62 Triangle de Sierpinski Étapes de construction

62
b. Quelle fraction d'aire représente la partie
hachurée, obtenue aux étapes 1, 2 et 3 ?
Triangle de Sierpinski
Étapes de construction :
• Étape 1 : On construit un triangle équilatéral
qu'on prend pour unité d'aire.
• Étape 2 : On trace les trois segments joignant
les milieux respectifs des côtés du triangle et
on enlève le petit triangle central. Il reste trois
petits triangles qui se touchent par leurs
sommets dont les longueurs des côtés sont la
moitié de celles du triangle de départ.
• Étape 3 : On répète la deuxième étape avec
chacun des petits triangles obtenus.
• Étapes suivantes : On répète le processus.
a. Construis sur ton cahier les triangles obtenus
aux étapes 3 et 4 (on prendra 8 cm de côté
pour le triangle équilatéral de départ).
Etape 3 :
À l'étape 1, tout le triangle est hachuré, la
fraction hachurée est égale à 1.
À l'étape 2, le grand triangle est partagé en
quatre triangles égaux, dont trois sont
3
hachurés : la fraction d'aire hachurée est
.
4
3
À l'étape 3,
de l'aire précédente est
4
3×3
3
3
9
hachurée, donc
×
=
=
.
4×4
4
4
16
c. Même question pour l'étape 4, de deux
façons différentes : en regardant le schéma puis
en faisant un calcul.
En regardant le schéma, on peut constater qu'il
se « découpe » en 64 petits triangles, dont 27
sont hachurés. On peut calculer que trois quarts
de l'aire précédente est hachurée, soit :
3
9
27
×
=
.
4
16
64
d. Sans construire le triangle, indique quelle
fraction d'aire la partie hachurée représente à
l'étape 5.
On reprend le même calcul à partir de l'étape
précédente :
3 ×27
3
27
81
×
=
=
.
4
64
4 ×64
256
e. Et pour l'étape 8 ?
On multiplie le résultat de l'étape 5 par trois
quarts pour obtenir celui de l'étape 6, puis
encore par trois quarts, deux autres fois :
3
3
3
81
3 ×3 ×3 × 81
2187
× × ×
=
=
.
4
4
4
256
4 ×4 × 4× 256
16 384
Etape 4 :
CHAPITRE N2 - NOMBRES
EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE
63
64
Farandole de fractions
On considère les fractions suivantes :
1 2 3 4
; ; ; ;…
2 3 4 5
En comparant 2 à 2
a. Compare
a. Complète cette suite logique par les trois
fractions suivantes.
On augmente le numérateur et le dénominateur
de 1 à chaque étape.
1 2 3 4 5 6 7
; ; ; ; ; ; .
2 3 4 5 6 7 8
b. Ces fractions sont-elles plus petites ou plus
grandes que 1 ? Justifie.
Ces fractions sont plus petites que 1, car le
numérateur est plus petit que le dénominateur.
c. À l'aide de ta calculatrice, indique si ces
fractions sont rangées dans l'ordre croissant ou
décroissant.
On constate qu'elles sont rangées dans l'ordre
croissant en comparant les valeurs approchées
qui sont, arrondies au centième :
0,5 ; 0,67 ; 0,75 ; 0,8 ; 0,83 ; 0,86 ; 0,88.
On considère maintenant les fractions :
3 4 5 6
; ; ; ;…
2 3 4 5
d. Réponds aux questions a., b. et c. pour
cette nouvelle suite.
Suite logique :
3 4 5 6 7 8 9
; ; ; ; ; ; .
2 3 4 5 6 7 8
Ces fractions sont plus grandes que 1, car le
numérateur est plus grand que le
dénominateur.
On constate qu'elles sont rangées dans l'ordre
croissant en comparant les valeurs approchées
qui sont, arrondies au centième :
1,5 ; 1,33 ; 1,25 ; 1,2 ; 1,17 ; 1,14 ; 1,13.
e. En écrivant les fractions de ces deux suites
sous forme décimale, que remarques-tu (on
arrondira au centième quand c'est nécessaire) ?
On réduit au même dénominateur :
2×3
6
5
2
2
=
=
. Donc
>
.
3×3
9
9
3
3
5
1
et
.
12
4
On réduit au même dénominateur :
b. Compare
1×3
4
1
5
1
=
=
. Donc
<
.
4×3
12
4
12
4
5
5
et
.
12
9
Les numérateurs sont égaux, donc la fraction la
plus grande est celle qui possède le plus petit
dénominateur :
5
5
<
.
12
9
c. Compare
d. En utilisant les trois questions précédentes,
1
2
compare et .
4
3
1
5
5
5
5
2
<
;
<
et
<
.
4
12 12
9
9
3
1
2
Donc
<
.
4
3
65
Addition de deux fractions
a. Complète :
EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE
5
...
...
3
=
et =
.
6
12
12
4
5
3
9
10
=
et =
.
6
12
4
12
b. À l'aide de la question a., calcule :
5
10
9
19
3
+
=
+
=
.
6
4
12
12
12
On remarque que les suites se rapprochent de
1.
NOMBRES
5
2
et .
9
3
- CHAPITRE N2
5
3
 .
6
4
66
Avec le tableur
a. Dans un tableur, reproduis la feuille de
tableur ci-dessous.
A
B
C
1 Fraction 1 Frac tion 2 Fraction 3
2
1/3
1/3
1/3
D
Total
e. Écris de nouvelles fractions dans les cellules
A2, B2 et C2 de sorte que leur somme soit égale
à 1 et qu'elles correspondent aux diagrammes
ci-dessous.
b. Avant de les remplir, sélectionne les cellules
A2, B2 et C2, puis effectue un clic droit. Dans
Formater les cellules, choisis Nombres puis
Fraction.
c. Dans la cellule D2, programme une formule
permettant de calculer la somme des nombres
en A2, B2 et C2.
Formule : =A2+B2+C2
1 1 1
 
4 4 2
1 3 3
 
4 8 8
ou : =SOMME(A2;B2;C2) ou =SOMME(A2:C2)
d. Sélectionne l'ensemble des cellules A1, B1,
C1, A2, B2, C2. Dans Insertion, choisis
Diagramme puis Secteur.
On obtient un disque partagé en trois parts
égales comme ceci :
Fraction
1
Fraction
2
Fraction
3
3 1 1
 
8 8 2
3 1 1
 
4 8 8
CHAPITRE N2 - NOMBRES
EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE