Mouvement de particules chargées dans E et B

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Mouvement de particules chargées dans E et B
I Force de Lorentz
A) Expression
On considère une particule chargée q en M dans un champ électromagnétique
 
E, B .
A tout instant t et en tout point P de l’espace, on observe un champ électrique


E ( P, t ) et magnétique B ( P, t ) .
Soit (R) un référentiel.
Cette particule est soumise à une force électromagnétique, appelée force de




Lorentz : F  q( E ( M , t )  vM /( R )  B( M , t )) .




F  qE ( M , t )  qvM /( R )  B( M , t )



 

 

f magnétique
f électrique
B) Travail de la force de Lorentz

Pour un déplacement infinitésimal dM de la charge q :


WLorentz  FLorentz  dM





 qE ( M , t )  dM  q(vM /( R )  B( M , t ))  d
M

vM /( R ) dt


 qE ( M , t )  dM
Ainsi, la force électromagnétique ne travaille pas.


On suppose que E est un champ électrostatique. Alors E  grad V .

Donc WLorentz  qgrad M V  dM  q.dV  d (qV )

Donc FLorentz est conservative, et dérive d’une énergie potentielle E p  qV .
Exemple :

Si (R) est galiléen, q soumise uniquement à FLorentz , on a, d’après le théorème de
l’énergie cinétique :
dEC  WLorentz  d (qV )
Soit d ( 12 mv2  qV ( M ))  0

Em
V0
V 0  1V
B
A
Charge q  e (électron) allant de A à B.
donc E m ( A)  E m ( B)
1 2 1 2
mvB  mv A  eV ( B)  eV ( A)  e  1V( 1eV)
2
2
EC ( B)  EC ( A)  1eV , énergie acquise par un électron soumis à une différence de
potentiel de 1V.

E uniforme et stationnaire
A) Equation horaire du mouvement
II Mouvement dans
On se place dans (R) galiléen, on considère une charge ponctuelle q en M.


On suppose E uniforme et stationnaire (qui ne dépend ni de P ni de t) = E0 .
 
Et B  0
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen :



dv M /( R )
dv M /( R ) q 
m
 qE0 
 E0 uniforme et stationnaire.
dt
dt
m

Analogie avec le mouvement dans g uniforme :


qE 0
qE0 2 


v M /( R ) 
t  v0 , et OM 
t  v0 t  OM 0 .
m
2m


La trajectoire est donc parabolique si v0 et E0 sont non colinéaires :

v0
q0
q0 
v0

E0
V croissants


Si E0 et v0 sont colinéaires, on a un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
B) Application – oscilloscope
Condensateur : on suppose ici V1 indépendant du temps.
ze z
z1 
O v0
V1

E
L
écran

v1
x
l
D
On envoie un faisceau homocinétique (avec la même vitesse) d’électrons sur l’axe


(Ox avec une vitesse initiale v0  v0 i .
Champ dans le condensateur :
V  az  b (car le champ est uniforme).


V 0 
V 
Donc E  grad V  ak   1
k  1k
l
l
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron dans ( Rlab )
galiléen :


dv
m
 eE
dt

On note v1 la vitesse de sortie, z1 la côte de l’électron à la sortie du condensateur.
L
Durée de traversée : t 
v0



 
dv 
 i  0 , soit v  i  v0  cte )
( E n’a pas de composante selon i , donc m
dt

  1  eE 2 
 
z1  OM 1  k  
t  v0 t  OM 0   k
2 m

eV
1
 t 2 1
2
m.l
1 eV1 L2

2 v02 m.l


  eE

 eLE 
v1 
t  v0 
 v0
m
mv0
On note t ' le temps nécessaire ensuite pour arriver sur l’écran :
t ' 

D
(on a toujours v0 comme composante de la vitesse selon i )
v0
eV1 L D
eV1 L D 1 eV1 L2 eV1 L
L
Ainsi, z e  z1  v1z t ' 
, d’où z e 


(D  ) .
2
2
mv0 .l v0 2 mv0 .l mv0 .l
2
mv0 .l v0
Donc z e est proportionnel à V1 .
Schéma de principe de l’oscilloscope :

k

i
V1

j
V  at  b périodique
T
III
t

B
Mouvement dans
uniforme – permanent
A) Pulsation synchrotron
On travaille dans un référentiel (R) galiléen.

 
 
On considère une charge q en M dans le champ B  B0  B0 k , et E  0
z
x

B0
y
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen :



dv
 
qB0 
dv

v .
m
 qv  B0 , soit
dt
m
dt


  qB0
qB
 k (   0 )
On note  
m
m

 s’appelle la pulsation synchrotron.
On a :

 

v    OM  cte ; v0    OM 0  cte
0
x  x0
 


Donc v    M 0 M  v0  0  y  y 0  v0 .
  z  z0
On a alors le système :
 x  ( y  y 0 )  v0 x  ( y  Y0 ) (1)

 y  ( x  x0 )  v0 y  ( x  X 0 ) (2)
 z  v  cte
oz

(1)  x  y  (( x  X 0 ))   2 ( x  X 0 )
d 2 (x  X 0 )
 2 (x  X 0 )  0
Donc
2
dt
Donc x  X 0  R cos(.t   ) , avec R  0
On reporte dans (1) :  R sin( .t   )  ( y  Y0 )
Donc y  Y0  R sin( .t   ) .
Ainsi,
 x  X 0  R cos( .t   )

 y  Y0  R sin( .t   )
z  v t  z
oz
0

H
z
M
O
y
N
x
On note H la projection orthogonale de M sur (Oz . Ainsi, z H  v0 z t  z 0 .
On note aussi N le projeté orthogonal de M sur xOy . Ainsi :
 x N  X 0  R cos( .t   )

 y N  Y0  R sin( .t   )
Donc H décrit un mouvement rectiligne uniforme sur l’axe (Oz , et M un
X0
mouvement circulaire uniforme de centre A
, de rayon R et de pulsation   .
Y0
Avec q  0, B0  0 :

B0
A
R
2
2

m

qB0
T

Ainsi, si v0  0 , M décrit un mouvement hélicoïdal d’axe parallèle à k :
z

B0
O
y
h
x
M
Pas h de l’hélice : h  v0 z T  v0 z
2m
qB0
Si v0 z  0 , on a un mouvement circulaire uniforme
2
v xOy
 x 2  y 2  R 2  2 sin 2 (.t   )  R 2  2 cos 2 (.t   )
 R 2  2  cte
Donc v xOy  R 
qB0 R
m
Soit m.v xOy  qB0 R
B) Applications
1) Spectrographe/spectromètre de masse
m1v0
z R1  qB
0

v0
R2 
m 2 v0
qB0

i
O
m1 m2
Ions de même charge q et de masses m1 et m2
différentes (comme des isotopes par exemple)
On a donc séparation des isotopes, qui sont pourtant de même charge.
2) Cyclotron

v1

v2
O

E

v3
R1

i


On suppose que E  E0 cos(.t )i .
En dehors du condensateur, de faible épaisseur, on a un champ magnétique


B  B0 k , uniforme et permanent.
On émet des particules de charge q à t  0 , à l’intérieur du condensateur (en
 
O), avec une vitesse initiale v0  0 .
On prend par exemple q  0 :
mv
R1  1
qB0

Si on choisit    , le champ E change de sens à chaque passage.
mv2
Ainsi, R2 
(avec v2  v1 )
qB0
Lorsque la particule sort du système (de rayon R ), elle aura une vitesse
finale v telle que :
mv
  qB0 R
P
On peut vérifier en faisant les mêmes calculs qu’en relativité restreinte, on a
1
mv
la même relation en considérant que P   .mv 
1 v2 / c2
(La relation fondamentale de la dynamique est toujours valable, à condition

 dP
d’écrire  F 
)
dt
Application numérique :
B0  1T ; R  10m ; q  1,6.10 19 C ; m  1,6.10 27 kg
Ainsi,  .v  10 9 m.s 1 , d’où v  0,95  c !!
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