NOMBRES COMPLEXES

FONCTION LOGARITHME
I. DEFINITION DE LA FONCTION ln
1. définition
la fonction inverse f(x) = 1/x est continue et positive sur I = ]0 ;+ [ ,
définissons sur ]0 ; +∞[ la fonction ln par ln(X) =
∫1
X1
xdx
2. Interprétation graphique pour X 1:
* si X 1, ln(X) =
∫1
X1
xdx
= l'aire du domaine limité par
- la droite d'équation x=1
- la droite d'équation x=X
- l'axe des abscisses ,d'équation y=0 (dessin) ln(X) = AX
- la courbe de f, d'équation y =
1
x
3. quelques valeurs remarquables
* ln(1)=
∫1
11
xdx
donc ln(1) = 0
* ln(2) =
∫1
21
xdx
donc d'après l'ex49p60 0,625 ln 2 0,75
la calculatrice donne ln(2) ≈ 0,69 (dessin)
* d'après l'activité 3 p70, il existe un nombre, noté e, tel que ln(e) = 1 cad tq
∫1
e1
xdx=1
la calculatrice donne e ≈ 2,78 (dessin)
2. interprétation graphique pour 0 < X < 1
* si X 1, ln(X) =
∫1
X1
xdx
= -
∫
X
11
xdx
= - Ax
où Ax est l'aire du domaine limité par
- la droite d'équation x=X
- la droite d'équation x=1
- l'axe des abscisses ,d'équation y=0 (dessin) ln(X) = - AX
- la courbe de f, d'équation y =
1
x
II. PROPRIETES DE LA FONCTION ln
1, propriété calculatoire
ln transforme des produits en sommes
tableau de valeurs de 0,5 +1 à 10 → conjectures
th pour tous a et b positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b)
autres formules à connaître:
* pour a=b=x: ln(x²) = ln(x*x) = ln(x)+ln(x) = 2ln(x)

et plus généralement ln(xn) = n ln(x)
* pour a=x et
b=1
x
:
ln x×1
x
) = ln(x) +
ln 1
x
⇔ ln(1) = ln(x) +
ln 1
x
⇔ 0 = ln(x)
ln 1
x
⇔
ln 1
x
= - ln(x)
et par conséquent
ln a
b
= ln(a * 1/b) = ln(a) + ln(1/b) = ln(a) + (– ln(b) )
càd
ln a
b=ln a−ln b
ex 13-9 p79
2. la fct ln est une primitive de la fct inverse
∫a
b1
xdx=∫1
b1
xdx−∫1
a1
xdx
=ln b – ln a
Cette égalité est un cas particulier du théorème du chapitre « primitives... » :
∫a
bf x dx=F b −F a
,
avec f(x) = 1/x et F(x) = ln(x), ce qui qui montre que F(x) = ln(x) est une primitive de f(x) = 1/x .
De plus elle vérifie ln (1) = 0
théorème ln est l'unique primitive de x 1/x , définie sur I = ]0 ;+ [, et qui s'annule en 1
exercices: calcul de primitives : ex 31-32ab p80
calcul d'intégrales p131: ex 14b – 16a - 16b – 18a – 21a – 19b –
∫2
e5
xdx
-
∫1
32x23x–2
xdx
conséquence:
2. la fct inverse est la dérivée de la fct ln
(ln(x)) ' = 1/x
ex calcul de dérivées 26-27-28ab p80
III. ETUDE DE LA FCT LN ET DE SES COMPOSÉES
1. étude de la fonction ln(x)
* ensemble de définition : I = ]0 ;+ [
* sens de variation : sa dérivée étant strict positive, ln est strict croissante sur I
csq: ln strictement croissant donc lna<lnb a<b (permet de résoudre inéquations)
* signe
x
0 1 e +∞
var ln(x)
1
0.
signe ln(x)
- 0 +

* limites :
lim
x∞ln x=∞
donc AV d'équation x=0
lim
x0+ ln x=− ∞
* tangentes
tangente au point d'abscisse 1 (le point de coordonnées (1;0) : y=x-1
tangente au point d'abscisse e (le point de coordonnées (e;1) :
y=1
ex
(passe par O)
2. opérations algébriques
 croissances comparées:
lim
x∞
ln x
x=0
analyse du pb: on a normalement une FI:
«∞»
«∞»
mais on admet le résultat conjecturé à la calculatrice
rq: on dit que « x l'emporte sur ln(x) en +∞ «
 croissances comparées:
lim
x0xln x=0
analyse du pb: on a normalement une FI:
0׫− ∞ »
mais on admet le résultat conjecturé à la calculatrice
rq: on dit que « x l'emporte sur ln(x) en 0 « *
3, étude fcts composées de la forme ln(u)
* ensemble de définition: ln est défini sur D = ]0;+∞[ donc pour que ln(u) existe il faut que u ∈ ]0;+∞[
exemple: ens de def de f(x) = ln(1-2x)?
pour que ln(1-2x) existe il faut que 1-2x ∈ ]0;+∞[ cad que 1-2x > 0 ⇔x<0,5 cad Df=]–∞;0,5[
retenons: ln(u(x)) est défini lorsque u(x)>0 → résoudre cette inéquation
* dérivée
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1-2
2
3
-1
-2
-3
0 1
1
x
y

[ln(u)]' =
u'
u
exemple: dérivée de f(x) = ln(1-2x)?
ex29 p80
* Sens de variation
ln est strictement croissante donc elle conserve l'ordre, donc ln(u) a les mêmes variations que u
rq: on peut aussi retrouver ceci avec le signe de la dérivée: comme u est strict positive (CF ens de def)
alors
u'
u
est du signe de u' cad que la dérivée de ln(u) a même signe que la dérivée de u donc le sens de
variation de ln(iu) est le même que celui de u
exemple: sens de variation de f(x) = ln(1-2x)?
M1: avec la dérivée:
m2: avec le th sur les composées
exercices type bac avec ln(u) ( expression de u donnée OU courbe de u donnée ): ensemble de définition,
variations, …