Proposition Démonstration. Corollaire

Proposition
Si n est composé, alors il existe un premier p tel que p|n et p2≤n.
Démonstration.
Par le thm. de factorisation unique on peut écrire n=p1p2. . . ps
où p1≤p2≤. . . sont des nombres premiers et s>1 (nest
composé). Donc
p2
1≤p1p2≤n
(pourquoi ?)
Corollaire
Le nombre nature n >1est premier si p 6 |n pour chaque premier p
tels que p2≤n.
Vous comprenez la logique pourquoi c’est un corollaire ? !
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Dans la preuve (et aussi dans la preuve de l’unicité de la
factorisation première), nous avions besoin d’un petit résultat de
type "évident". Il faut être capable de le montrer. Voilà une
preuve :
Lemme
Supposons N =nm, ou n ≥1et m ≥2. Alors n <N.
Démonstration.
n+n(m−1) = nm =Net n(m−1)≥1. Donc n<N.
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Exemple : Pour montrer que 193 est premier, il suffit de voir que
193 n’est pas divisible par 2,3,5,7,11,13. (On a déjà
142=196 >193.) Ce qui est le cas.
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Nous allons présenter la fameuse preuve par l’absurde donnée déjà
par Euclide du théorème suivant
Théorème
Il existe une infinité de nombres premiers.
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Démonstration.
Supposons qu’il existe seulement un nombre fini de nombres
premiers, disons N. Soient p1,p2,p3,...,pNces nombres premiers
(parmi eux se trouvent bien sûr 2, 3, 5, 7, 11.)
Considérons le très grand nombre
n=1+ (p1·p2·p3· · · pN−1·pN).
Comme pour chaque nombre naturel, il existe un nombre premier p
qui divise n(preuve ? ?).
Ce nombre premier pse trouve nécessairement sur la liste de tous
les nombres premiers plus haut : il existe un 1 ≤i≤Ntel que
p=pi.
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