Table des mati`eres

Table des mati`eres
1 Alg`ebre de Boole 3
1.1 Alg`ebresdeBoole ........................ 3
1.1.1 D´efinition......................... 3
1.1.2 Exemples ......................... 4
1.1.3 D´eveloppements et Simplifications en Alg`ebre de Boole 4
1.1.4 R`egles de Calcul dans les Alg`ebres de Boole . . . . . . 5
1.1.5 Principe de Dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 R`egles sur les ´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Les Fonctions Bool´eennes et leurs Formes Canoniques . . . . 6
1.2.1 D´efinitions ........................ 6
1.2.2 Indexation et Nombre de mintermes et maxtermes . . 7
1.2.3 Propri´et´es des mintermes et maxtermes . . . . . . . . 7
1.2.4 Formes canoniques d’une fonction bool´eenne . . . . . 8
1.2.4.1 Formes canoniques conjonctives et disjonctives 8
1.2.4.2 D´etermination des formes canoniques . . . . 8
1.2.4.2.1 D´etermination Alg´ebrique . . . . . . 9
1.2.4.2.2 Code des poids . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Passage d’une forme canonique `a une autre . . . . . . 9
1.2.6 Application aux calculs sur les ´egalit´es . . . . . . . . . 10
1.3 Simplification des fonctions Bool´eennes . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Diagrammes de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1.1 Diagrammes de Karnaugh pour 4 variables . 10
1.3.1.2 Diagrammes de Karnaugh pour 5 variables . 11
1.3.1.3 Utilisation des diagrammes de Karnaugh . . 11
1.3.2 M´ethode de Quine-Mc Cluskey . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2.1 M´ethode de Quine . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2.2 M´ethode de Mc Cluskey . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Les Fonctions bool´eennes sur variables binaires . . . . . . . . 17
1.4.1 D´efinitions ........................ 17
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1.4.2 Num´erotation des fonctions bool´eennes . . . . . . . . 17
Chapitre 1
Alg`ebre de Boole
1.1 Alg`ebres de Boole
1.1.1 D´efinition
D´efinition 1.1.1 Soit Bun ensemble contenant au moins deux ´el´ements
que l’on convient de noter 0et 1, et muni :
– D’une op´eration binaire appel´ee «somme »et not´ee +:
+ : B×B−→ B
(a, b)7→ a+b
– D’une op´eration binaire appel´ee «produit »et not´ee .:
.:B×B−→ B
(a, b)7→ a.b
– D’une op´eration unaire appel´ee «compl´ementation »et not´ee¯:
¯: B−→ B
a7→ ¯a
On dit que (B, +, .,¯) a une structure d’alg`ebre de Boole si les axiomes
de structure suivants sont v´erifi´es :
Axiome 1 : Les deux op´erations binaires sont commutatives :
∀a, b ∈B, a +b=b+a a.b =b.a
Axiome 2 : Les deux op´erations binaires sont associatives :
∀a, b, c ∈B, (a+b) + c=a+ (b+c) (a.b).c =a.(b.c)
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Axiome 3 : 0est un ´el´ement neutre pour +et 1est un ´el´ement neutre pour
.:
∀a∈B, a + 0 = a a.1 = a
Axiome 4 : Chaque op´eration binaire est distributive par rapport `a l’autre :
∀a, b, c ∈B, a + (b.c) = (a+b).(a+c)a.(b+c) = (a.b)+(a.c)
Axiome 5 : ∀a∈B, a + ¯a= 1 a.¯a= 0
1.1.2 Exemples
Exemple 1.1.2 Soient Eun r´ef´erentiel non vide, et P(E)l’ensemble des
parties de E. Si on prend B=P(E)comme ensemble et que l’on d´efinit les
op´erations
A+C=A∪C
A.C =A∩C
¯
A=CEA
alors (P(E),∪,∩,¯) est une alg`ebre de Boole.
Exemple 1.1.3 L’ensmble {0,1}muni des op´erations bool´eennes + et . est
une alg`ebre de Boole.
Exemple 1.1.4 Soit D10 l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 10.
D10 ={1,2,5,10}
Soient x, y ∈D10 . On pose
x+y= ppcm(x, y)
x.y = pgcd(x, y)
¯x=10
x
alors (D10,ppcm,pgcd,¯) est une alg`ebre de Boole.
1.1.3 D´eveloppements et Simplifications en Alg`ebre de Boole
Dans la pratique, on effectue les d´eveloppements comme en alg`ebre clas-
sique (dans R) et on donne la priorit´e `a l’op´erateur «produit »(«.»).
Les r`egles de suppression de parenth`eses sont les mˆemes que celles de
l’alg`ebre classique. Par exemple
–a+ (b.c) s’´ecrira a+bc (mais on aura toujours a+bc = (a+b)(a+c)
– (a.b)+(a.bc) s’´ecrira ab +abc
– (a+b).(c+d) s’´ecrira ac +ad +bc +bd.
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1.1.4 R`egles de Calcul dans les Alg`ebres de Boole
Th´eor`eme 1.1.5 ∀a∈B,aest l’unique ´el´ement de Bv´erifiant :
a+a= 1 et a.a = 0
Th´eor`eme 1.1.6 (Idempotence)
∀a∈B, a +a=aet a.a =a
Th´eor`eme 1.1.7 0 = 1 et 1 = 0
Th´eor`eme 1.1.8 ∀a∈B, a + 1 = 1 et a.0 = 0
Th´eor`eme 1.1.9 ∀a∈B, a =a
Th´eor`eme 1.1.10 (Absorption)
∀a, b ∈B, a +a.b =aet a.(a+b) = a
Th´eor`eme 1.1.11 (Redondance)
∀a, x, y ∈B, a.x +a.y =a.x +a.y +x.y
Th´eor`eme 1.1.12 (Lois de De Morgan)
∀a, b ∈B, a +b=a.b et a.b =a+b
1.1.5 Principe de Dualit´e
D´efinition 1.1.13 Dans une alg`ebre de Boole, tout r´esultat se pr´esente sous
deux formes duales. Etant donn´e un r´esultat (P), son dual (P∗)s’obtient en
permutant syst´ematiquement :
1. Les symboles op´eratoires +et .
2. Les ´el´ements neutres 0et 1
Corollaire 1.1.14 Soit Eun r´ef´erentiel. On a vu que (P(E),∩,∪,¯) a une
structure d’alg`ebre de Boole. D’apr`es le principe de dualit´e (P(E),∪,∩,¯) est
aussi une alg`ebre de Boole.
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1.1.6 R`egles sur les ´egalit´es
R`egle 1.1.15 ∀a, b, c ∈B
a=b⇒a+c=b+c
a=b⇒a.c =b.c
R`egle 1.1.16 ∀a, b, c ∈B
a+c=b+c
a.c =b.c ⇒a=b
R`egle 1.1.17 ∀a, b, c, d ∈B
a=b
c=d⇒a+c=b+d a.c =b.d
R`egle 1.1.18 ∀a, b ∈B, a =b⇔a=b
R`egle 1.1.19 ∀a, b ∈B
a.b = 1 ⇔a= 1 et b= 1
a+b= 0 ⇔a= 0 et b= 0
1.2 Les Fonctions Bool´eennes et leurs Formes Ca-
noniques
1.2.1 D´efinitions
D´efinition 1.2.1 Soit (B, +, .,¯) une alg`ebre de Boole. On appelle fonction
bool´eenne de nvariables, toute combinaison de ces variables au moyen des
trois op´erations bool´eennes +,.et¯.
Exemple 1 f(a, b, c) = a.b +c.(a.b +b)est une fonction bool´eenne des 3
variables a,bet c.
D´efinition 1.2.2 On appelle «minterme »de nvariables, l’un des produits
bool´eens de ces variables ou de leurs compl´ementaires. Chaque minterme est
affect´e d’un indice unique que l’on d´eterminera au paragraphe (1.2.2).
Exemple 2 Si on consid`ere 4variables a,b,cet d,
–m=a.b.c.d est un minterme,
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