Mathématiques pour la licence de mécanique (6`eme semestre)

Math´ ematiques pour la licence de m´ ecanique (6` eme semestre)
Sylvie Benzoni
7 f´ evrier 2005
1 Rappels sur les nombres complexes
1.1 Introduction
Un nombre complexe est avant tout un couple de nombres r´ eels z= (x, y)∈R2. En particulier, la somme de deux nombres complexes
z= (x, y)et z0= (x0, y0)est z+z0= (x+x0, y +y0), tandis que pour tout λ∈Ret tout z= (x, y)∈C,λ z = (λx, λy). On notera
simplement −z= (−1) z. L’ensemble des nombres complexes, not´ eC, est de plus dot´ e d’une multiplication (interne) .
D´ efinition 1.1 Quels que soient z= (x, y)et z0= (x0, y0)dans C, le produit z z0est le nombre complexe z00 = (x00, y00)tel que
x00 =x x0−y y0, y00 =x y0+x0y .
Le produit z z est aussi not´ ez2. On v´ erifie sans peine que 1= (1,0) est ´ el´ ement neutre pour la multiplication dans C, et que Cmuni de cette
multiplication et de l’addition (+) est un corps. On identifie tout nombre complexe de la forme z= (x, 0) = x1avec le nombre r´ eel x, la
multiplication par z= (x, 0) dans Cco¨ ıncidant avec la multiplication par x:
∀x∈R,∀z0= (x0, y0)∈C,(x, 0) z0= (x x0,xy0) = x(x0, y0).
D’autre part, on note i= (0,1) . Ce nombre complexe v´ erifie la propri´ et´ e remarquable :
i2=−1.
1

Autrement dit, iadmet pour inverse 1
i=−i.
Interpr´ etation g´ eom´ etrique . On peut repr´ esenter Ccomme le plan (xOy)muni d’une base orthonorm´ ee o` u1est le premier vecteur de base
(c’est-` a-dire dirigeant l’axe (Ox)) et iest le second vecteur de base (c’est-` a-dire dirigeant l’axe (Oy)) .
`
A chaque nombre complexe z= (x, y)on peut associer le point Mde coordonn´ ees (x, y). On dit alors que zest l’affixe du point M.
On remarque en particulier que la multiplication par icorrespond ` a la rotation d’angle π/2et de centre O. En effet, si z= (x, y)on a
iz= (−y, x). Donc si Mest le point d’affixe zet M0le point d’affixe iz, on a
k−−→ OM0k=k−−→ OMk,−−→ OM0·−−→ OM = 0 ,d´ et(−−→ OM, −−→ OM0) = x2+y2>0.
1.2 ´ Ecriture cart´ esienne
Avec les notations introduites pr´ ec´ edemment, on a pour tout nombre complexe z= (x, y):
z=x1+yi,
que l’on ´ ecrit plus simplement :
z=x+i y .
C’est ce qu’on appelle l’´ ecriture cart´ esienne de z. Le nombre r´ eel x, qui est aussi l’abscisse du point d’affixe z, est appel´ epartie r´ eelle de z
et le nombre r´ eel y, qui est aussi l’ordonn´ ee du point d’affixe z, est appel´ epartie imaginaire de z. On note g´ eneralement :
x=Rezet y=Imz .
On appelle nombre imaginaire pur un nombre complexe de partie r´ eelle nulle.
1.2.a Conjugaison
D´ efinition 1.2 Quel que soit le nombre complexe z=x+i y avec xet yr´ eels, on appelle conjugu´ ede zle nombre complexe
z=x−i y .
2

Interpr´ etation g´ eom´ etrique . Le point d’affixe zest sym´ etrique du point d’affixe zpar rapport ` a l’axe (0x).
On a les formules ´ evidentes mais bien utiles :
Rez=z+z
2et Imz=z−z 2i.
Donc en particulier :
•Un nombre complexe zest r´ eel si et seulement si z=z.
•Un nombre complexe zest imaginaire pur si et seulement si z=−z.
Proposition 1.1 Pour tous nombres complexes z1et z2,
z1+z2=z1+z2et z1z2=z1z2.
D´ em. Le cas de la somme est imm´ ediat. Le cas du produit est un calcul facile : si z1=x1+i y1et z2=x2+i y2,z1z2=
x1x2−y1y2+i(x2y1+x1y2)donc
z1z2=x1x2−y1y2−i(x2y1+x1y2)=(x1−i y1) (x2−i y2) = z1z2.
2
On remarque que pout tout z=x+i y (avec xet yr´ eels), le produit z z est un nombre r´ eel positif . En effet,
z z = (x+i y) (x−i y) = x2+y2.
1.2.b Module
D´ efinition 1.3 Pour tout nombre complexe z, on appelle module de zle nombre r´ eel positif
|z|=√z z .
3

Autrement dit, si z=x+i y avec xet yr´ eels, |z|=px2+y2. En particulier, si z=xest r´ eel, son module |z|est ´ egal ` a la valeur absolue
|x|de x. Les notations sont coh´ erentes ! De fac¸on plus g´ en´ erale, on a les in´ egalit´ es :
|Rez|≤|z|et |Imz|≤|z|.
Noter que |z|= 0 ´ equivaut ` az= 0.
Interpr´ etation g´ eom´ etrique . Si Mest le point d’affixe z, on a
|z|=k−−→ OMk.
Un corollaire imm´ ediat de la d´ efinition du module et de la proposition 1.1 est que pour tous nombres complexes z1et z2,
|z1z2|=|z1| |z2|.
Attention ! En g´ en´ eral,
|z1+z2| 6=|z1|+|z2|.
On a seulement l’in´ egalit´ e
|z1+z2|≤|z1|+|z2|,
avec ´ egalit´ e si et seulement si z2est un multiple r´ eel de z1(ce qui signifie g´ eom´ etriquement, pour les points M1,2d’affixe z1,2, que les vecteurs
−−−→
OM1et −−−→ OM2sont colin´ eaires).
Proposition 1.2 Deux nombres complexes sont ´ egaux si et seulement s’ils ont mˆ eme module, mˆ eme partie r´ eelle et leurs parties imaginaires
ont le mˆ eme signe .
D´ em. La partie directe est ´ evidente : si z=z0alors |z|=|z0|, Rez=Rez0et Imz=Imz0sont de mˆ eme signe . R´ eciproquement, supposons
|z|=|z0|, Rez=Rez0. Alors
(Imz)2=|z|2−(Rez)2=|z0|2−(Rez0)2= (Imz0)2.
Si de plus Imzet Imz0sont de mˆ eme signe alors n´ ecessairement Imz=Imz0.2
Cette proposition d’apparence anodine est tr` es utile pour rechercher les racines carr´ ees d’un nombre complexe Z, c’est-` a-dire les nombres
ztels que z2=Z. En effet, d’apr` es cette proposition on a z2=Zsi et seulement si
|z2|=Z , Re(z2) = ReZet Im(z2)ImZ≥0.
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En utilisant la propri´ et´ e|z2|=|z|2, ceci se traduit sur x=Rezet y=Imzpar
x2+y2=|Z|,
x2−y2=ReZ ,
x y ImZ≥0,
et ce syst` eme est ´ equivalent ` a
2x2=|Z|+ReZ ,
2y2=|Z| − ReZ ,
x y ImZ≥0.
On trouve ainsi exactement deux racines carr´ ees de Z(si Zest non nul) .
Si par exemple ImZest positif, z2=Z´ equivaut ` az=z1ou z=z2avec :
z1=r|Z|+ReZ
2+ir|Z| − ReZ 2,
z2=−r|Z|+ReZ
2−ir|Z| − ReZ 2.
Il n’est pas indispensable de retenir ces formules, il vaut mieux savoir les retrouver en pratique !
1.3 Inversion
Si z=x+i y (avec xet yr´ eels) est un nombre complexe non nul, il admet pour inverse
1
z=z z z =x x2+y2−iy x2+y2.
Plus g´ en´ eralement, on verra que les homographies, c’est-` a-dire les applications de Cdans Cde la forme :
z7→ az +b
cz +d
(avec ad −bc 6= 0), ont des propri´ et´ es g´ eom´ etriques et analytiques tr` es importantes.
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