1. Le gradient

1.
Le gradient
1.1.
Définition
Le gradient est un opérateur mathématique de
dans
. Le gradient caractérise une
variation, orientée dans l'espace, d'une grandeur physique. Un gradient de champ magnétique, par
exemple, est un accroissement de l'intensité du champ magnétique dans une direction donnée. Il
peut être appliqué à un champ scalaire, ou à un vecteur. S’il est simplement appliqué à un champ
scalaire V(x,y,z), le gradient de ce champ donne un vecteur. Le gradient obtenu est lui un champ
vectoriel.
Remarque : Le gradient augmente l'ordre de la relation de 1. En effet le gradient d'un
scalaire est un vecteur, et le gradient d'un vecteur est un tenseur d'ordre 2. Ceci est général.
1.2.
Coordonnée cartésienne
z
dz
M

ez
dy
dx
Les coordonnées cartésiennes s’expriment dans la base
  
repérée par les vecteurs unitaire e x , e y , e z 
M est repéré par ses coordonnées x, y et z dans la base
orthonormée directe (x,y,z).
O

ex
x
grad (V ) 
y

ey
V  V  V 
ex 
ey 
ez
x
y
z
Mais on peut simplement écrire le gradient grâce à l’opérateur nabla, en effet :
grad (V )  .V
1.3.
Coordonnée cylindrique
z
dz
M
O
x

r M'
OM' = r
1.4.
dr

ez
M est repéré par ses coordonnées r (distance à l'axe Oz), 
(angle entre Ox et OM’) et z dans la base orthonormée directe (x,y
,z ).
rd
y

e


er
Coordonnée sphérique
grad (V ) 
V  1 V  V 
er 
e 
ez
r
r 
z
z
 M
r
O
x

1.5.

er
En Physique, on repère M par ses coordonnées r (r =
OM),  (colatitude) et  (longitude) dans la base orthonormée
directe (x,y ,z ).

e

e
grad (V ) 
y

e
V  1 V 
1
V 
er 
e 
e
r
r 
r. sin(  ) 

u
Exemple de calcul
Soit une fonction f, définie par f=3x²+7y+2z3+3xy en coordonnée cartésienne. Calculer la
formule littérale du gradient, puis sa valeur au point (3,-2,5).
On applique donc la formule du gradient en coordonnée cartésienne pour les différentes
directions:
f
f
f
 6z 2
 7  3x ;
 6x  3y ;
z
x
y
On somme ensuite ces différents membres pour avoir l’expression littérale :



grad ( f )  (6 x  3 y)ex  (3x  7)ey  6 z 2ez
Pour avoir la valeur de ce gradient au point (3,-2,5), il suffit de calculer la fonction ainsi
obtenue en ce point :



grad ( f (3,2,5))  12ex  16ey  150ez
1.6.
Interprétation du gradient
Le gradient horizontal est la variation horizontale d’une grandeur. Il s’exprime pour une
variable dont on connaît la valeur dans toute une zone comme par exemple la température, la
pression, l’altitude.
Plus la variation est rapide, plus le gradient est fort.
Exemple simple de gradient pente de la surface de la terre :
prenons une carte topographique comportant des lignes de niveaux. Les lignes de niveaux
représentent l’altitude. Le gradient de l’altitude sera la variation d’altitude par unité de longueur,
soit la pente. Plus les lignes de niveaux sont rapprochées plus la pente est raide, et plus le
gradient est fort.