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ANNALE TERMINALE S MATHS/OBLIGATOIRE
1 yahya MOHAMED MAHAMOUD

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Limites (Terminale S)
Les calculs de limites et la recherche d'asymptotes ont été abordés en classe de première.
Nous en rappelons les résultats essentiels. On constatera par ailleurs que, par simple
comparaison avec les fonctions de référence, on peut déterminer facilement les limites d'une
fonction donnée aux bornes de son ensemble de définition.
1. De quelles fonctions faut-il connaître les limites ?
Il faut connaître les limites en + des fonctions de référence (racine, carré, cube et inverse) :
Seule la fonction inverse a une limite finie en + (lorsque x tend vers tend vers 0 par
valeurs supérieures à 0, donc positives).
Pour en déduire les limites en + , on doit se rappeler que la parabole représentant la
fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que la courbe représentant la
fonction cube est symétrique par rapport à l'origine : et
Les deux branches de l'hyperbole d'équation sont également symétriques par rapport à
l'origine, d'où : (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs inférieures
à 0, donc négatives).
En 0, seule la fonction inverse n'est pas définie. Il faut donc connaître sa limite, lorsque x
tend vers 0, par valeurs supérieures à 0 :
On déduit par symétrie sa limite en 0, par valeurs inférieures à 0 :
On mémorisera ces résultats à l'aide de la représentation graphique ci-dessous :

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Remarque :
 Au voisinage de l'infini, les deux branches de l'hyperbole se rapprochent de l'axe
des abscisses qui est une asymptote au voisinage de – et + .
 Au voisinage de l'origine O, elles se rapprochent de l'axe des ordonnées qui est une
asymptote au voisinage de 0.
 Pour connaître la limite d'une fonction quelconque, on décompose cette fonction
en une somme, une combinaison linéaire, un produit, un quotient ou une composée
de fonctions de référence.
2. Une fonction a-t-elle toujours une limite aux bornes de son ensemble
de définition ?
Hormis certaines fonctions, comme les fonctions trigonométriques sinus ou cosinus qui
oscillent entre –1 et 1 et qui ne peuvent donc pas avoir de limite à l'infini, les fonctions
étudiées au lycée ont des limites aux bornes de leur ensemble de définition.
En revanche, certaines fonctions ne permettent pas de conclure directement. En effet, les
opérations sur les limites telles que , , et sont des
formes indéterminées. Pour lever l'indétermination, il faut transformer l'écriture de la
fonction.
Ainsi, la limite de la fonction est indéterminée en + . Pour obtenir sa
limite, on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur :
;
;
Comme et alors :
3. Quelles sont les limites, aux bornes de leur ensemble de définition,
d'une fonction polynôme et d'une fonction rationnelle ?
La limite à l'infini d'une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.
Ainsi, , considérée comme la limite de la différence de deux fonctions
monômes et , conduit à la forme indéterminée .
Factorisons x avec son plus grand exposant, puis calculons
Comme et , on en déduit que :
La limite de 2x3 – 3x2 en + est donc la limite de son terme de plus haut degré 2x3.

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Plus directement, on écrira :
Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes. Pour lever les
indéterminations au voisinage de l'infini telles que ou , on calcule la limite
du quotient des termes de plus haut degré.
On écrira par exemple :
Si le dénominateur s'annule pour une valeur réelle, on calcule séparément la limite du
numérateur et celle du dénominateur au voisinage de cette valeur interdite.
Par exemple, pour la fonction g définie sur ]1 ; + [ par , il faut calculer la
limite de g(x) lorsque x s'approche de 1, par valeurs supérieures à 1 :
4. Comment peut-on déterminer une limite par comparaison avec une
autre fonction ?
Si f(x) < g(x) pour toute valeur de x sur l'intervalle ]a ; + [, alors la représentation graphique
de f, sur cet intervalle, est au-dessous de la représentation graphique de g.
Donc si alors
De même, si l'on a cette inégalité sur l'intervalle ]– ; a] et si , alors
Si f(x) < g(x) < h(x) au voisinage d'une valeur réelle a et si , alors
Cette méthode, qui consiste à déterminer la limite d'une fonction en l'encadrant par deux
fonctions de même limite au voisinage d'un réel donné, s'appelle « la méthode des
gendarmes ».
5. Comment sait-on qu'une courbe possède une ou plusieurs asymptotes ?
Lorsque la limite est infinie au voisinage d'une valeur pour laquelle la fonction n'est pas
définie, la courbe admet une asymptote verticale.
Si , alors la courbe de f admet pour asymptote verticale la droite d'équation
x = a au voisinage de a.
Lorsque la limite à l'infini est finie, la courbe possède une asymptote horizontale.
Si , alors la courbe de f admet pour asymptote horizontale la droite
d'équation y = b au voisinage de + .
Si , alors la courbe de f admet pour asymptote oblique la droite
d'équation y = ax + b au voisinage de + . La courbe est au-dessus de l'asymptote lorsque la
différence est positive, sinon elle est au-dessous.
À retenir

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À l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
À l'infini, une fonction rationnelle a la même la limite que le quotient de ses termes de plus
haut degré.
Si deux fonctions f et h encadrent une troisième fonction g sur un intervalle et si les fonctions
f et h ont la même limite à l'infini ou en un point donné, alors g a la même limite que ses deux
« gendarmes ».
Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible :
Continuité et théorème des valeurs
intermédiaires
La notion de continuité permet d'énoncer correctement le théorème des valeurs intermédiaires.
Ce dernier sert à déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k, où
et où f est une fonction continue, et à en donner une valeur approchée ou un encadrement ;
ceci est surtout intéressant lorsque l'on ne sait pas résoudre algébriquement une telle équation.
1. Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point ? Sur un intervalle ?
Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a, est continue en a si
Une fonction f, définie sur un intervalle I ouvert, est continue sur I lorsque f est continue en
tout réel a appartenant à I.
Une fonction f, définie sur un intervalle [a ; b], est « continue sur [a ; b] » lorsque :
En conséquence, lorsqu'une fonction est continue sur un intervalle de son ensemble de
définition, on peut tracer sa représentation graphique « sans lever le crayon ».
Dans le cas contraire, la courbe présente un ou plusieurs « sauts ».