Complexité et algorithmes paramétrés (2) - Kernelization et

Complexit´e et algorithmes param´etr´es (2)
-
Kernelization et techniques algorithmiques
Christophe PAUL
CNRS - LIRMM
EJC Informatique Math´ematique du GDR IM
Perpignan, avril 2013

Algorithmes param´etr´es
Arbre de recherche born´ee - Vertex Cover
Compression it´erative - Feedback Vertex Set
Algorithmes randomis´es - Feedback Vertex Set
Color Coding - Longest Path
Kernelization - Bornes inf´erieures
Algorithmes de ou-composition
Transformation polynomiales param´etr´ees
Kernelization - Bornes sup´erieures
Vertex Cover et programmation lin´eaire
Un noyau lin´eaire pour fast `a l’aide de couplages

Vertex Cover (1)
R`egle de branchement : Soit (G,k) une instance de Vertex Cover
telle que k>0 et ∃(u,v)∈E(G), alors brancher sur :
1. (G−u,k−1)
2. (G−v,k−1)
R`egle de r´eduction : Soit (G,k) une instance de Vertex Cover.
1. Si k= 0 et E(G)6=∅, retourner Faux
2. Si E(G) = ∅, retourner Vrai
Th´eor`eme : Vertex Cover (param´etr´e par la taille kde la solution)
admet un algorithme de recherche born´ee de complexit´e 2k·(n+m).

Vertex Cover (1)
R`egle de branchement : Soit (G,k) une instance de Vertex Cover
telle que k>0 et ∃(u,v)∈E(G), alors brancher sur :
1. (G−u,k−1)
2. (G−v,k−1)
R`egle de r´eduction : Soit (G,k) une instance de Vertex Cover.
1. Si k= 0 et E(G)6=∅, retourner Faux
2. Si E(G) = ∅, retourner Vrai
Th´eor`eme : Vertex Cover (param´etr´e par la taille kde la solution)
admet un algorithme de recherche born´ee de complexit´e 2k·(n+m).
Peut-on faire mieux ? (Diminuer la taille de l’arbre de branchement)

Vertex Cover (2)
R`egle de branchement (2) : Soient (G,k) une instance de Vertex
Cover et xun sommet de degr´e d(x)>1, alors brancher sur
1. (G−x,k−1) – xest s´electionn´e dans la solution
2. (G−N[x],k−d(x)) – N(x) est s´electionn´e dans la solution