En Physique, on repère M par ses coordonnées r (r =
OM), (colatitude) et (longitude) dans la base orthonormée
directe (x,y ,z ).
1
1.
.5
5.
.
E
Ex
xe
em
mp
pl
le
e
d
de
e
c
ca
al
lc
cu
ul
l
Soit une fonction f, définie par f=3x²+7y+2z3+3xy en coordonnée cartésienne. Calculer la
formule littérale du gradient, puis sa valeur au point (3,-2,5).
On applique donc la formule du gradient en coordonnée cartésienne pour les différentes
directions:
;
;
On somme ensuite ces différents membres pour avoir l’expression littérale :
zyx ezexeyxfgrad 2
6)73()36()(
Pour avoir la valeur de ce gradient au point (3,-2,5), il suffit de calculer la fonction ainsi
obtenue en ce point :
zyx eeefgrad 1501612))5,2,3((
1
1.
.6
6.
.
I
In
nt
te
er
rp
pr
ré
ét
ta
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ti
io
on
n
d
du
u
g
gr
ra
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di
ie
en
nt
t
Le gradient horizontal est la variation horizontale d’une grandeur. Il s’exprime pour une
variable dont on connaît la valeur dans toute une zone comme par exemple la température, la
pression, l’altitude.
Plus la variation est rapide, plus le gradient est fort.
Exemple simple de gradient pente de la surface de la terre :
prenons une carte topographique comportant des lignes de niveaux. Les lignes de niveaux
représentent l’altitude. Le gradient de l’altitude sera la variation d’altitude par unité de longueur,
soit la pente. Plus les lignes de niveaux sont rapprochées plus la pente est raide, et plus le
gradient est fort.
e
V
r
e
V
r
e
r
V
Vgrad r
)sin(. 11
)(