Série 8: Enoncé

Introduction à l’Astrophysique
Série 8: Enoncé
Laboratoire d’Astrophysique http://lastro.epfl.ch
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Semestre de printemps 2014
Exercice 1 : Nuage moléculaire en effondrement
Considérons un modèle simple de création d’une protoétoile par effondrement d’un
nuage moléculaire.
Par la conservation du moment cinétique, la vitesse de rotation du nuage augmente
progressivement avec l’effondrement. La force centripète résultant de cette rotation finira par équilibrer la gravitation, mettant fin à l’effondrement. La protoétoile aura alors
une forme de disque, dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation.
a) Nous voulons calculer le rayon “final” rf de la protoétoile, lorsque le nuage terminera de se contracter. Partons de l’équation qui décrit l’équilibre mentionné, dans
le cadre d’une trajectoire circulaire autour du centre du nuage :
ω2r = G
Mr
r2
(1)
i. Dans cette équation, nous voulons remplacer la vitesse de rotation ω par une
fonction de la vitesse de rotation initiale ω0 et d’un rayon initial r0 . Exprimez
cette relation (i.e. la conservation du moment cinétique), en supposant que
le nuage passe d’une forme sphérique rigide (Is = 52 M r2 ) à un disque rigide
(Id = 12 M r2 ).
ii. Exprimez maintenant le rayon rf de la protoétoile en équilibre, en fonction
du rayon initial, de la vitesse de rotation initiale, et de la masse totale du
nuage.
b)
i. Calculez la vitesse angulaire initiale ω0 pour un nuage de 1 M , d’un rayon
initial de 0.5 pc et d’un rayon final de 100 UA.
ii. Quelle est la vitesse initiale de rotation (en m s−1 ) au bord du nuage ?
iii. Quelle est la vitesse angulaire finale du disque ? Exprimez ce dernier résultat
sous forme d’une période en années.
iv. Vérifiez (de tête, directement avec les bonnes unités !) que cette période est
“très compatible” avec la période obtenue par application de la troisième loi
de Kepler à la situation...
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Exercice 2 : Naines blanches et cosmochronologie
La fonction de luminosité des naines blanches locales est un outil précieux pour
déterminer l’âge de notre Galaxie. Si nous faisons l’hypothèse que notre Galaxie a toujours existé, alors nous devrions observer une fonction de luminosité augmentant indéfiniment
pour les étoiles de faibles luminosités. Nous remarquons par la figure [1] que la fonction de luminosité des naines blanches s’arrête abruptement en-dessous d’une luminosité
≈ 10−4.4 L . Ceci nous indique que notre Galaxie a bien eu une période de formation.
F IGURE 1: Distribution théorique et observationelle de la luminosité des naines blanches.
a) A partir des modèles d’évolution stellaire, nous pouvons estimer le temps de vie
d’une étoile de masse M entre son arrivée sur la séquence principale et la fin de
la phase de nébuleuse planétaire (quand la naine blanche apparaı̂t). L’équation
ci-dessous évalue le temps de vie en année τnp pour des étoiles ayant une masse
0.6 < (M/M ) < 10.
M
log τnp = 9.921 − 3.6648 log
M
M
M
2
3
+ 1.9697 log
− 0.9369 log
,
(2)
M
M
la masse M correspond à la masse originale de l’étoile sur la séquence principale.
Calculez le temps de vie τnp pour une étoile la plus massive possible qui puisse
produire une naine blanche.
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b) Une fois que la phase de nébuleuse planétaire est terminée, il ne reste plus qu’un
astre chaud, très dense de la taille de la Terre, c’est une naine blanche. Avec le
temps, la naine blanche va refroidir puis cristalliser. Le temps de refroidissement
τnb d’une naine blanche de masse Mnb avec une luminosité L est donné en année
par :
τnb = 8.8 · 106
A
12
−1 Mnb
M
5/7 µ −2/7 L −5/7
2
L
(3)
où A le nombre de masse atomique et µ le poids moléculaire moyen. Nous faisons
l’hypothèse que nous avons une naine blanche constituée essentiellement de carbone (µ = A = 12) avec une masse correspondant à la masse moyenne d’un tel
astre, soit M nb ≈ 0.6M .
Utilisez le “cut-off” de luminosité de la figure [1] pour calculer le temps de refroidissement τnb . Estimez alors l’âge du disque galactique.
c) Estimez l’âge du halo galactique en supposons qu’on observe un “cut-off” dans
la fonction de distribution des naines blanches se trouvant dans le halo, à une
température effective de Teff = 4000 K (i.e. on observe des naines blanches plus
chaudes, mais pas de naines blanches plus froides). Considérez pour ceci des
naines blanches de rayon terrestre (Rnb ≈ 10−2 R ) et de masse moyenne M nb ≈
0.6M , et utilisez la loi de Stefan-Boltzmann (sans l’employer de façon absolue)
avant de revenir à l’équation (3).
Exercice 3 : SN 1987a
L’étoile Sk−69202 est le progéniteur de la supernova SN 1987A. Elle se trouve dans
le Grand Nuage de Magellan, soit à une distance d = 50 kpc. La supernova SN 1987A a
été produite par l’effondrement du coeur de l’étoile Sk−69202. C’est ce qui se passe en
fin de vie d’une étoile massive. Durant cet effondrement la densité du coeur devient si
élevée (environ 1017 kg/m3 ) que les protons et les électrons se combinent pour former
des neutrons, par exemple selon la réaction :
p + e− → n + νe .
Les réactions nucléaires finissent par transformer le coeur en étoile à neutrons. Lors de
la formation des neutrons, une énorme quantité de neutrinos νe est ainsi produite. Ces
neutrinos interagissent très faiblement avec la matière, et ils quittent donc l’étoile.
a) En supposant que la masse du coeur avant l’effondrement valait 2 M , et que
le coeur était composé de 50% de protons et de 50% de neutrons, estimez la
quantité de neutrinos émis lors de la création de l’étoile à neutrons. Estimez le flux
de neutrinos (en nombre par m2 ) reçu sur Terre. (Ne considérez que la réaction
ci-dessus). La masse d’un neutron et d’un proton vaut mn ' mp ' 1.67 × 10−27 kg.
b) Le flux de neutrino sur Terre provenant de SN 1987A est estimé à N = 1.3 ×
1014 m−2 . En comparant ceci avec la valeur obtenue au point précédent, qu’en
déduisez-vous ?
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c) L’énergie moyenne par neutrino vaut approximativement Eν = 4.2 MeV. Avec un
flux de neutrinos de N = 1.3 × 1014 m−2 , calculez l’énergie libérée sous forme
de neutrinos durant l’explosion de la supernova SN 1987A. Exprimez la en Joules,
sachant que 1 eV= 1.602 × 10−19 J.
d) Dans un autre type de supernova, appelé supernova de type Ia, le scénario est
complètement différent. En effet, dans ce cas, il s’agit d’une naine blanche qui
accrète de la matière d’une étoile voisine et qui finit par atteindre la masse critique de Chandrasekhar de 1.4 M . Une fois cette limite atteinte, la naine blanche
s’effondre sous son propre poids. Ceci induit un collapse de l’étoile qui chauffe fortement en son centre, puis amorce des réactions de fusion nucléaire en chaı̂ne qui
détruisent la naine blanche dans une formidable explosion. En utilisant l’équation
Ug ' −
GM 2
,
R
(4)
estimez l’énergie gravitationnelle d’une naine blanche d’une masse M = 1.4 M
et d’un rayon R = 1RT = 6380 km. Ceci permettra d’estimer l’énergie nécessaire
à la destruction de la naine blanche. Comparez ce résultat à l’énergie libérée sous
forme de neutrinos durant l’explosion de SN 1987A.
Exercice 4 : Absorption dans les amas ouverts
Deux amas ouverts, vus l’un à côté de l’autre dans la direction du plan galactique,
ont un diamètre angulaire de θ = α et θ = 3α et un module de distance de 16.0
et 11.0 mag, respectivement. En faisant l’hypothèse que leurs diamètres linéaires sont
égaux, déterminez leur distance ainsi que le taux d’absorption par unité de distance
a = A/r (avec A = absoption totale et r = distance en kpc). Quelles distances auriezvous déduits si vous n’aviez pas tenu compte de l’absorption ? (Notez que les amas sont
tous deux absorbés par la poussière.)
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