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Chapitre 2 : Coordonnées d’un point - Trigonométrie
I. Coordonnées d’un point d’un plan
1) Repère orthonormé :
Définition :
Soit une unité de longueur choisie
Soient 3 points O, I et J distincts deux à deux
On appelle repère orthonormé(O,I, J) ou orthonormal un repère où (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et
OI=OJ=1
Dans le repère orthonormé (O,I,J) ci contre :
Le point A a pour abscisse xA=2 et pour ordonnée yA=1
Ses coordonnées sont A(2 ;1)
De même I(1 ;0) et J(0 ;1)
2) Distance entre deux points:
Propriété :
Soient A et B deux points de coordonnées (xA ;yA) et (xB ;yB) dans un repère orthonormé (O,I, J)
alors :
AB =
22
B A B A
x x y y  
Exemple :
Soit A( 4 ;-1) et B(-2 ;7) dans un repère orthonormé
AB =
22
B A B A
x x y y  
AB=           ( unités de longueur )
3) Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété :
Soient A et B deux points de coordonnées (xA ;yA) et (xB ;yB) dans un repère (O,I, J) alors :
Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées 
Exemple :
Soit A(-4 ; 1) et B(2 ;4) dans un repère
Soit M le milieu du segment [AB] :
M
M
M

II. Trigonométrie
1) Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
Définition :
Dans un repère orthonormé (O,I,J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1.
On distingue 2 sens de parcours : le sens direct ou positif ( sens inverse des aiguilles d’une montre ) et le sens
indirect ( sens des aiguilles d’une montre )
Le rayon étant de 1 ( unité de longueur ), la longueur du cercle ( ou circonférence ) est de 2 ( unités de
longueur ), celle du demi cercle est de , celle du quart de cercle est de .
Dans un repère orthonormé ( O, I , J ), on trace latangente au cercle en I.
Soit A(1 ;1), on munit alors la droite (IA) du repère (I, A) : c’est une droite
graduée recouvrant tous les réels, on l’appelle la droite numérique.
On imagine alors que la droite (IA) « s’enroule autour du cercle
trigonométrique »
Ainsi :
- A tout point de la droite (IA), on lui associe un unique
point du cercle trigonométrique.
- Mais, à tout point du cercle trigonométrique, on peut
associer une infinité de points sur la droite, tous
distants de 2 (u.l)

Enroulement dans le sens direct :
Le réel 
 vient « s’appliquer » sur le
point M.
L’arc 
 a pour longueur
 .
M est associé au réel positif 
 .
L’angle 
 a pour mesure 45°
Le réel 
 vient « s’appliquer » sur le
point N.
L’arc 
 a pour longueur
 .
N est associé au réel positif 
 .
L’angle 
 a pour mesure 90°
Le réel 
 vient « s’appliquer » sur le
point P.
L’arc 
 a pour longueur
 .
P est associé au réel positif 
 .
L’angle 
 a pour mesure 135°
Pour exprimer la mesure d’un angle, on peut donc utiliser la longueur de l’arc de cercle
Pour un angle de 45°, la longueur de l’arc de cercle est de 
 soit environ 0,78.
Cette unité s’appelle le radian ! et on peut alors dire : un angle de 45° a une mesure de 
 radians.
On a le tableau de correspondance suivant :
Enroulement dans le sens indirect :
Le réel 
 vient « s’appliquer » sur le point R.
L’arc 
 a pour longueur
 .
R est associé au réel négatif -
 .
Degré
0
30
45
60
90
120
135
150
180
Radian
0

2) Cosinus et sinus d’un nombre réel:
a) Rappels du quart de cercle trigonométrique vu au collège :
Ainsi dans le triangle OHM rectangle en H, on a :
cos OH xOM
Or OM =1, donc :
cosOH x
cos x est donc l’abscisse de M.
On a également :
sin MH OK x OK
OM OM
sin x est donc l’ordonnée de M.
b) Par extension au cercle trigonométrique :
Définition :
Soit (O,I,J) un repère orthonormé et C le cercle trigonométrique de centre O
Soit M un point du cercle C, associé à un réel x
Le cosinus du nombre réelx est l’abscisse de M et on note cos x.
Le sinus du nombre réelx est l’ordonnée de M et on note sin x.
c) Propriétés :
Pour tout nombre réel x :
Remarque : les 2 premières propriétés sont des conséquences directes des définitions du sinus et cosinus ;
pour la 3e on applique le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H.

3) Valeurs remarquables à connaitre
Angle en degré
0
30
45
60
90
Angle en radian
0
Cos x
1
0
Sin x
0
1
Tan x
0
1
x
4) Propriétés du cosinus et du sinus
Soit x un réel :
Cos(-x)=cos(x)
Sin(-x)=-sin(x)
Cos(  =-cos(x)
Sin(  =-sin(x)
Cos(  =-cos(x)
Sin(  = sin(x)