REDUCTION d`une MATRICE CARREE 1 Eléments propres d`une

Lyc´ee Dominique Villars COURS
ECE 2
REDUCTION d’une MATRICE CARREE
1 El´ements propres d’une matrice carr´ee
Soit A∈ Mn(R) et fl’endomorphisme de Rncanoniquement associ´e `a A.
❶Le r´eel λest une valeur propre de la matrice Asi et seulement si
il existe X=
x1
x2
.
.
.
xn
∈ Mn,1(R) non nul tel que A X =λ·X
ou encore si et seulement si
la matrice A−λInn’est pas inversible.
ou encore si et seulement si
rg(A−λIn)< n
☛Ces valeurs sont ´egalement les valeurs propres de n’importe quel endomorphisme repr´esent´e par la
matrice A!!!
❷L’ensemble des valeurs propres de Aest appel´e spectre de A, not´e Sp(A).
☛Il correspond donc au spectre de n’importe quel endomorphisme frepr´esent´e par la matrice A!!
D´efinition (Valeurs propres et spectre d’une matrice carr´ee).
✖De mani`ere analogue aux endomorphismes, une matrice carr´ee de taille nne peut pas poss´eder plus de nvaleurs
propres distinctes.
Exercice 1.
D´eterminer les valeurs propres des matrices ci-dessous :
I3A=1 2
2 1B=1−42
0−1C=
120
1−2 1
112
Soit λ∈Sp(A) = Sp(f). On appelle sous-espace propre de Aassoci´e `a λle sous-espace propre de f
associ´e `a la valeur λ. Il s’agit donc du sous-espace vectoriel de Rn:
Ker(A−λIn) = 
(x1, x2,...,xn)∈Rn/ A 
x1
x2
.
.
.
xn
=λ
x1
x2
.
.
.
xn
Dans le contexte de certains exercices, on pourra ´egalement consid´erer cet espace vectoriel comme
le sous-espace de Mn,1(R) d´ecrit ci-dessous :
Ker(A−λIn) = 
x1
x2
.
.
.
xn
∈ Mn,1(R)/ A 
x1
x2
.
.
.
xn
=λ
x1
x2
.
.
.
xn
D´efinition (Espaces propres d’une matrice carr´ee).

La somme des dimensions des espaces propres d’une matrice carr´ee de taille nest inf´erieure au ´egale
`a n
Propri´et´es.
Exercice 2.
D´eterminer les espaces propres de chaque matrice de l’exercice pr´ec´edent.
1.1 Matrices triangulaires
Soit une matrice triangulaire (sup´erieure) A=
a1⋆ ⋆ . . . ⋆
0a2⋆ . . . ⋆
0 0 a3. . . ⋆
.
.
.....
.
.
0 0 ... ... an
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux
Sp(A) = {a1;a2;a3;... ;an}
Propri´et´es (Valeur(s) propre(s) d’une matrice triangulaire).
✖Attention, il va de soi que si une valeur apparait plusieurs fois sur la diagonale elle n’est ´evidemment compter
comme une seule valeur propre!!!
✖Ainsi, pour ces matrices particuli`eres l’´etape 1 est imm´ediate. Pour autant, pour chacune des valeurs de la
diagonale, il est n´ecessaire d’obtenir la dimension de l’espace propre correspondant.
Ce r´esultat peut permettre de justifier tr´es rapidement qu’une matrice triangulaire est diagonalisable dans le
cas o`u les ´el´ements de sa diagonale sont distincts deux `a deux. En effet, cela signifie que Aposs`ede nvaleurs
propres ce qui signifie que Aest diagonalisable.
Exemple :
La matrice triangulaire
A=
1 0 0
−78 2 0
−23,1 14,7−2
est diagonalisable car elle poss`ede 3 valeur propres disctinctes : 1 ; 2 et −2!!
Exercice 3.
Les matrices Asuivantes sont-elles diagonalisables? Si oui, d´eterminer une matrice diagonale semblable `a A
ainsi que la matrie de passage.
(i)A=
1 0 0
1 2 0
1 1 1
(ii)A=
0 0 0
0 2 2
0 0 0
(iii)A=
4 1 −1
0 4 −175
0 0 4
1.2 Lien entre valeurs propres et inversibilit´e de A
Une matrice carr´ee Aest inversible si et seulement si 0 /∈Sp(A)
Propri´et´es.
D´emonstration :
Nous allons pour cela d´emontrer l’´equivalence des propositions contrapos´es, c’est `a dire

Aest n’est pas inversible si et seulement si 0∈Sp(A)
La valeur 0est valeur propre de A´equivaut `a dire que 0est valeur propre de f, endomorphisme canoniquement
associ´e `a A. Ceci signifie que Ker(f−0.id) = Ker(f)6={0}autrement dit que fn’est pas injective qui dans ce
cas (endomorphisme) ´equivaut `a fpas inversible et donc Anon inversible.
Ainsi en montrant que
0∈Sp(A)⇐⇒ Anon inversible
nous avons d´emontrer l’´equivalence souhait´ee.
2 Un raccourci possible afin de d´eterminer les VP d’une matrice A: utili-
sation d’un polynˆomes annulateur de A
Soit une matrice carr´ee A∈ Mn(R) et un polynˆome P=a0+a1X+a2X2+......+apXp∈R[X].
On d´efinit le polynˆome matriciel P(A) comme ´etant la matrice carr´ee :
P(A) = a0In+a1A+a2A2+...+apAp
On dit que le polynˆome Pest annulateur de la matrice Alorsque P(A) = 0n.
D´efinition (Polynˆome matriciel et polynˆome annulateur.).
Liens avec les polynˆomes d’endomorphismes :
☛Si A=MatB(f) alors pour tout k∈N,
MatB(fk) = Ak
☛Si A=MatB(f) alors pour tout P∈R[X],
MatB(P(f)) = P(A) (polynˆome matriciel)
☛On observe ainsi que :
P(A) = 0n(matrice nulle) ⇐⇒ P(f) = 0L(E)(endomorphisme nul)
Remarque :
Soit A∈ Mn(R) et si λ∈Sp(A) avec Xun vecteur propre associ´e `a λ, alors pour tout P∈R[X],
P(A)X=P(λ)·X
Si A∈ Mn(R) et si il existe P∈R[X] tel que :
P(M) = 0n
alors toute valeur propre λ∈Sp(f) v´erifie
P(λ) = 0
Propri´et´es.
D´emonstration : Si λ∈Sp(A)et Xun vecteur propre associ´e `a λalors nous avons vu que
P(fA)X=P(λ)−→ u
Puisque P(A)est la matrice nulle il vient d’apr`es la remarque pr´ec´edente que
P(λ)·X= 0n,1
Or la matrice colonne Xn’ayant pas tous ses coefficients nuls, n´ecessairement P(λ) = 0.
Attention ce r´esultat nous indique seulement que les valeurs propres de Asont ´egalement
des racines du polyn^ome P. Il ne faut pas comprendre que syst´ematiquement toute racine de
Pest valeur propre de A!!

Exercice 4.
Soit la matrice A=
2−2 1
2−3 2
−1 2 0
1. V´erifier que le polynˆome P=X2+ 2X−3 est annulateur de la matrice
A. En d´eduire les valeurs propres possibles de A.
2. D´eterminer le spectre de la matrice A.
3 Matrice diagonalisable
3.1 D´efinitions
Soient Aet B∈ Mn(R), c.a.d. deux matrices carr´ees de mˆeme taille.
On dit que Aet Bsont semblables lorsqu’il existe une matrice P∈GLn(R) (cad inversible de taille
n) telle que :
B=P−1AP
D´efinition (Matrices semblables).
Remarques :
(i) Toute matrice est semblable `a elle-mˆeme car : A=I−1
nAIn.
(ii) Cette notion est reflexive : les phrases ”Aet Bsont semblables” et ”Bet Asont semblables” sont ´equivalentes.
En effet, si B=P−1AP on a aussi A=P BP −1. En posant Q=P−1∈GLn(R), on a
A=Q−1BQ
(iii) La seule matrice semblable `a l’identit´e Inest elle-mˆeme.
(iv) La seule matrice semblable `a la matrice nulle 0nest elle-mˆeme.
Soit A∈ Mn(R).
La matrice Aest dite diagonalisable lorsqu’il existe une matrice diagonale D, semblable `a A.
D´efinition (Matrice diagonalisable).
3.2 Liens entre r´eduction d’une matrice carr´ee et d’un endomorphisme
Nous allons ramener la notion de diagonalisation d’une matrice carr´ee A`a la diagonalisation d’un endomorphisme
fassoci´e `a la matrice A. Nous pourrons donc ´etudier l’endomorphisme canoniquement associ´e `a A.
Tentons d’identifier les diff´erentes ´etapes de la r´eduction d’une matrice carr´ee A∈ Mn(R) :
I. Associer `a la matrice carr´ee A, un endomophisme f∈ L(Rn) de sorte qu’il existe une base Bde Rntelle que :
MatB(f) = A
☞Le plus souvent, on choisit l’endomorphisme canoniquement associ´e `a A.
II. D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice Aqui par d´efinition correspondent aux
valeurs propres et aux vecteurs propres de l’endomorphisme f.
III. Tenter d’en d´eduire, si possible, une base B1de Rn, dite base de diagonalisation de l’endomorphisme f, telle
que :
MatB1(f) = D=
λ10 0 ... 0
0λ20... 0
0 0 λ3... 0
.
.
.....
.
.
0 0 ... ... λn
soit une matrice diagonale
En utilisant les formules de changement de bases par la matrice d’un endomorphismes, ceci se traduit par l’existence
d’une matrice inversible P∈GLn(R) ainsi que d’une matrice Ddiagonale telles que
D=P−1A P ou A=P D P −1

ou la matrice Pest la matrice de passage de la base de ”d´epart” Bvers la base de diagonalisation B1c.a.d.
P=MatB→B1∈GLn(R)
La matrice carr´ee Aest dite diagonalisable si et seulement si l’endomorphisme fest diagonalisable
Propri´et´es (Matrice carr´ee diagonalisable).
D´emonstration :
⋆En effet, soit fest l’endomorphisme de Rncanoniquement associ´e `a la matrice Acad telle que
A=MatB0(f)
lorsque B0est la base canonique de Rn.
Supposons que fsoit diagonalisable et soit B1une base de diagonalisation de f(cad compos´e de vecteurs propres
de f). Ainsi,
MatB1(f) = D=
λ10 0 ... 0
0λ20... 0
0 0 λ3... 0
.
.
.....
.
.
0 0 ... ... λn
Notons alors P=MatB0→B1, alors la formule de changement de base vue plus haut donne :
D=P−1AP
La matrice Aest donc bien semblable `a la matrice Dqui est diagonale.
⋆Supposons maintenant que Asoit semblable `a une matrice Ddiagonale de sorte qu’il existe P∈GLn(R)telle
que
A=P DP −1
Soit fl’endomorphisme de Rncanoniquement associ´e `a A:A=MatB0(f)Soit la famille B1d´efinie par :
MatB0→B1=P
Puisque P∈GLn(R), nous en d´eduisons que B1est une base de Rnet alors la formule de changement de base
donne :
MatB1(f) = P−1M atB0(f)P=P−1AP =P−1(P DP −1)P=D
En conclusion, B1est une base de diagonalisation de l’endomorphisme f.
4 Conditions n´ecessaires et suffisantes de diagonalisation
4.1 Le crit`ere fondamental de diagonalisation
Soit A∈ Mn(R), alors
Aest diagonalisable ⇐⇒ X
λ∈Sp(A)
Dim(Ker(A−λIn)) = n
Th´eor`eme (Th´eor`eme fondamental de diagonalisation d’une matrice carr´ee.).
☛Pour chacune des valeurs propres λde la matrice A, on sait que Dim(Ker(A−λIn)) >1.
☛On sait que quelle que soit la matrice A∈ Mn(R) :
X
λ∈Sp(A)
Dim(Ker(A−λIn)) 6n
☛Dans le cas d’une ´etude g´en´erale, pour savoir si une matrice est diagonalisable ou non, il nous faudra exhiber
l’ensemble des valeurs propres de celle-ci puis d´eterminer la dimension de chacun des sous-espaces propres.