Séance 1 : calculs fractionnaires, factorisations, développements

Séance 1 : calculs fractionnaires, factorisations, développements
I.
Fractions
𝑎
Un nombre est rationnel si et seulement si il admet une écriture de la forme
relatif non nul,
1.
𝑎
𝑏
où 𝑎 est un entier relatif et 𝑏 un entier
est une écriture fractionnaire de ce nombre rationnel. On note ℚ l'ensemble des nombres rationnels.
Égalité :
Soient𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 quatre entiers relatifs tels que 𝑏 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑑 ≠ 0,
c'est à dire : si
2.
𝑏
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
alors 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 et si 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 alors
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎
=
𝑏
𝑐
𝑑
équivaut à 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
.
Simplification :
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑘 trois entiers relatifs tels que 𝑏 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑘 ≠ 0,
𝑘𝑎
𝑘𝑏
=
𝑎
𝑏
Pour simplifier une fraction on divise le numérateur et le dénominateur par un entier relatif non nul.
Exemple :
3.
72
27
9×8
=
9×3
=
8
.
3
Addition et soustraction :
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois entiers relatifs tels que 𝑐 ≠ 0,
𝑎
𝑐
𝑏
𝑎+𝑏
𝑐
𝑐
+ =
.
Pour additionner ou soustraire deux fractions ayant même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et
on garde le dénominateur commun
Exemple :
7
1
6
3
4
4
2
− = =
4
.
Attention ! Attention ! Lorsque les dénominateurs sont différents on réduit au même dénominateur.
Exemple :
4.
5
3
1
10
2
6
− =
3
10−3
6
6
− =
=
7
6
.
Multiplication et division :
Soient 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 quatre entiers relatifs tels que 𝑏 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑑 ≠ 0,
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎𝑐
𝑑
𝑏𝑑
× =
.
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemple :
26
5
×
10
13
=
26×10
Remarque importante : ,
5×13
=
2×13×5×2
𝑐
5×13
𝑎𝑐
𝑑
𝑑
𝑎× =
=4
3
exemple : , 8 × 2 =
8×3
2
(= 4 × 3 = 12)
Pour diviser par un nombre rationnel non nul on multiplie par son inverse. Soient 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 quatre
entiers relatifs tels que 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑑 ≠ 0
Exemple :
5
7
3
4
5
4
20
7
3
21
= × =
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎
𝑑
𝑏
𝑐
= ×
1
Remarque importante, cas particulier : pour diviser par l'entier relatif non nul 𝑏on multiplie par𝑏.
3
Exemple :
7
3
1
3
7
2
14
÷2= × =
.
5
3
Il faut faire très attention à l'écriture :
5.
2
=
5
3×2
=
5
6
5
et
3
2
=
5×2
3
=
10
3
.
Fraction irréductible :
Soit 𝑎 un entier relatif et soit 𝑏 un entier naturel tel que 𝑏 ≠ 0,
𝑎
𝑏
est une fraction irréductible si
𝑎 et 𝑏 n'ont pas de diviseur positif commun autre que 1( on ne peut pas simplifier)
Exercice 1 :
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
3
7
2
𝐴=2+5+2;
2
5
3
7
3
𝐸 = (9 + 6)(4 − 10) ;
𝐼=
2+15
7−35
;
3
𝐵 = 1 − 5 − 25 ;
1
𝐶=
4
2,5
4
−5
3
3
7
𝐹 = (5 − 4)(5 − 8) ;
3
2
1
1
3
5
7
𝐺 = (8 − 2) ÷ (9 − 12) ;
2
𝐽 = (1 − 5)(5 + 1 − 2) ;
2
𝐷 = −3 (14 − 21)
;
𝐾 = 7 × (−13) ×
21
16
× 39
8
5
×6 ;
𝐻=
𝐿=
3
4
5
3+14
7+27
;
3
;
𝑀 = 54 ;
𝑁=
Exercice 2 :
Ordonner les nombres suivants :
1.
−3 4
,
7
7
𝑒𝑡
9
7
2.
−3 3
,
8
7
𝑒𝑡
3
11
3.
−1 1
,
,
60 30
1
5
− ,
1 1
,
20 6
𝑒𝑡 −
1
4
II. Développement / Factorisation
Soient a, b, c, d et k des réels, on a :
 k(a + b) = ……………………………
 (a + b)(c + d) = ………………………………………
 (a + b)2 = …………………………………………
 (a – b)2 = …………………………………………
Identités remarquables
 (a + b)(a – b) = …………………………………
Exercice 3 :
Développer les produits puis réduire les expressions suivantes:
1
5 1

; B =  2(3 x  1)  3( x  3) ; C = x x  4   x(1  x) ;

3
6 2

D = ( x  1)( 2 x  3) ; E = (3  x)( 2 x  7) ; F = 1  (3x  1)(5  x) ; G = 3(2 x  1)  4(1  x)(1  x)
A =  3 x 
1
1
1 2
𝐻 = (2𝑥 + 1)² ; 𝐼 = (𝑥 − 2) (𝑥 + 2) ; 𝐽 = 1 − 3 (𝑥 − 3)
Exercice 4 :
Factoriser au maximum les expressions suivantes :
A = 3𝑥 2 − 9𝑥𝑦 + 21𝑥 ; B = 12𝑥 3 + 8𝑥 2 + 4 ; C = (2x + 1)(5x + 7) – (2x + 1)2 ;
D = (5𝑥 − 2)3 + 5𝑥 − 2 ; E = 𝑥 2 − 9 ;
F = (4x + 8)2 – 49 ; H = 4𝑥 2 + 4
3
7
2
21