Mouvement de particules chargées dans E et B

I Force de Lorentz
A) Expression
On considère une particule chargée q en M dans un champ électromagnétique
BE ,
.
A tout instant t et en tout point P de l’espace, on observe un champ électrique
),( tPE
et magnétique
),( tPB
.
Soit (R) un référentiel.
Cette particule est soumise à une force électromagnétique, appelée force de
Lorentz :
)),(),(( )/( tMBvtMEqF RM
.
magnétique
électrique
),(),( )/(
f
RM
f
tMBvqtMEqF 
B) Travail de la force de Lorentz
Pour un déplacement infinitésimal
Md 
de la charge q :
MdtMEq
MdtMBvqMdtMEq
MdFW
dtv
RM
RM
),(
)),((),(
)/(
)/(
LorentzLorentz
Ainsi, la force électromagnétique ne travaille pas.
On suppose que
E
est un champ électrostatique. Alors
VE grad
.
Donc
)(.grad
Lorentz qVddVqMdVqW M 
Donc
Lorentz
F
est conservative, et dérive d’une énergie potentielle
qVEp
.
Exemple :
Si (R) est galiléen, q soumise uniquement à
Lorentz
F
, on a, d’après le théorème de
l’énergie cinétique :
)(
Lorentz qVdWdEC
Soit
0))(( 2
2
1   
m
E
MqVmvd
V1
0V
0
V
AB
Charge
eq 
(électron) allant de A à B.
donc
)()( BEAE mm 
)eV1(V1)()(
2
1
2
122  eAeVBeVmvmv AB
eV1)()(  AEBE CC
, énergie acquise par un électron soumis à une différence de
potentiel de 1V.
II Mouvement dans
E
uniforme et stationnaire
A) Equation horaire du mouvement
On se place dans (R) galiléen, on considère une charge ponctuelle q en M.
On suppose
E
uniforme et stationnaire (qui ne dépend ni de P ni de t) =
0
E
.
Mouvement de particules chargées dans E et B

Et
0
B
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen :
0
)/(
0
)/( E
m
q
dt
vd
Eq
dt
vd
mRMRM 
uniforme et stationnaire.
Analogie avec le mouvement dans
g
uniforme :
0
0
)/( vt
m
Eq
vRM
, et
00
2
0
2OMtvt m
Eq
OM  
.
La trajectoire est donc parabolique si
0
v
et
0
E
sont non colinéaires :
V croissants
0q
0
v
0
E
0
v
0q
Si
0
E
et
0
v
sont colinéaires, on a un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
B) Application – oscilloscope
Condensateur : on suppose ici
1
V
indépendant du temps.
z
x
L D
écran
0
v
l
1
V
E
1
v
O
1
z
e
z
On envoie un faisceau homocinétique (avec la même vitesse) d’électrons sur l’axe
Ox(
avec une vitesse initiale
ivv 
00 
.
Champ dans le condensateur :
bazV
(car le champ est uniforme).
Donc
k
l
V
k
l
V
kaVE 
11 0
grad 
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron dans
)( lab R
galiléen :
Ee
dt
vd
m
On note
1
v
la vitesse de sortie,
1
z
la côte de l’électron à la sortie du condensateur.
Durée de traversée :
0
v
L
t
(
E
n’a pas de composante selon
i
, donc
0 i
dt
vd
m
, soit
cte
0 viv 
)
lmv LeV lm
eV
t
kOMtvt
mEe
kOMz
.
2
1.2
1
2
1
2
0
2
1
1
2
00
2
11
0
0
01 v
mvEeL
vt
mEe
v
On note
't
le temps nécessaire ensuite pour arriver sur l’écran :

0
'v
D
t
(on a toujours
0
v
comme composante de la vitesse selon
i
)
Ainsi,
00
1
11 .
'v
D
lmv LeV
tvzz z
e
, d’où
)
2
(
..
2
1
.2
0
1
2
0
2
1
00
1L
D
lmv LeV lmvLeV
v
D
lmv LeV
ze
.
Donc
e
z
est proportionnel à
1
V
.
Schéma de principe de l’oscilloscope :
1
V
batV
i
k
j
périodique
t
T
III Mouvement dans
B
uniforme – permanent
A) Pulsation synchrotron
On travaille dans un référentiel (R) galiléen.
On considère une charge q en M dans le champ
kBBB 
00 
, et
0
E
z
y
x
0
B
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen :
0
Bvq
dt
vd
m
, soit
v
m
Bq
dt
vd 
 0
.
On note
k
m
Bq 
 0
(
m
qB0
)
s’appelle la pulsation synchrotron.
On a :
cte OMv
;
cte
00  OMv
Donc
0
0
0
0
00 0
0
v
zz
yy
xx
vMMv 
.
On a alors le système :
cte
)2()()(
)1()()(
000
000
z
y
x
o
vz
Xxvxxy
Yyvyyx
)())(()1( 0
2
0XxXxyx  
Donc
0)(
)( 0
2
20
2
Xx
dt
Xxd
Donc
).cos(
0
 tRXx
, avec
0R
On reporte dans (1) :
)().sin( 0 YytR 
Donc
).sin(
0
 tRYy
.
Ainsi,

0
0
0).sin(
).cos(
ztvz
tRYy
tRXx
z
o
z
y
x
O
HM
N
On note H la projection orthogonale de M sur
Oz(
. Ainsi,
00 ztvz z H
.
On note aussi N le projeté orthogonal de M sur
xOy
. Ainsi :
).sin(
).cos(
0
0
tRYy
tRXx
N
N
Donc H décrit un mouvement rectiligne uniforme sur l’axe
Oz(
, et M un
mouvement circulaire uniforme de centre
0
0
Y
X
A
, de rayon R et de pulsation .
Avec
0,0 0 Bq
:
0
B
R
A
m
qB
T
0
22
Ainsi, si
0
0v
, M décrit un mouvement hélicoïdal d’axe parallèle à
k
:
z
y
x
O
0
B
h
M
Pas h de l’hélice :
0
00 2
qB
m
vTvh zz
Si
0
0
z
v
, on a un mouvement circulaire uniforme
cte
).(cos).(sin
22
222222222
R
tRtRyxvxOy
Donc
m
RqB
RvxOy 0
Soit
RqBvm xOy 0 .
B) Applications
1) Spectrographe/spectromètre de masse

0
v
z
O
i
Ions de même charge q et de masses m1 et m2
différentes (comme des isotopes par exemple)
m1m2
0
01
1qB
vm
R
0
02
2qB
vm
R
On a donc séparation des isotopes, qui sont pourtant de même charge.
2) Cyclotron
O
E
1
v
2
v
3
v
i
R1
On suppose que
itEE 
).cos(
0
.
En dehors du condensateur, de faible épaisseur, on a un champ magnétique
kBB 
0
, uniforme et permanent.
On émet des particules de charge q à
0t
, à l’intérieur du condensateur (en
O), avec une vitesse initiale
0
0
v
.
On prend par exemple
0q
:
0
1
1qB
mv
R
Si on choisit , le champ
E
change de sens à chaque passage.
Ainsi,
0
2
2qB
mv
R
(avec
12 vv 
)
Lorsque la particule sort du système (de rayon
R
), elle aura une vitesse
finale v telle que :
RqBmv
P0
On peut vérifier en faisant les mêmes calculs qu’en relativité restreinte, on a
la même relation en considérant que
mv
cv
mvP22 /1
1
.
(La relation fondamentale de la dynamique est toujours valable, à condition
d’écrire
dt
Pd
F
)
Application numérique :
kg10.6,1;C10.6,1;m10;T1 2719
0  mqRB
Ainsi,
19 m.s10.
v
, d’où
cv  95,0
!!