Chap.1 ARITHMETIQUE 1) Vocabulaire. a) "Multiple de". Les multiples de 5 sont: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 etc,,, Les multiples de 7sont: 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 etc,,, 35 est un multiple de 5. 35 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 35 = 7 fois 5. 35 = 7 5 35 est un multiple de 7. 35 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 35 = 5 fois 7. 35 = 5 7 b) "Diviseur de". 5 est un diviseur de 35. Error! = 7. 7 est un diviseur de 35. Error! = 5. c) Remarque. Dire que 35 est un multiple de 5 revient à dire que 5 est un diviseur de 35 d) Exemple Je veux faire des groupes avec 35 personnes et je sais que 5 7 = 35. Donc 5 est un diviseur de 35. Je peux diviser les 35 personnes en 5 groupes de 7. Donc 7 est un diviseur de 35. Je peux diviser les 35 personnes en 7 groupes de 5. 2) Diviseur commun. a) Définition Soient a , b, et k , 3 entiers non nuls. Si k est un diviseur de a et si k est un diviseur de b, alors k est un diviseur commun à a et b. b) Exemple 5 est un diviseur de 105 et 5 est un diviseur de 90, donc 5 est un diviseur commun de 105 et 90. c) Application : simplifier une fraction. 5 est un diviseur commun de 105 et 90 donc Error! = Error! = Error! 3) Plus Grand Commun Diviseur . PGCD. a) Définition PGCD (a ; b) = le Plus Grand Commun Diviseur de a et b. b) Exemple : PGCD (60 ; 18) Liste des diviseurs de 60 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60. Liste des diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Liste des diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 6 Je prends le plus grand : PGCD (a ; b) = 6 4) Algorithme des soustractions. a) Propriété. a et b sont des entiers naturels et a > b, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b). b) algorithme des soustractions. = = = = = PGCD PGCD PGCD PGCD PGCD PGCD ( ( ( ( ( ( 60 18 18 18 6 6 ; ; ; ; ; ; 18 42 24 6 12 6 ) ) ) ) ) ) Calcul de la différence 42 24 6 12 6 pour la suite je garde la différence et le plus petit de pour la suite je garde la différence et le plus petit de pour la suite je garde la différence et le plus petit de pour la suite je garde la différence et le plus petit de pour la suite je garde la différence et le plus petit de 60 18 18 18 6 et et et et et 18 42 24 6 12 PGCD (6 ; 6) = 6 donc PGCD (60 ; 18) = 6 Cette méthode simple mais répétitive peut être facilement programmée dans une feuille de calcul. 5) Algorithme d’Euclide. (cours optionnel). Exemple : Je cherche le PGCD (1326 ; 546) PGCD (1326 ; 546) = 78. Cette méthode simple mais répétitive peut être facilement programmée dans une feuille de calcul. 6) Nombres premiers entre eux a) Définition Si 2 entiers ont pour seul diviseur commun 1, alors on dit que ces 2 entiers sont premiers entre eux. b) Exemple : 221 et 69 sont-ils premiers entre eux ? PGCD (221 ; 69) = 1 donc 221 et 69 sont premiers entre eux . 7) Fraction irréductible a) Définition Si PGCD (a ; b) = 1 alors Error! est irréductible. b) Exemples PGCD (221 ; 69) = 1 donc Error! , est irréductibles 8) Simplifier en une fois a) Méthode En simplifiant Error! par le PGCD (a ; b) on obtient une fraction irréductible. b) Exemple PGCD (18 ; 60) = 6, donc Error! = Error! = Error! irréductible.