Géométrie pour la vision.

Géométrie pour la vision.
Jean-Thierry Lapresté
7 octobre 2004

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Introduction.
Les géométries classiques ont été basées sur l’étude et la représentation de
l’espace sensible pour résoudre les problèmes soulevés par la physique.
La vision artificielle se donne des problématiques liées à l’analyse de l’es-
pace à partir des données issues d’un capteur de vision, c’est à dire à partir
d’«images».
Le point de rencontre de ces deux disciplines est donc fort. Il dépend du type
d’images examinées et du modèle choisi pour expliquer leur formation.
Nous allons nous intéresser aux trois «géométries» classiques dans la mesure
ou elles proposent des méthodes d’investigations relatives à différents aspects
du même problème :
– La géométrie euclidienne s’intéresse aux opérations qui laissent invariants
les angles, ou si l’on préfère le rapport des distances entre couples de
points : ces opérations sont les similitudes composées d’homothéties et de
transformations rigides.
– La géométrie affine s’intéresse aux propriétés qui laissent invariant le rap-
port des longueurs de deux segments colinéaires, d’origine commune. Ces
transformations sont celles qui conservent le parallélisme et la notion de
milieu (plus généralement de barycentre). Un exemple de telle transfor-
mation est la projection orthographique.
– La géométrie projective enfin s’intéresse à la conservation d’une quantité
plus cachée : le birapport de quatre points alignés. Un exemple de telle
transformation est la projection perspective.
Quels sont les intérêts respectifs de ces notions en vision par ordinateur ?
La géométrie euclidienne permet évidemment de modéliser les données obte-
nues par des capteurs de profondeur, mais également donne les outils permettant
de positionner dans l’espace les modèles des objets perçus par tous les systèmes
de vision.
Comme le modèle le plus répandu associé à la formation des images est le
modèle de projection perspective, la géométrie projective sera l’outil de base
pour remonter des informations bidimensionnelles extraites des images aux in-
formations tridimensionnelles valables dans la scène.
La géométrie affine a un rôle intermédiaire, menant généralement à des équa-
tions plus simple que la projective. Des modèles affines de vision pourront être
utiles quand une grande précision n’est pas nécessaire ou pour fournir une ini-
tialisation convenable à des algorithmes basés sur un modèle plus complexe.
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Cependant la conservation du milieu et de parallélisme sont des propriétés qui
doivent fréquemment être exprimées et sont proprement affines.
Enfin, disons que nous n’aborderons ces sujets qu’après avoir fait l’étude de
la structure mathématique qui les sous-tend : la structure d’espace vectoriel de
dimension finie, et nous terminerons en parlant d’autres invariants géométriques
liés aux propriétés différentielles des courbes et des surfaces.
Les deux derniers chapitres, n’ont que peu de rapportaveclagéométrie,et
sont là pour servir d’aide-mémoire.
Un certain nombre d’ouvrages sont recommandés et m’ont servi d’inspiration
pour diverses parties de ce cours, en particulier :
1. Numerical Recipes, the Art of Scientific Computing. W.H. Pres & alias,
2nd edition, Cambridge University Press. 1992.
2. Advanced Calculus in several variables. C.H. Edwards, Jr, Academic Press
1973.
3. Géométrie, tomes 1 à 5. M. Berger, CEDIC/FERNAND NATHAN 1978.
4. G. Cagnac & alias. Nouveau cours de mathématiques spéciales, tome 3 et
4.
5. J. Lelong-Ferrand. Géométrie Différentielle, Masson, 1963.
6. N. Ayache, Vision stéréoscopique et perception multi-sensorielle. InterEdi-
tions Science Informatique, 1989.
7. L. Morin. Quelques contributions des invariants projectifs à la vision par
ordinateur. Thèse à l’INPG, 1993.
8. J.Falcou & J.T.Lapresté Utiliser F
M
L , 2004

Table des matières
1 Rappels d’algèbre linéaire. 9
1.1 Rappels................................. 9
1.1.1 Familles de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Opérateurslinéaires...................... 11
1.1.3 ÉquationsLinéaires. ..................... 12
1.1.4 Représentationmatricielle. ................. 13
1.1.5 Composition : Produit matriciel. . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.6 Changementdebase...................... 14
1.1.7 formeslinéaires. ....................... 15
1.1.8 Transposée d’une application linéaire. . . . . . . . . . . . 16
1.2 Déterminants.............................. 17
1.2.1 Formes n-linéairesalternées.................. 17
1.2.2 Propriétésdesdéterminants................. 19
1.3 Réductiondesendomorphismes.................... 20
1.3.1 Diagonalisation et trigonalisation. . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Trigonalisation......................... 20
1.3.3 Valeursetvecteurspropres.................. 21
2 Résolution numérique des systèmes linéaires. 23
2.1 Résolution numérique des systèmes inversibles. . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Méthodesdirectes....................... 23
2.1.2 Méthodesitératives. ..................... 28
2.2 Lescasdesurousousdétermination. ............... 29
2.2.1 Lecassurdéterminé...................... 29
2.2.2 Systèmes homogènes (sous-déterminés). . . . . . . . . . . 30
2.2.3 La méthode de décomposition par valeurs singulières. . . 30
3 Différentielles et optimisation. 33
3.1 Différentiellesetdérivéespartielles.................. 33
3.1.1 Normes dans Rn....................... 33
3.1.2 Applicationlinéairetangente................. 34
3.1.3 Dérivéespartielles....................... 34
3.1.4 Quelquesformulesutiles. .................. 36
3.2 Dérivationnumérique. ........................ 37
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