Quelques exemples

T
x=x0+vx0t+ax
t2
2
v=vx0+axt.
x0vx0
x
X=
x
˙x
¨x

x˙x¨x
k
k+ 1
X(k+ 1) = 
1T T 2/2
0 1 T
0 0 1
X(k)
x(k+ 1) = 1 ·x(k) + T·˙x(k) + T2
2·¨x(k),
˙x(k+ 1) = 1 ·˙x(k) + T·¨x(k)
¨x(k+ 1) = 1 ·¨x(k).
t=T
x
x= 0
hl(X) = 3x+εlaser
εlaser ∼ N (0, σ2
laser)
a=amoteur +εmoteur.
a
x(k+ 1) = 1 ·x(k) + T·˙x(k) + T2
2·a(k),
˙x(k+ 1) = 1 ·˙x(k) + T·a(k)
¨x(k+ 1) = 1 ·a(k).

Φ
Φ = 
1T0
0 1 0
0 0 0
X
[x˙x]TΓu(k) = a
Γ = 
T2/2
T
1
X(k+ 1|k)=ΦX(k)+Γu(k)
u(k) = a(k)
P(k+ 1|k) = ΦP(k)ΦT+ Γσ2
moteurΓT
m/s2
Γ
X
Λ
Λ = 3 0 0
x
z
ˆz(k+ 1|k) = ΛX(k+ 1|k) = 3 0 0
x
˙x
¨x
= 3x
εlaser
Cw
εlaser
Cw=σ2
laser

X=
0
0
0
P=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a= 5m/s2
σmoteur = 0.5m/s2σlaser = 10m T = 0.1
0 1 2 3 4 5 6
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Temps (s)
Altitude (m)
Altitude reelle
Altitude laser (fonction inverse)
Altitude Kalman
−10 −5 0 5 10
0
5
10
15 Distribution des erreurs avec le laser
Erreur (m) −10 −5 0 5 10
0
5
10
15
Distribution des erreurs avec le filtre de Kalman
Erreur (m)

x y
x y
x y
x σ2
xlaser
hxlaser = 2x+εxlaser
y σ2
ylaser
hylaser = 3y+εylaser
y σ2
yvel
hyvelo = 4 ˙y+εyvelo
˙x= 5ux
˙y= 6uy
σ2
moteurX σ2 moteurY
X=
x
˙x
y
˙y