MAT2000 – Algèbre II - of Christophe Hohlweg

MAT2000 – Algèbre II
Luc Bélair et Christophe Hohlweg
8 septembre 2016

2

Table des matières
Avant-propos 9
Alphabet grec 10
0 Rappels sur les fonctions injectives, surjectives, bijectives 11
1 Structure de groupes 13
1.1 Loi de composition interne, monoïdes et groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Élément neutre et monoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 Éléments inversibles et groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 Notation additive et multiplicative des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Groupes : premiers exemples et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Exemplesclassiques ................................. 18
1.2.2 Tabled’ungroupe .................................. 20
1.2.3 Règlesdecalcul.................................... 20
1.3 Sous-groupes ......................................... 22
1.3.1 Sous-groupes engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Ordre d’un groupe, ordre d’un élément de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Groupe fini et générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Récapitulatif, questions et nouveaux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Le groupe (Z,+) ................................... 28
1.4.2 Les groupes (Z/nZ,+) ................................ 29
1.4.3 Le groupe symétrique Sn.............................. 30
1.4.4 Lesgroupesdiédraux................................. 34
1.4.5 Générateurs et ordre de Dm............................. 35
1.4.6 Conclusion ...................................... 35
3

4TABLE DES MATIÈRES
2 Morphismes de groupes 37
2.1 Noyau d’un morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Composition de morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Isomorphismedegroupes .................................. 39
2.4 Automorphismes intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Groupes symétriques et théorème de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Classe modulo un sous-groupe et groupes quotients 43
3.1 Classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Le théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 Application à l’arithmétique modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Groupesquotients ...................................... 48
3.2.1 Sous-groupesnormaux................................ 48
3.2.2 Groupequotient ................................... 49
3.2.3 Premier théorème d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4 Sous-groupes d’un groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Applications.......................................... 53
3.3.1 Groupes monogènes et cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Les produits directs de groupes 55
4.1 Leproduitdirectexterne................................... 55
4.2 Quelquesisomorphismes................................... 57
4.3 Leproduitdirectinterne................................... 58
5 La structure des groupes abéliens finis 61
5.1 Lesgroupescycliques..................................... 61
5.2 Les groupes abéliens primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 La décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 La décomposition des groupes primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Lethéorèmeprincipal .................................... 67
6 Les actions de groupes 71
6.1 Les groupes qui opèrent sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Orbitesvsstabilisateurs ................................... 75
6.3 LesthéorèmesdeSylow ................................... 77
6.4 Le groupe des isométries du cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Exercices 83
7.1 Structuredegroupes..................................... 83
7.1.1 ............................................. 83

TABLE DES MATIÈRES 5
7.1.2 ............................................. 83
7.1.3 ............................................. 83
7.1.4 ............................................. 83
7.1.5 ............................................. 84
7.1.6 ............................................. 84
7.1.7 ............................................. 84
7.1.8 ............................................. 84
7.1.9 ............................................. 85
7.1.10 ............................................. 85
7.1.11 ............................................. 85
7.1.12 ............................................. 85
7.1.13 ............................................. 85
7.1.14 ............................................. 85
7.1.15 ............................................. 86
7.1.16 ............................................. 86
7.1.17 ............................................. 86
7.1.18 ............................................. 86
7.1.19 ............................................. 86
7.1.20 ............................................. 86
7.1.21 ............................................. 87
7.1.22 ............................................. 87
7.1.23 ............................................. 87
7.1.24 ............................................. 87
7.1.25 ............................................. 88
7.1.26 ............................................. 88
7.1.27 ............................................. 88
7.1.28 ............................................. 88
7.1.29 ............................................. 88
7.1.30 ............................................. 89
7.1.31 ............................................. 89
7.1.32 ............................................. 89
7.1.33 ............................................. 89
7.2 Morphismesdegroupes ................................... 89
7.2.1 ............................................. 89
7.2.2 ............................................. 89
7.2.3 ............................................. 90
7.2.4 ............................................. 90
7.2.5 ............................................. 90
7.2.6 ............................................. 90
7.2.7 ............................................. 91