Chap.1 ARITHMETIQUE

Chap.1 ARITHMETIQUE
1) Vocabulaire.
a) "Multiple de".
Les multiples de 5 sont:
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
etc,,,
Les multiples de 7sont:
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
etc,,,
35 est un multiple de 5. 35 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 35 = 7 fois 5. 35 = 7
5
35 est un multiple de 7. 35 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 35 = 5 fois 7. 35 = 5 7
b) "Diviseur de".
5 est un diviseur de 35.
Error!
= 7.
7 est un diviseur de 35.
Error!
= 5.
c) Remarque.
Dire que 35 est un multiple de 5 revient à dire que 5 est un diviseur de 35
d) Exemple
Je veux faire des groupes avec 35 personnes et je sais que 5 7 = 35.
Donc 5 est un diviseur de 35. Je peux diviser les 35 personnes en 5 groupes de 7.
Donc 7 est un diviseur de 35. Je peux diviser les 35 personnes en 7 groupes de 5.
2) Diviseur commun.
a) Définition
Soient a , b, et k , 3 entiers non nuls.
Si k est un diviseur de a et si k est un diviseur de b, alors k est un diviseur commun à a et b.
b) Exemple
5 est un diviseur de 105 et 5 est un diviseur de 90, donc 5 est un diviseur commun de 105 et 90.
c) Application : simplifier une fraction.
5 est un diviseur commun de 105 et 90 donc
Error!
=
Error!
=
Error!
3) Plus Grand Commun Diviseur . PGCD.
a) Définition
PGCD (a ; b) = le Plus Grand Commun Diviseur de a et b.
b) Exemple : PGCD (60 ; 18)
Liste des diviseurs de 60 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Liste des diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18

Liste des diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 6
Je prends le plus grand : PGCD (a ; b) = 6
4) Algorithme des soustractions.
a) Propriété.
a et b sont des entiers naturels et a > b, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b).
b) algorithme des soustractions.
Calcul de la
différence
PGCD
(
60
;
18
)
42
pour la suite je garde la différence et le plus petit de
60
et
18
=
PGCD
(
18
;
42
)
24
pour la suite je garde la différence et le plus petit de
18
et
42
=
PGCD
(
18
;
24
)
6
pour la suite je garde la différence et le plus petit de
18
et
24
=
PGCD
(
18
;
6
)
12
pour la suite je garde la différence et le plus petit de
18
et
6
=
PGCD
(
6
;
12
)
6
pour la suite je garde la différence et le plus petit de
6
et
12
=
PGCD
(
6
;
6
)
PGCD (6 ; 6) = 6 donc PGCD (60 ; 18) = 6
Cette méthode simple mais répétitive peut être facilement programmée dans une feuille de calcul.
5) Algorithme d’Euclide. (cours optionnel).
Exemple : Je cherche le PGCD (1326 ; 546)
PGCD (1326 ; 546) = 78.
Cette méthode simple mais répétitive peut être facilement programmée dans une feuille de calcul.
6) Nombres premiers entre eux
a) Définition Si 2 entiers ont pour seul diviseur commun 1, alors on dit que ces 2 entiers sont premiers
entre eux.
b) Exemple : 221 et 69 sont-ils premiers entre eux ?
PGCD (221 ; 69) = 1 donc 221 et 69 sont premiers entre eux .

7) Fraction irréductible
a) Définition Si PGCD (a ; b) = 1 alors
Error!
est irréductible.
b) Exemples
PGCD (221 ; 69) = 1 donc
Error!
, est irréductibles
8) Simplifier en une fois
a) Méthode En simplifiant
Error!
par le PGCD (a ; b) on obtient une fraction irréductible.
b) Exemple PGCD (18 ; 60) = 6, donc
Error!
=
Error!
=
Error!
irréductible.