Controle2016

1e S1 Contrôle de mathématiques mardi 24 mai 2016 1e S1
Exercice 1 (6 points)
On considère la fonction
f
définie sur IR par
3(1 )
( ) 3 ²1
x
fx x
. On note Cf sa courbe représentative.
1) Démontrer que pour tout réel
2
3 ² 2 1
: '( ) ²1
xx
x f x x
. en déduire le tableau de variation de la
fonction
f
, on indiquera les valeurs des extrémums arrondis à 10-3.
2) Donner l'équation de la tangente à la courbe Cf en 1.
3) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf avec la droite d'équation
2y
.
4) Déterminer les antécédents de -1 par la fonction
f
.
Exercice 2 :(4 points)
1) Un restaurant de type "fast-food" organise un jeu en guise d'opération commerciale. Chaque client se voit
remettre avec son ticket de caisse une carte à gratter ; il découvre alors un gain de 5€ avec une chance sur
20, un gain de 10 € avec une chance sur 50, un gain de 50€ avec une chance sur 500, sinon il découvre le
message "Retenter votre chance".
On appelle X la variable aléatoire égale au gain d'un client.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer la variance et l'écart type de X.
2) Un restaurant concurrent reprend le jeu en offrant un gain de 2€ avec une chance sur 5, un gain de 5 €
avec une chance sur 100, un gain de 100€ avec une chance sur 1000, sinon il ne gagne rien. On appelle Y la
variable aléatoire égale au gain d'un client.
a) Déterminer la loi de probabilité de Y.
b) Calculer la variance et l'écart type de Y
c) Comparer les jeux des deux restaurants.
Exercice 3 : (4 points)
Un constructeur de composants produit des résistances. La probabilité qu'une résistance soit défectueuse est
égale à
3
5 10
.
1) Dans un lot de 1000 résistances, quelle est la probabilité d'avoir :
a) exactement deux résistances défectueuses ?
b) au plus deux résistances défectueuses ?
c) au moins deux résistances défectueuses?
2) Dans un lot de 1 000 résistances, quel nombre de résistances défectueuses peut-on craindre en moyenne?
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Exercice 4 : (6 points)
Un entraîneur d'une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but de ses joueurs.
Il a remarqué que pour une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque :
 5 buts avec une probabilité de 0,2;
 4 buts avec une probabilité de 0,5;
 3 buts avec une probabilité de 0,3;
Chaque joueur, à l'entraînement, tire deux séries de cinq ballons. On admet que les résultats d'un joueur à
chacune des séries sont indépendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs au but réussis par
un joueur au cours d'un entraînement.
1) Calculer la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs au but à l'entraînement.
Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
2) L'entraîneur considère que le joueur a réussi l'épreuve des tirs au but lorsque X>7 sinon il y a échec.
Montrer que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entraînement est 0,61.
3) Chaque joueur participe à dix séances d'entraînement. On admet que les épreuves de tir au but sont
indépendantes les unes des autres. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un joueur à
l'épreuve des tirs au but au cours de ces 10 entraînements, on sait d'après la question précédente que la
probabilité du succès est 0,61. On donnera les résultats arrondis à 10-3 près.
Calculer la probabilité :
a) de n'avoir aucun échec lors des dix séances;
b) d'avoir exactement 6 succès;
c) d'avoir au moins un succès.
4) Déterminer le nombre minimal d'entraînements auxquels doit participer le joueur pour que la probabilité
d'avoir au moins un succès soit supérieure à 0,99.