
2
2
1
variation
de
m v2 + variation de la somme des U
W
Somme des
non cons =
2
1
variation
de
m v2 + somme des U
Somme des Wnon cons =
2
31
Un mouvement
possible
Un autre mouvement
possible
Arrivée
A
Départ
D
R
Lieu choisi
comme
référence
nommé énergie mécanique
Somme des Wnon cons
= variation de
1
2
m v2
+ somme des U
Un classement
essentiel des
forces
Et pour un ensemble de corps ?
C’est très simple
1er corps
Somme des Wnon cons = variation de
1
2e corps
Somme des Wnon cons = variation de
corps
2
1
m v2
+ somme des U1
m v2
+ somme des U2
m v2
+ somme des Un
1 1
......
2
ne
1
Somme des Wnon cons = variation de
n
On additionne
somme selon les corps des
Somme des Wnon cons i
=
somme
selon les
corps des
variations de
2
1
2
1
2
2 2
n n
mi v2i + somme des Ui
Et pour un ensemble de corps ?
Comme la somme des variations est la variation de la somme
variation de
somme selon les corps des
Somme des Wnon cons i
=
somme
selon les
corps des
1
2
mi v2i + somme des Ui
Comme on peut faire les additions dans l’ordre que l’on veut
somme selon les corps des
Somme des Wnon cons i
variation
=
de
somme
selon les
corps des
1
2
mi v2i
+
somme
selon les
corps des
somme des U i
Cette équation exprime la loi de conservation de l’énergie
somme selon les corps des
Somme des Wnon cons i
=
somme
selon les
corps des
variations de
1
2
mi v2i + somme des Ui