Chapitre 2 : Coordonnées d’un point - Trigonométrie I. Coordonnées d’un point d’un plan 1) Repère orthonormé : Définition : Soit une unité de longueur choisie Soient 3 points O, I et J distincts deux à deux On appelle repère orthonormé(O,I, J) ou orthonormal un repère où (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et OI=OJ=1 Dans le repère orthonormé (O,I,J) ci contre : Le point A a pour abscisse xA=2 et pour ordonnée yA=1 Ses coordonnées sont A(2 ;1) De même I(1 ;0) et J(0 ;1) 2) Distance entre deux points: Propriété : Soient A et B deux points de coordonnées (xA ;yA) et (xB ;yB) dans un repère orthonormé (O,I, J) alors : AB = xB xA yB yA 2 2 Exemple : Soit A( 4 ;-1) et B(-2 ;7) dans un repère orthonormé AB = xB xA yB yA 2 2 AB=√(−2 − 4)² + (7 − (−1))² = √36 + 64 = √100 = 10( unités de longueur ) 3) Coordonnées du milieu d’un segment Propriété : Soient A et B deux points de coordonnées (xA ;yA) et (xB ;yB) dans un repère (O,I, J) alors : Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées Exemple : Soit A(-4 ; 1) et B(2 ;4) dans un repère Soit M le milieu du segment [AB] : xA +xB yA +yB ; 2 ) 2 −4+2 1+4 M( ; 2 ) 2 M( M(−1; 2,5) xA +xB yA +yB ; ) 2 2 ( II. Trigonométrie 1) Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique Définition : Dans un repère orthonormé (O,I,J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. On distingue 2 sens de parcours : le sens direct ou positif ( sens inverse des aiguilles d’une montre ) et le sens indirect ( sens des aiguilles d’une montre ) Le rayon étant de 1 ( unité de longueur ), la longueur du cercle ( ou circonférence ) est de 2𝜋 ( unités de longueur ), celle du demi cercle est de 𝜋, celle du quart de cercle est de 𝜋/2. Dans un repère orthonormé ( O, I , J ), on trace latangente au cercle en I. Soit A(1 ;1), on munit alors la droite (IA) du repère (I, A) : c’est une droite graduée recouvrant tous les réels, on l’appelle la droite numérique. On imagine alors que la droite (IA) « s’enroule autour du cercle trigonométrique » Ainsi : - A tout point de la droite (IA), on lui associe un unique point du cercle trigonométrique. Mais, à tout point du cercle trigonométrique, on peut associer une infinité de points sur la droite, tous distants de 2𝜋 (u.l) Enroulement dans le sens direct : Le réel 𝜋 4 vient « s’appliquer » sur le Le réel point M. ̂ a pour longueur𝜋 . L’arc 𝐴𝑀 4 𝜋 2 vient « s’appliquer » sur le point N. ̂ a pour longueur𝜋 . L’arc 𝐴𝑁 2 𝜋 M est associé au réel positif . 4 ̂ a pour mesure 45° L’angle 𝐴𝑂𝑀 Le réel 3𝜋 4 vient « s’appliquer » sur le point P. ̂ a pour longueur3𝜋 . L’arc 𝐴𝑃 𝜋 N est associé au réel positif . 2 ̂ a pour mesure 90° L’angle 𝐴𝑂𝑁 4 Pour exprimer la mesure d’un angle, on peut donc utiliser la longueur de l’arc de cercle 𝜋 Pour un angle de 45°, la longueur de l’arc de cercle est de soit environ 0,78. 4 Cette unité s’appelle le radian ! et on peut alors dire : un angle de 45° a une mesure de 𝜋 4 radians. On a le tableau de correspondance suivant : Degré Radian 0 0 30 𝜋⁄ 6 45 𝜋⁄ 4 60 𝜋⁄ 3 90 𝜋⁄ 2 120 2𝜋⁄ 3 135 3𝜋⁄ 4 150 5𝜋⁄ 6 3𝜋 P est associé au réel positif . 4 ̂ a pour mesure 135° L’angle 𝐴𝑂𝑃 180 𝜋 Enroulement dans le sens indirect : 𝜋 Le réel vient « s’appliquer » sur le point R. 4 ̂ a pour longueur𝜋 . L’arc 𝐴𝑅 4 𝜋 R est associé au réel négatif - . 4 2) Cosinus et sinus d’un nombre réel: a) Rappels du quart de cercle trigonométrique vu au collège : Ainsi dans le triangle OHM rectangle en H, on a : cos x OH OM Or OM =1, donc : OH cos x cos x est donc l’abscisse de M. On a également : sin x MH OK OK OM OM sin x est donc l’ordonnée de M. b) Par extension au cercle trigonométrique : Définition : Soit (O,I,J) un repère orthonormé et C le cercle trigonométrique de centre O Soit M un point du cercle C, associé à un réel x Le cosinus du nombre réelx est l’abscisse de M et on note cos x. Le sinus du nombre réelx est l’ordonnée de M et on note sin x. c) Propriétés : Pour tout nombre réel x : −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = 1 Remarque : les 2 premières propriétés sont des conséquences directes des définitions du sinus et cosinus ; pour la 3e on applique le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H. 3) Valeurs remarquables à connaitre Angle en degré Angle en radian Cos x 0 0 1 Sin x 0 Tan x 0 4) Propriétés du cosinus et du sinus Soit x un réel : Cos(-x)=cos(x) Sin(-x)=-sin(x) Cos(𝜋 + 𝑥)=-cos(x) Sin(𝜋 + 𝑥)=-sin(x) Cos(𝜋 − 𝑥)=-cos(x) Sin(𝜋 − 𝑥)= sin(x) 30 𝜋⁄ 6 √3 2 1 2 √3 3 45 𝜋⁄ 4 √2 2 √2 2 1 60 𝜋⁄ 3 1 2 √3 2 √3 90 𝜋⁄ 2 0 1 x