Extensions des corps - IMJ-PRG

Chapitre 2
Extensions de corps :
g´en´eralit´es
Tous les corps consid´er´es dans ce cours sontcommutatifs.
2.1 Th´eorie de base
Rappel :La caract´eristique d’un corps est soit z´ero, soit un nombre premier.
D´efinition 2.1.1. Si Ket Lsontdes corps, on appelle morphisme de corps
tout morphisme d’anneau f:K→L.Un tel morphisme est injectif et aussi
appel´eextension de K.Le degr´ede l’extension, not´e[L:K]est la dimension
de Lcomme espace vectoriel sur K.
Proposition 2.1.2. a) Si Kest un corps de caract´eristique nulle, alors il
existe une unique extension f:Q→K.
b) Si Kest un corps de caract´eristique p>0,alors il existe une unique
extension f:Fp=Z/pZ→K.
D´efinition 2.1.3. L’image de l’homorphisme pr´ec´edents’appelle le sous-
corps premier de K:c’est le plus petit sous-corps de K.
Proposition 2.1.4 (Tour d’extensions).Soit f:K→L,g:L→Eune
tour d’extension,alors le degr´e[E:K]est fini si et seulement si [E:L]et
[L:K]le sont, et :
[E:K]=[E:L][L:K].
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2.2 Construction d’extensions
2.2.1 Corps de rupture d’un polynˆome irr´eductible
Soit P∈K[X]un polynˆome irr´eductible, alors K[X]/(P)est un corps.
Proposition 2.2.1. L’extension K→K[X]/(P),avecP∈K[X]polynˆome
irr´eductible, est une extension de degr´edeg(P).
2.2.2 Adjonction d’´el´ements
Soit f:K→Lune extension de corps, et α∈L.On note K(α)le plus
petit sous-corps de Lqui contientf(K)et α;on l’appelle extension de K
engendr´ee par α.On d´efinit de mˆeme l’extension K→K(A)engendr´ee par
une partie A⊂L.
D´efinition 2.2.2. Une extension est de typefinie si et seulementsi elle est
engendr´ee par une partie finie. Une extension est simple si et seulementsi
elle est engendr´ee par un ´el´ement(appel´e´el´ementprimitif).
2.3 Alg´ebricit´e
Proposition 2.3.1. Soit f:K→L=K(α)une extension simple, alors il
ya ´equivalenceentre:
a) l’extension est de degr´efinie ;
b) l’anneau K[α]est ´egal au corps K(α);
c) l’id´eal annulateur de α:Iα={P∈K[X],P(α)=0}est non trivial.
23/09/2011
Remarques 2.3.2.1. Lorsque l’id´eal annulateur de αest non trivial, il est en-
gendr´epar un polynˆome irr´eductible unitaire Pαappel´ele polynˆome minimal
de αet K[X]/(Pα)est isomorphe `a K(α).
2. Siαet βontle mˆeme polynˆome minimal, alors les extensions K→K(α)
et K→K(β)sontisomorphes.
D´efinition 2.3.3. a) Avec les hypoth`eses pr´ec´edentes, l’´el´ementαest
alg´ebrique sur Ksi et seulements’il satisfait les conditions ´equivalentes de
la proposition ;dans le cas contraire, αest dit transcendant.
b) Une extension f:K→Lest alg´ebrique si et seulementsi tous les ´el´ements
de Lsontalg´ebriques sur K.
Th´eor`eme 2.3.4. Les ´el´ements de Lalg´ebriques sur Kforment un sous-
corps de L.
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2.4 Corps de d´ecomposition
D´efinition 2.4.1. Soit Q∈K[X]un polynˆome unitaire, et f:K→Lune
extension. On dit que Lest un corps de d´ecomposition de Qsi et seulement
si :
a) f(Q)est scind´edans Let
b) l’extension Lest engendr´ee par les racines de Q.
Th´eor`eme 2.4.2. Soit Q∈K[X]un polynˆome unitaire, alors il existe une
extension qui est un corps de d´ecomposition de K,et deux telles extensions
sont isomorphes.
2.5 Corps cyclotomiques
On note ζn=ei2π
n∈C.
Proposition 2.5.1. Le corps Q(ζn)est le corps de d´ecomposition du po-
lynˆome Xn−1.
D´efinition 2.5.2. Le corps Q(ζn)est appel´ecorps cyclotomique des racines
n-i`emes de l’unit´e.
Polynˆomes cyclotomiques
D´efinition 2.5.3. On appelle racine primitiven-i`eme de l’unit´etout
g´en´erateur du groupeUn⊂Cdes racines n-i`emes de 1. Ce sontles ´el´ements
d’ordre nde C∗.
D´efinition 2.5.4. Le polynˆome cyclotomique Φn∈C[X]est le polynˆome
unitaire dontles racines sontles racines primitives n-i`emes de 1:
Φn=Y
0≤k<n
PGCD(k,n)=1
(X−ζk
n).
Th´eor`eme 2.5.5. Lepolynˆome cyclotomique Φnest `a coefficients entiers et
il est irr´eductible sur Q.
Corollaire 2.5.6. Ledegr´ede l’extension Q→Q(ζ)est l’indicateur d’Euler
φ(n)=card((Z/nZ)×)=deg(Φn).
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2.6 Corps finis
Soit Fun corps fini de caract´eristique p,et de cardinal q,alors Fest une
extension de Fp=Z/pZ.On aq=pm,o`um=[F:Fp].
Th´eor`eme 2.6.1. Soit q=pm,m≥1.Un corps de d´ecomposition sur Fp
du polynˆome Xq−Xest un corps fini `a q´el´ements, et tout corps commutatif
`a q´el´ements lui est isomorphe.
Remarques 2.6.2.1. L’isomorphisme pr´ec´edentn’est pas canonique.
2. L’hypoth`ese de commutativit´en’est pas n´ecessaire :Tout corps fini est
commutatif (th´eor`eme de Wedderburn). 28/09/2011
Exercice2.6.3.a) Montrer que tout sous-groupefini du groupemultiplicatif
d’un corps commutatif est cyclique.
b) Montrer que toute extension entre corps finis est simple : il existe un
´el´ementprimitif.
Exercice2.6.4.a) Montrer que s’il existe une extension F→F′entre deux
corps finis de caract´eristique p,de cardinaux respectifs q=pdet q′=pn,
alors ddivise n.
c) Soit Fqest un corps de caract´eristique p`a q=pn´el´ements. Montrer que
si ddivise n,alors Fqcontientun unique sous-corps `a pd´el´ements.
Polynˆomes irr´eductibles sur Fp
Proposition 2.6.5. Tout polynˆome irr´eductible de degr´ed`a coefficients dans
le corps Fp=Z/pZdivise Xpd−X.
Proposition 2.6.6. Pour ppremier et d>0,soit np(d)le nombrede po-
lynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´edsur Fp=Z/pZ,alors :
pn=X
d|n
dnp(d).
2.7 Corps alg´ebriquementclˆos, clˆoture
alg´ebrique
D´efinition 2.7.1. a) Un corps commutatif Lest alg´ebriquementclos si et
seulementsi tout polynˆome `a coefficients dans La aumoins une racine dans
L.
b) Un clˆoture alg´ebrique d’un corps commutatif Kest une extension
alg´ebrique qui est alg´ebriquementclose.
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Etantdonn´eune extension K→L,la fermeture alg´ebrique de Kdans Lest
l’ensemble Kalg,L des ´el´ements de Lalg´ebriques sur K.C’est un sous-corps
de L.
Proposition 2.7.2. Si Lest alg´ebriquement clos, alors la fermeture
alg´ebrique de Kdans Lest une clˆoturealg´ebrique de K.
Corollaire 2.7.3. Le corps des nombres alg´ebriques Q=Qalg,L est une
clˆoturealg´ebrique de Q.
Clˆoture alg´ebrique de Fp
Pour ppremier on pose K1=Fp,et pour n≥2on d´efinit l’extension
Kn−1→Kncomme corps de d´ecomposition de Xpn!−X;Knest un corps `a
pn!´el´ements.
Proposition 2.7.4. En identifiant Kn−1`a son image dans Kn,la r´eunion
Fp=∪nKnest une clˆoturealg´ebrique de Fp.
Existence d’une clˆoture alg´ebrique
Th´eor`eme 2.7.5. Soient f:K→Lune extension alg´ebrique, et g:K→E
une extension de Kalg´ebriquement close.
a) Il existe une extension h:L→Equi prolonge f.
b) Si l’extension gest alg´ebrique, alors hest un isomorphisme.
Th´eor`eme 2.7.6. Tout corps commutatif Kadmet une clˆoturealg´ebrique,
et deux telles clˆotures sont (non canoniquement) isomorphes (comme K-
alg`ebre).
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