NOMBRES COMPLEXES

FONCTION LOGARITHME
I. DEFINITION DE LA FONCTION ln
1. définition
la fonction inverse f(x) = 1/x est continue et positive sur I = ]0 ;+  [ ,
X
définissons sur ]0 ; +∞[ la fonction ln par ln(X) =
2. Interprétation graphique pour X
X
* si X
1, ln(X) =
∫
1
∫
1
1
dx
x
1:
1
d x = l'aire du domaine limité par
x
- la droite d'équation x=1
- la droite d'équation x=X
- l'axe des abscisses ,d'équation y=0
(dessin)
ln(X) = AX
1
- la courbe de f, d'équation y = x
3. quelques valeurs remarquables
1
1
* ln(1)= ∫ x d x donc ln(1) = 0
1
2
* ln(2) =
∫
1
1
d x donc d'après l'ex49p60 0,625
x
ln 2
0,75
la calculatrice donne ln(2) ≈ 0,69 (dessin)
e
* d'après l'activité 3 p70, il existe un nombre, noté e, tel que ln(e) = 1 cad tq
la calculatrice donne e ≈ 2,78
(dessin)
2. interprétation graphique pour 0 < X < 1
X
* si X
1, ln(X) =
∫
1
1
dx = x
1
∫
X
1
d x = - Ax
x
où Ax est l'aire du domaine limité par
- la droite d'équation x=X
- la droite d'équation x=1
- l'axe des abscisses ,d'équation y=0
(dessin)
1
- la courbe de f, d'équation y = x
II. PROPRIETES DE LA FONCTION ln
1, propriété calculatoire
ln transforme des produits en sommes
tableau de valeurs de 0,5 +1 à 10 → conjectures
th
pour tous a et b positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b)
autres formules à connaître:
* pour a=b=x: ln(x²) = ln(x*x) = ln(x)+ln(x) = 2ln(x)
ln(X) = - AX
∫
1
1
d x= 1
x
et plus généralement ln(xn) = n ln(x)
1
* pour a=x et b= x :
1
1
ln x×
ln
x ) = ln(x) +
x
1
⇔ ln(1) = ln(x) + ln x
1
ln
⇔ 0 = ln(x)
x
1
⇔ ln x
= - ln(x)
a
et par conséquent ln b = ln(a * 1/b) = ln(a) + ln(1/b) = ln(a) + (– ln(b) )
a
càd ln b = ln a − ln b
ex 13-9 p79
2. la fct ln est une primitive de la fct inverse
b
∫
a
b
a
1
1
1
d x = ∫ d x− ∫ d x =ln b – ln a
x
1 x
1 x
b
Cette égalité est un cas particulier du théorème du chapitre « primitives... » : ∫ f x d x = F b − F a ,
a
avec f(x) = 1/x et F(x) = ln(x), ce qui qui montre que F(x) = ln(x) est une primitive de f(x) = 1/x .
De plus elle vérifie ln (1) = 0
théorème
ln est l'unique primitive de x 1/x , définie sur I = ]0 ;+  [, et qui s'annule en 1
exercices: calcul de primitives : ex 31-32ab p80
e
calcul d'intégrales p131: ex 14b – 16a - 16b – 18a – 21a – 19b –
∫
2
5
dx x
3
∫
1
2 x2 3 x – 2
dx
x
conséquence:
2. la fct inverse est la dérivée de la fct ln
(ln(x)) ' = 1/x
ex calcul de dérivées 26-27-28ab p80
III. ETUDE DE LA FCT LN ET DE SES COMPOSÉES
1. étude de la fonction ln(x)
* ensemble de définition : I = ]0 ;+  [
* sens de variation : sa dérivée étant strict positive, ln est strict croissante sur I
csq: ln strictement croissant donc lna<lnb  a<b (permet de résoudre inéquations)
* signe
x
var ln(x)
1
0
e
+∞
1
0.
signe ln(x)
-
0
+
* limites :
lim ln x = ∞
∞
x
donc AV d'équation x=0
lim ln x = − ∞
x
0+
* tangentes
tangente au point d'abscisse 1 (le point de coordonnées (1;0) : y=x-1
1
tangente au point d'abscisse e (le point de coordonnées (e;1) : y= e x (passe par O)
y
3
2
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
-1
-2
-3
2. opérations algébriques

croissances comparées: lim
x
∞
ln x
=0
x
« ∞»
analyse du pb: on a normalement une FI: « ∞ » mais on admet le résultat conjecturé à la calculatrice
rq: on dit que « x l'emporte sur ln(x) en +∞ «

croissances comparées:
lim x ln x = 0
x
0
analyse du pb: on a normalement une FI: 0× «− ∞ » mais on admet le résultat conjecturé à la calculatrice
rq: on dit que « x l'emporte sur ln(x) en 0 « *
3, étude fcts composées de la forme ln(u)
* ensemble de définition: ln est défini sur D = ]0;+∞[ donc pour que ln(u) existe il faut que u ∈ ]0;+∞[
exemple: ens de def de f(x) = ln(1-2x)?
pour que ln(1-2x) existe il faut que 1-2x ∈ ]0;+∞[ cad que 1-2x > 0 ⇔x<0,5 cad Df=]–∞;0,5[
retenons: ln(u(x)) est défini lorsque u(x)>0 → résoudre cette inéquation
* dérivée
u'
[ln(u)]' = u
exemple: dérivée de f(x) = ln(1-2x)?
ex29 p80
* Sens de variation
ln est strictement croissante donc elle conserve l'ordre, donc ln(u) a les mêmes variations que u
rq: on peut aussi retrouver ceci avec le signe de la dérivée: comme u est strict positive (CF ens de def)
u'
alors u est du signe de u' cad que la dérivée de ln(u) a même signe que la dérivée de u donc le sens de
variation de ln(iu) est le même que celui de u
exemple: sens de variation de f(x) = ln(1-2x)?
M1: avec la dérivée:
m2: avec le th sur les composées
exercices type bac avec ln(u) ( expression de u donnée OU courbe de u donnée ): ensemble de définition,
variations, …