Série 8: Enoncé

Introduction `a l’Astrophysique
S´erie 8: Enonc´e
Laboratoire d’Astrophysique http://lastro.epfl.ch
Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne
Semestre de printemps 2014
Exercice 1 : Nuage mol´eculaire en effondrement
Consid´ erons un mod` ele simple de cr´ eation d’une proto´ etoile par effondrement d’un
nuage mol´ eculaire.
Par la conservation du moment cin´ etique, la vitesse de rotation du nuage augmente
progressivement avec l’effondrement. La force centrip` ete r´ esultant de cette rotation fi-
nira par ´ equilibrer la gravitation, mettant fin ` a l’effondrement. La proto´ etoile aura alors
une forme de disque, dans un plan perpendiculaire ` a l’axe de rotation.
a) Nous voulons calculer le rayon “final” rfde la proto´ etoile, lorsque le nuage termi-
nera de se contracter. Partons de l’´ equation qui d´ ecrit l’´ equilibre mentionn´ e, dans
le cadre d’une trajectoire circulaire autour du centre du nuage :
ω2r=GMr
r2(1)
i. Dans cette ´ equation, nous voulons remplacer la vitesse de rotation ωpar une
fonction de la vitesse de rotation initiale ω0et d’un rayon initial r0. Exprimez
cette relation (i.e. la conservation du moment cin´ etique), en supposant que
le nuage passe d’une forme sph´ erique rigide (Is=2
5Mr2)`
a un disque rigide
(Id=1
2Mr2).
ii. Exprimez maintenant le rayon rfde la proto´ etoile en ´ equilibre, en fonction
du rayon initial, de la vitesse de rotation initiale, et de la masse totale du
nuage.
b) i. Calculez la vitesse angulaire initiale ω0pour un nuage de 1 M, d’un rayon
initial de 0.5 pc et d’un rayon final de 100 UA.
ii. Quelle est la vitesse initiale de rotation (en m s−1) au bord du nuage ?
iii. Quelle est la vitesse angulaire finale du disque ? Exprimez ce dernier r´ esultat
sous forme d’une p´ eriode en ann´ ees.
iv. V´ erifiez (de tˆ ete, directement avec les bonnes unit´ es !) que cette p´ eriode est
“tr` es compatible” avec la p´ eriode obtenue par application de la troisi` eme loi
de Kepler ` a la situation...
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S´ erie 8: Enonc´ e
Exercice 2 : Naines blanches et cosmochronologie
La fonction de luminosit´ e des naines blanches locales est un outil pr´ ecieux pour
d´ eterminer l’ˆ age de notre Galaxie. Si nous faisons l’hypoth` ese que notre Galaxie a tou-
jours exist´ e, alors nous devrions observer une fonction de luminosit´ e augmentant ind´ efiniment
pour les ´ etoiles de faibles luminosit´ es. Nous remarquons par la figure [1] que la fonc-
tion de luminosit´ e des naines blanches s’arrˆ ete abruptement en-dessous d’une luminosit´ e
≈10−4.4L. Ceci nous indique que notre Galaxie a bien eu une p´ eriode de formation.
FIGURE 1: Distribution th´ eorique et observationelle de la luminosit´ e des naines blanches.
a) A partir des mod` eles d’´ evolution stellaire, nous pouvons estimer le temps de vie
d’une ´ etoile de masse Mentre son arriv´ ee sur la s´ equence principale et la fin de
la phase de n´ ebuleuse plan´ etaire (quand la naine blanche apparaˆ ıt). L’´ equation
ci-dessous ´ evalue le temps de vie en ann´ ee τnp pour des ´ etoiles ayant une masse
0.6<(M/M)<10.
log τnp = 9.921 −3.6648 log M
M
+ 1.9697 log2M
M−0.9369 log3M M,(2)
la masse Mcorrespond ` a la masse originale de l’´ etoile sur la s´ equence principale.
Calculez le temps de vie τnp pour une ´ etoile la plus massive possible qui puisse
produire une naine blanche.
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S´ erie 8: Enonc´ e
b) Une fois que la phase de n´ ebuleuse plan´ etaire est termin´ ee, il ne reste plus qu’un
astre chaud, tr` es dense de la taille de la Terre, c’est une naine blanche. Avec le
temps, la naine blanche va refroidir puis cristalliser. Le temps de refroidissement
τnb d’une naine blanche de masse Mnb avec une luminosit´ eLest donn´ e en ann´ ee
par :
τnb = 8.8·106A
12−1Mnb M5/7µ 2−2/7L L−5/7
(3)
o` uAle nombre de masse atomique et µle poids mol´ eculaire moyen. Nous faisons
l’hypoth` ese que nous avons une naine blanche constitu´ ee essentiellement de car-
bone (µ=A= 12) avec une masse correspondant ` a la masse moyenne d’un tel
astre, soit Mnb ≈0.6M.
Utilisez le “cut-off” de luminosit´ e de la figure [1] pour calculer le temps de refroi-
dissement τnb. Estimez alors l’ˆ age du disque galactique.
c) Estimez l’ˆ age du halo galactique en supposons qu’on observe un “cut-off” dans
la fonction de distribution des naines blanches se trouvant dans le halo, ` a une
temp´ erature effective de Teff = 4000 K (i.e. on observe des naines blanches plus
chaudes, mais pas de naines blanches plus froides). Consid´ erez pour ceci des
naines blanches de rayon terrestre (Rnb ≈10−2R) et de masse moyenne Mnb ≈
0.6M, et utilisez la loi de Stefan-Boltzmann (sans l’employer de fac¸on absolue)
avant de revenir ` a l’´ equation (3).
Exercice 3 : SN 1987a
L’´ etoile Sk−69202 est le prog´ eniteur de la supernova SN 1987A. Elle se trouve dans
le Grand Nuage de Magellan, soit ` a une distance d= 50 kpc. La supernova SN 1987A a
´
et´ e produite par l’effondrement du coeur de l’´ etoile Sk−69202. C’est ce qui se passe en
fin de vie d’une ´ etoile massive. Durant cet effondrement la densit´ e du coeur devient si
´
elev´ ee (environ 1017 kg/m3) que les protons et les ´ electrons se combinent pour former
des neutrons, par exemple selon la r´ eaction :
p+e−→n+νe.
Les r´ eactions nucl´ eaires finissent par transformer le coeur en ´ etoile ` a neutrons. Lors de
la formation des neutrons, une ´ enorme quantit´ e de neutrinos νeest ainsi produite. Ces
neutrinos interagissent tr` es faiblement avec la mati` ere, et ils quittent donc l’´ etoile.
a) En supposant que la masse du coeur avant l’effondrement valait 2M, et que
le coeur ´ etait compos´ e de 50% de protons et de 50% de neutrons, estimez la
quantit´ e de neutrinos ´ emis lors de la cr´ eation de l’´ etoile ` a neutrons. Estimez le flux
de neutrinos (en nombre par m2) rec¸u sur Terre. (Ne consid´ erez que la r´ eaction
ci-dessus). La masse d’un neutron et d’un proton vaut mn'mp'1.67 ×10−27 kg.
b) Le flux de neutrino sur Terre provenant de SN 1987A est estim´ e` aN= 1.3×
1014 m−2. En comparant ceci avec la valeur obtenue au point pr´ ec´ edent, qu’en
d´ eduisez-vous ?
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S´ erie 8: Enonc´ e
c) L’´ energie moyenne par neutrino vaut approximativement Eν= 4.2MeV. Avec un
flux de neutrinos de N= 1.3×1014 m−2, calculez l’´ energie lib´ er´ ee sous forme
de neutrinos durant l’explosion de la supernova SN 1987A. Exprimez la en Joules,
sachant que 1 eV= 1.602 ×10−19 J.
d) Dans un autre type de supernova, appel´ e supernova de type Ia, le sc´ enario est
compl` etement diff´ erent. En effet, dans ce cas, il s’agit d’une naine blanche qui
accr` ete de la mati` ere d’une ´ etoile voisine et qui finit par atteindre la masse cri-
tique de Chandrasekhar de 1.4M. Une fois cette limite atteinte, la naine blanche
s’effondre sous son propre poids. Ceci induit un collapse de l’´ etoile qui chauffe for-
tement en son centre, puis amorce des r´ eactions de fusion nucl´ eaire en chaˆ ıne qui
d´ etruisent la naine blanche dans une formidable explosion. En utilisant l’´ equation
Ug' − GM2
R,(4)
estimez l’´ energie gravitationnelle d’une naine blanche d’une masse M= 1.4M
et d’un rayon R= 1RT= 6380 km. Ceci permettra d’estimer l’´ energie n´ ecessaire
`
a la destruction de la naine blanche. Comparez ce r´ esultat ` a l’´ energie lib´ er´ ee sous
forme de neutrinos durant l’explosion de SN 1987A.
Exercice 4 : Absorption dans les amas ouverts
Deux amas ouverts, vus l’un ` a cˆ ot´ e de l’autre dans la direction du plan galactique,
ont un diam` etre angulaire de θ=αet θ= 3αet un module de distance de 16.0
et 11.0 mag, respectivement. En faisant l’hypoth` ese que leurs diam` etres lin´ eaires sont
´
egaux, d´ eterminez leur distance ainsi que le taux d’absorption par unit´ e de distance
a=A/r (avec A=absoption totale et r=distance en kpc). Quelles distances auriez-
vous d´ eduits si vous n’aviez pas tenu compte de l’absorption ? (Notez que les amas sont
tous deux absorb´ es par la poussi` ere.)
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