Série 8: Enoncé

Introduction à l’Astrophysique
Série 8: Enoncé
Laboratoire d’Astrophysique http://lastro.epfl.ch
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Semestre de printemps 2011
Exercice 1 : Nuage moléculaire en effondrement
Considérons un modèle simple de création d’une protoétoile par effondrement d’un
nuage moléculaire en rotation.
Par la conservation du moment cinétique, la vitesse de rotation du nuage augmente
progressivement avec l’effondrement. La force centripète résultant de cette rotation finira par équilibrer la gravitation, mettant fin à l’effondrement. La protoétoile aura alors
une forme de disque, dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation.
a) Nous voulons calculer le rayon “final” rf de la protoétoile, lorsque le nuage terminera de se contracter. Partons de l’équation qui décrit l’équilibre mentionné, dans
le cadre d’une trajectoire circulaire autour du centre du nuage :
ω2r = G
Mr
r2
(1)
i. Dans cette équation, nous voulons remplacer la vitesse angulaire ω par une
fonction de la vitesse angulaire initiale ω0 et d’un rayon initial r0 . Exprimez
cette relation (i.e. la conservation du moment cinétique), en supposant que
le nuage passe d’une forme sphérique rigide (Is = 25 M r2 ) à un disque rigide
(Id = 12 M r2 ).
ii. Exprimez maintenant le rayon rf de la protoétoile en équilibre, en fonction
du rayon initial, de la vitesse angulaire initiale, et de la masse totale du nuage.
b)
i. Calculez la vitesse angulaire initiale ω0 pour un nuage de 1 M , d’un rayon
initial de 0.5 pc et d’un rayon final de 100 UA.
ii. Quelle est la vitesse initiale de rotation (en m s−1 ) au bord du nuage ?
iii. Quelle est la vitesse angulaire finale du disque ? Exprimez ce dernier résultat
sous forme d’une période en années.
iv. Vérifiez (de tête, directement avec les bonnes unités !) que cette période est
“très compatible” avec la période obtenue par application de la troisième loi
de Kepler à la situation...
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Exercice 2 : Naines blanches et cosmochronologie
La fonction de luminosité des naines blanches locales est un outil précieux pour
déterminer l’âge de notre Galaxie. Si nous faisons l’hypothèse que notre Galaxie a toujours existé, alors nous devrions observer une fonction de luminosité augmentant indéfiniment
pour les étoiles de faibles luminosités. Nous remarquons par la figure [1] que la fonction de luminosité des naines blanches s’arrête abruptement en-dessous d’une luminosité
≈ 10−4.4 L . Ceci nous indique que notre Galaxie a bien eu une période de formation.
F IG . 1: Distribution théorique et observationelle de la luminosité des naines blanches.
a) A partir des modèles d’évolution stellaire, nous pouvons estimer le temps de vie
d’une étoile de masse M entre son arrivée sur la séquence principale et la fin de
la phase de nébuleuse planétaire (quand la naine blanche apparaı̂t). L’équation
ci-dessous évalue le temps de vie en année τnp pour des étoiles ayant une masse
0.6 < (M/M ) < 10.
M
log τnp = 9.921 − 3.6648 log
M
M
M
2
3
+ 1.9697 log
− 0.9369 log
,
(2)
M
M
la masse M correspond à la masse originale de l’étoile sur la séquence principale.
Calculez le temps de vie τnp pour une étoile la plus massive possible qui puisse
produire une naine blanche.
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b) Une fois que la phase de nébuleuse planétaire est terminée, il ne reste plus qu’un
astre chaud, très dense de la taille de la Terre, c’est une naine blanche. Avec le
temps, la naine blanche va refroidir puis cristalliser. Le temps de refroidissement
τnb d’une naine blanche de masse Mnb avec une luminosité L est donné en année
par :
τnb = 8.8 · 106
A
12
−1 Mnb
M
5/7 µ −2/7 L −5/7
2
L
(3)
où A le nombre de masse atomique et µ le poids moléculaire moyen. Nous faisons
l’hypothèse que nous avons une naine blanche constituée essentiellement de carbone (µ = A = 12) avec une masse correspondant à la masse moyenne d’un tel
astre, soit M nb ≈ 0.6M .
Utilisez le “cut-off” de luminosité de la figure [1] pour calculer le temps de refroidissement τnb . Estimez alors l’âge du disque galactique.
c) Estimez l’âge du halo galactique en supposons qu’on observe un “cut-off” dans
la fonction de distribution des naines blanches se trouvant dans le halo, à une
température effective de Teff = 4000 K (i.e. on observe des naines blanches plus
chaudes, mais pas de naines blanches plus froides). Considérez pour ceci des
naines blanches de rayon terrestre (Rnb ≈ 10−2 R ) et de masse moyenne M nb ≈
0.6M , et utilisez la loi de Stefan-Boltzmann (sans l’employer de façon absolue)
avant de revenir à l’équation (3).
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