Sujet "ROBOT CHIRURGICAL"

corrigé du Sujet PT - SI A - 2005
"ROBOT POUR LA CHIRURGIE ENDOSCOPIQUE"
2- ANALYSE FONCTIONNELLE
Question 1. :
Compléter la description fonctionnelle sous forme SADT
d’un « axe » du robot chirurgical en remplissant les 3 cases
vides des grandeurs physiques et les 4 cases vides des
fonctions, sur le tableau « Réponse 1 » du document
réponses.
Energie
électrique
Paramètres
opérateur
Paramètres de
réglage du robot
G2
G1
F1
Energie
électrique
Programme
Console
G3
F2
Dispositif de
traitement
Grandeurs physiques :
G1
G2
G3
G4
G5
G4
F3
Energie
électrique
Carte de commande
d’axe (préactionneur)
Mouvements (consignes) du chirurgien
Informations électriques (consignes)
Informations électriques (consignes) traitées
Energie électrique
Mouvements de l'instrument chirurgical + effort
G5
F4
Moteur et chaîne
cinématique
Un « axe » du robot esclave
Fonctions :
F1
F2
F3
F4
Transformer les mouvements du chirurgien en informations électriques (consignes)
Traiter les informations (consignes) électriques
Distribuer l’énergie électrique en fonction des consignes
Transformer l’énergie électrique en énergie mécanique pour générer les mouvements de l’instrument
Question 2. :
Proposer des solutions techniques qui permettent de réaliser ce système à retour d'effort ;
- Compléter la figure R2 en mettant en place les blocs fonctionnels ;
- Donner dans les cases prévues sous la figure R2, la désignation des grandeurs physiques transformées, les moyens
proposés pour réaliser les transformations, et les fonctions décrivant ces transformations (le nombre de lignes utiles de
ces tableaux n’est pas imposé).
Moyens :
M11
M12
M13
M14
Capteur d’effort
Dispositif de traitement
Préactionneur électrique (carte de
commande)
Actionneur électrique
Grandeurs physiques :
G11
G12
G13
Signal électrique (information)
Signal électrique traité
Energie électrique
Fonctions :
F11
F12
F13
F14
Transformer l’effort exercé sur l’outil en
signal électrique (information)
Traiter le signal électrique
Distribuer l’énergie électrique
Transformer l’énergie électrique en effort
Effort exercé sur
l'outil chirurgical
F11
M11
G11
F12
G12
M12
Energie électrique
F13
G13
Effort exercé sur la
main du chirurgien
M13
F14
M14
Question 3. :
Proposer une expression de la fonction de service qui définit la relation entre l’instrument chirurgical et la plaque
d’extrémité (figure 1-7) du bras du robot esclave ;
proposer trois critères que vous jugez importants pour quantifier cette fonction de service.
FS : permettre la fixation de l’instrument chirurgical sur la plaque d’extrémité ;
Critères :
résistance aux efforts ; précision du positionnement ; rapidité de montage/démontage ; liberté de
fonctionnement des poussoirs ; adaptabilité aux formes d’instruments.
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3- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE
"FS 1"
3-1 Traitement du problème d’hyperstatisme
Question 4. :
Déterminer γ, le « nombre cyclomatique » ou nombre
de cycles indépendants de la structure étudiée.
Figure 3-3
γ = Nliaisons − Nsolides +1 = 8 – 7 + 1 = 2 cycles
Question 5. :
Mettre en place le système des 6 équations de
cinématique qui correspond à la fermeture de la chaîne
de solides (3-5-4-6-3) et aux liaisons en A, B, D, C.
Les torseurs cinématiques seront pour cela exprimés
au point A et dans la base (X0, Y1, Z1).
Equation de fermeture de chaîne :
{V3/5}+{V5/ 4}+{V4/ 6}+{V6/3}={0}
Ecriture des torseurs :
⎧ p35 0⎫⎪
0⎬
0
0⎪⎭ A(x0, y1, z1)
⎪⎩
{V3/5}=⎪⎨ 0
⎫
⎧ p54
0
⎧ p54 0⎫⎪
⎪
⎪
0⎬
=⎨ 0 −l⋅ p54 ⋅sinθ ⎬
⎪⎩ 0 0⎪⎭B(x0, y1, z1) ⎪⎩ 0 −l⋅ p54 ⋅cosθ ⎪⎭
A(x0, y1, z1)
r
r
r r
r
r
r
car : VA,5/ 4 =VB,5/ 4 + AB^Ω5/ 4 =l⋅ y0^ p54 x0 =−l⋅ p54 ⋅z0
{V5/ 4}=⎪⎨ 0
⎧ p46
{V4/ 6}=⎪⎨ 0
⎪⎩ 0
⎧ p46
⎫
0
0⎫⎪
⎪
⎪
0⎬
=⎨ 0 p46(c −l⋅sinθ)⎬
0⎪⎭D(x0, y1, z1) ⎪⎩ 0 −l⋅ p46 ⋅cosθ ⎪⎭
A(x0, y1, z1)
r
r
r r
r r
r
r
r
car : VA,4 / 6 =VD,4 / 6 + AD^Ω4 / 6 =(l⋅ y0+c⋅z1)^ p46 x0 =−l⋅ p46 ⋅z0 +c⋅ p46 ⋅ y1
⎧ p63 0 ⎫
0⎫⎪
⎪
⎪
0⎬
=⎨ 0 c⋅ p63 ⎬
0⎪⎭C(x0, y1, z1) ⎪⎩ 0 0 ⎪⎭
A(x0, y1, z1)
r r
r
r
r
r
r
car : VA,6 / 3 =VC,6 / 3 + AC^Ω6 / 3 =c⋅z1^ p63 x0 =c⋅ p63⋅ y1
Ecriture du système d’équations :
Projection des vecteurs rotation :
sur X0 : p35 + p54 + p46 + p63 = 0
(1)
sur Y1 : 0 = 0
(2)
sur Z1 : 0 = 0
(3)
Projection des vecteurs vitesse :
sur X0 : 0 = 0
(4)
sur Y1 : −l⋅ p54⋅sinθ + p46(c −l⋅sinθ) + c⋅ p63 = 0
(5)
sur Z1 : −l⋅ p54 ⋅cosθ −l⋅ p46 ⋅cosθ = 0
(6)
⎧⎪ p63
{V6/3}=⎨ 0
⎪⎩ 0
Question 6. :
Déterminer le rang « rc » du système des équations de fermeture de chaînes cinématiques qui correspondent à la
structure étudiée (figure 3-3)
- vérifier à partir de ce résultat la mobilité « mc » de la structure ;
- déduire son degré d’hyperstatisme « h ».
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les équations (2), (3), (4), (8), (9), (10) ne sont pas linéairement indépendantes ;
donc rc = 12-6 = 6
alors : mc = Nc – rc = 8 – 6 = 2 ce qui est correspond aux deux paramètres de position λ et θ.
Et h = 6γ - rc = 6x2 – 6 = 6
Question 7. :
On souhaite éviter les effets néfastes de l’hyperstatisme en ajoutant des mobilités dans les liaisons de la structure. On
choisit de modifier les liaisons 5/4 et 4/6 (respectivement point B et point D sur la figure 3-3). Proposer une liste de
mobilités judicieusement choisies permettant de répondre au problème, et donner la nouvelle écriture des torseurs
cinématiques de ces deux liaisons.
Les mobilités à ajouter devront permettre d’augmenter le rang du système des 12 équations de
cinématique et donc intervenir sur les équations (2), (3), (4), (8), (9), (10) ; il s’agit donc des 6
mobilités suivantes : q54, r54, u54, q46, r46, u46. (on vérifie facilement que le nouveau système
d’équations est un système de 12 équations linéairement indépendantes).
Les torseurs des deux liaisons modifiées s’écrivent :
⎧ p54 u54 ⎫
⎧ p46 u46 ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
{V5/ 4}=⎨ q54 0 ⎬
; {V4 / 6}=⎨ q46 0 ⎬
;
⎪⎩ r54 0 ⎪⎭B(x0, y1, z1)
⎪⎩ r46 0 ⎪⎭D(x0, y1, z1)
ce sont des liaisons « sphère-cylindre »
(ou linéaires annulaires)
3-2 Traitement du problème géométrique et cinématique
3-2-1 Phase de mise en position
Question 8. :
Ecrire la relation vectorielle qui traduit que, dans la position d’initialisation (λ=0), le point T1 est centre instantané de
rotation du mouvement de l’instrument (solide 8) par rapport au repère R0 (réalisation du critère associé à la fonction de
service FS1).
r
r
VT1,8/ 0 =0
Question 9. :
r
Dériver le vecteur position O1T1 pour en déduire :
- la valeur de la dimension e1 à respecter, en fonction de certaines dimensions du robot ;
- la valeur de la cote d’initialisation λ0, en fonction de la dimension « f1 » de l’instrument chirurgical.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
O1T1 =O1 A+ AE + ET1 = d⋅y1 + λ0 ⋅z1 − v ⋅ y 0 + w ⋅ z 0 −e1⋅y1 −f1 ⋅z1
• r
• r
r
r
• r
• r
r
r
r
r
VT1,8/ 0 = d (O1T1)= d (d⋅y1 +λ0⋅z1) + d (−e1 ⋅y1 −f1 ⋅z1) = d⋅θ ⋅z1 −λ 0 ⋅θ ⋅ y1 −e1⋅θ⋅z1+f1⋅θ⋅ y1
dt
dt
dt
•
r
r
= θ ⋅((d-e1)⋅z1 +(f1 −λ 0)y1)
r
r
VT1,8/ 0 =0 ⇒ e1 = d et λ0 = f1
Question 10. :
Déterminer en fonction des grandeurs dimensionnelles caractéristiques du robot (tableau 3-4), la valeur des cotes "ET"
et "HT".
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
O1T0 =O1T1 =O1 A+ AE + ET1 = d⋅y1 + λ0 ⋅z1 − v ⋅ y 0 + w ⋅ z 0 −e1⋅y1 −f1 ⋅z1 = − v ⋅ y 0 + w ⋅ z 0
r r
r r
ET = −O1T0 ⋅ y0 = v et HT = O1T0 ⋅ z0 = w
Question 11. :
→
•
•
r r
Exprimer le vecteur VA,5/0 en fonction de θ et λ , dans la base ( y1 , z1 ) ;
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Démontrer que le solide (5) est animé d'un mouvement de translation par rapport à (0), puis donner l'expression de
• •
→
r r
VE,8/0 , en fonction de θ , λ et des grandeurs dimensionnelles, dans la base ( y1 , z1 )
r
• r
• r
• r
r
r
r
VA,5/ 0 = d (O1 A)= d (d⋅y1 +(λ0 −λ)⋅z1) = d⋅θ ⋅z1 −(λ0 −λ)⋅θ ⋅ y1 −λ⋅z1
dt
dt
r
r r
r r
r
r
r
VB,5/ 0 = d (O1B)= d (O1 A+ AB) = d (O1 A)+ d (l⋅ y0) = d (O1 A)=VA,5/ 0
dt
dt
dt
dt
dt
les points A et B du solide (5) ont même vecteur vitesse ; (5) est donc en translation.
• r
• r
• r
r
r
r
Alors VE,8/ 0 =VE,5/ 0 =VA,5/ 0 = d⋅θ ⋅z1 −(λ0 −λ)⋅θ ⋅ y1 −λ⋅z1
Question 12. :
r
r r
Exprimer VT,8/0 dans la base ( y1 , z1 ) , et vérifier que le résultat respecte le critère associé à la fonction de service
FS1.
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
On a TE =TT1 +T1E =−λ ⋅z1 +e1⋅y1+f1⋅z1=−λ ⋅z1 +d⋅y1+λ0 ⋅z1=(λ0 −λ)⋅z1 +d ⋅ y1
r
r
r r
• r
• r
• r
• r
r •r
r
VT,8/ 0 =VE,8/ 0 +TE^Ω8/ 0 = d⋅θ ⋅z1 −(λ0 −λ)⋅θ ⋅ y1 −λ⋅z1 + [(λ0 −λ)⋅z1 +d ⋅ y1 ]^θ x0 = −λ⋅z1 .
r r
VT,8/ 0 ⋅y1 =0 ; le critère associé à la fonction de service FS1 est donc respecté.
4- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE
"FS 3"
4-2-1 Vérification de la vitesse
de rotation maximum du motoréducteur.
Question 13. :
Déterminer la vitesse nominale de
translation du coulisseau (4) ; vérifier la
conformité avec le cahier des charges.
O
Vnom = Nnom . 2 . π / 60 . Φ1 / 2 =
6,28 . 19,8 . 10-3 = 0,124 m / s
Conformité car Vnom> 0,1 m / s.
4-2-2 Vérification du temps t1
de mise en vitesse
Question 14. :
Isoler l’ensemble { rotor et pignons du moto-réducteur (1) + poulies-courroie (2) + arbre intermédiaire (3) + pignon (3’)
+ coulisseau à crémaillère (4) + partie supérieure du robot + tambour (3’’) + câble (5) + renvoi (6) + contre-poids (7) }.
Faire le bilan, sans détailler les éléments de réduction des torseurs, des actions extérieures et intérieures à l’ensemble
isolé et préciser si les puissances correspondantes sont nulles ou non nulles.
Isolons l’ensemble { rotor et pignons du moto-réducteur + poulies-courroie + arbre intermédiaire
(3)+ pignon-crémaillère + partie supérieure du robot + tambour-câble + contre-poids},
Bilan des actions mécaniques extérieures :
Expression du torseur
{T (Bâti → 3) }
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Actions mécaniques extérieures
Puiss. galiléenne ( = 0 ou ≠ 0)
Justifications
- pas de frottements
P(B → 3 / B ) = 0
- la liaison ne se déplace pas
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{T (Bâti → 6) }
P(B → 6 / B ) = 0
{T (Bâti → 4) }
{T (Pesanteur → 7) }
{T (Pesanteur → 4) }
{T(Bât.+st.1→ Rot.1+pign.)}
P(B → 4 / B ) ≠ 0
P(Pes. → 7 / B ) ≠ 0
P(Pes. → 4 / B ) ≠ 0
P(B → Rot.1+pign. / B ) ≠ 0
Expression du torseur
{T (5 ↔ 6) }
{T (2 ↔ poulies) }
{T (5 ↔ 3’’) }
{T (3’ ↔ 4) }
- pas de frottements
- la liaison ne se déplace pas
- frottements dans la liaison
- déplacement vertical de 7
- déplacement vertical de 4
- puissance du moto-red.
Actions mécaniques intérieures
Puiss. inter-efforts ( = 0 ou ≠ 0) Justifications
- pas de glissement câble/poulie
P (5 ↔ 6 ) = 0
- pas de glissement courroie/poulies
P (2 ↔ poulies ) = 0
- courroie inextensible
pas de glissement câble/poulie
P (5 ↔ 3’’ ) = 0
- pas de frottement
P (3’ ↔ 4 ) = 0
Question 15. :
Exprimer la somme des puissances des actions de pesanteur sur l’ensemble isolé ; montrer que cette somme est nulle
lorsque le contre-poids (7) et le tambour (3’’) d’enroulement du câble sont correctement dimensionnés (critère
d’équilibrage statique associé à la fonction de service FS5) .
Exprimer littéralement la somme des puissances pendant la phase de montée, en fonction de Cred , ωred , Zgliss , Φ1 et M.
Expression de la vitesse de déplacement du contre-poids : Vc = - Φ1 / 4 . ωred = - λ’ / 2.
Expression de la puissance des actions de pesanteur sur l’ensemble isolé :
P(Pes. → (7+4) / B ) = - 2 . M . g . Φ1 / 4 . ωred + M . g . Φ1 / 2 . ωred = 0
Pext + Pint (en montée) = Cred . ωred - Zgliss . ωred . Φ1 / 2
Question 16. :
Exprimer littéralement l’énergie cinétique galiléenne instantanée de l’ensemble isolé, en fonction de ωred , J1 , J2 , Φ1 et
M.
En déduire l’expression littérale du moment d’inertie équivalent Jéqu, à toutes les pièces en mouvement, ramené à
l’arbre de sortie du réducteur.
Faire l’application numérique (trois chiffres significatifs sont attendus).
Expression littérale de l’énergie cinétique galiléenne instantanée :
Ec tot = ½ [ J1 + J2 + M . Φ12 / 4 + 2 . M . Φ12 / 16 ] . ωred2 = ½ [ J1 + J2 + 3 . M . Φ12 / 8 ] . ωred2
On en déduit l’expression littérale du moment d’inertie équivalent : Jéqu = [ J1 + J2 + 3 . M . Φ12 / 8 ]
Jéqu = 6,75 . 10-3 kg . m²
Application numérique : Jéqu = 2 . 10-3 + 1 . 10-3 + 3,75 . 10-3
Question 17. :
Ecrire littéralement le théorème de l’énergie cinétique pendant la phase d’accélération en montée, en fonction de Jéqu ,
Cred , Zgliss , Φ1 et
•
ω red = d ωred /dt.
En déduire l’expression de l’accélération angulaire
•
ω red
pendant cette phase.
Expression littérale du théorème de l’énergie cinétique :
[ J1 + J2 + 3 . M . Φ12 / 8 ] . ωred . ω’red = Cred . ωred - Zgliss . Φ1 / 2 . ωred
On en déduit l’expression de l’accélération angulaire : ω’red = [ Cred - Zgliss . Φ1 / 2 ] / Jéqu
Question 18. :
Faire l’application numérique lorsque Cred = Cnom = 1,4 N.m.
En déduire le temps t1 pour que le moteur atteigne la vitesse de rotation nominale Nnom et vérifier sa conformité du
système par rapport au critère du cahier des charges (t1 < 0,1 s).
Application numérique : ω’red = (1,4 – 10 . 19,2 . 10 -3 ) / 6,75 . 10-3 = 180 rd / s2
On en déduit le temps t1 pour que le moteur atteigne la vitesse de rotation nominale Nnom = 60 tr/mn
ωred = 180 . t donc t1 = 60 . 2 π / 60 / 180 = 0,035 s
Conformité du système par rapport au critère du cahier des charges t1 < 0,1 s.
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Question 19. :
Lorsque la partie supérieure du robot s’élève, en phase d’accélération, on souhaite vérifier que le câble est toujours
tendu : exposer la démarche du raisonnement en précisant le système isolé, le bilan des actions, le théorème utilisé,
l’équation de projection utile et le résultat avec application numérique.
Vérifions que le câble est toujours tendu :
On isole le contre-poids + brin de câble ;
Bilan des A. M. Ext : Poids et Tension du câble ;
P. F. D. : équation de la résultante en projection sur l’axe Z : - 2 . M . g + T = - 2 . M . Φ1 / 4 . ω’red
T = 2 . M . ( g - Φ1 / 4 . ω’red ) = 11 . (9,81 – 180 . 9,6 . 10-3 ) = 11 . 8,08 = 89 N
T est positif donc le câble est toujours tendu.
4-2-3 Evaluation de la fonction de transfert du moto-réducteur
Question 20. :
Transformer les équations temporelles ci-dessus.
Remplir sous forme littérale les blocs du schéma figure R20 du document réponses. Exprimer les grandeurs physiques
entre chaque bloc.
Transformation des équations temporelles :
U(p)- E(p) = (R + Lp) . I(p) ;
E(p) = Kc . Ωm.r.(p)
Cm(p) – Cr(p) – fv . Ωm.r.(p) = Jéqu . p . Ωm.r.(p)
Remplissons sous forme littérale les blocs :
;
Cm(p)= kc . I(p)
Question 21. :
Exprimer littéralement sous forme canonique la fonction de transfert du moto-réducteur M(p)=
Ωred(p)
.
U(p)
Expression littérale de la fonction de transfert du moto-réducteur :
kc
Ωmoto−red(p) (R+ Lp)(Jequ p+ fv)
kc
kc
M(p)=
=
=
=
(
R
Lp
)(
J
equ p+ fv)+kc⋅ke LJ equ p²+(RJ equ + fv L)p+ Rfv +kc⋅ke
c⋅ke
U(p)
k
+
1+
(R+ Lp)(J equ p+ fv)
kc
Rfv +kc⋅ke
M(p)=
LJ equ p²+ (RJequ + fv L) p+1
Rfv +kc⋅ke
Rfv +kc⋅ke
Question 22. :
Après avoir analysé cette courbe, expliquer sur le document réponses sous la figure R22 pourquoi on peut négliger
l’inductance L.
M(p) est du second ordre. Or, la courbe de réponse ne présente pas de tangente horizontale à
l’origine (sauf si on fait un zoom), ce qui est caractéristique d’un système du premier ordre.
Le temps de réponse à 5% qui vaut 3 fois la constante de temps est une autre justification possible.
D’autre part, Lω est très faible devant R, ce qui permet, en négligeant sa valeur, de dire que M(p)
est du premier ordre.
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Question 23. :
Justifier analytiquement la réponse précédente à partir de l’expression de M1(p) lorsque l’on envisage une étude
fréquentielle : on précisera la valeur du pôle dominant, l’autre (faisant intervenir la valeur de L) étant rejeté.
Justification analytique de la réponse précédente à partir de l’expression de M1(p) :
Le dénominateur de M1(p) s’écrit : (1+14,28.10-3p).(1+0,22.10-3p)
Le dénominateur de M1(p) s’écrit : 3,14.10-6(p+70)(p+4545)
la valeur du pôle dominant est : -70, l’autre pôle (- 4545) est très loin de l’origine du plan complexe,
et n’a aucune influence sur le comportement du système.
Question 24. :
Exprimer littéralement, sous forme canonique, la fonction de transfert du moto-réducteur M 2 (p)=
Ωred(p) Gs
=
.
U(p) 1+Tp
Donner les valeurs numériques de Gs et de T à partir de l’expression de M1(p) et des réponses apportées à la question
23 (3 chiffres significatifs sont attendus).
Expression littérale de la fonction de transfert du moto-réducteur :
kc
Rfv +kc⋅ke
2,1
Gs= kc =
=0,4366rd /V
M 2(p)=
Rfv +kc⋅ke 10x0,04+2,1x2,1
1+ RJequ p
Rfv +kc⋅ke
10.7.10−3
=1,455.10−2s
T = RJequ =
Rfv +kc⋅ke 10.0,04+2,1.2,1
Question 25. :
Déterminer les valeurs de Gs et T , à partir de la courbe de tension image de ωréd(t) figure R22 (expliquer les démarches
sous la figure et comparer avec les résultats de la question 23).
Valeurs de Gs et T : à partir de la courbe de tension image de ωréd(t) :
On mesure T = 2.10-2 s et Gs = 1,75.6/24 = 0,437 rd/V.
4-2-4 Respect du critère de marge de phase
Question 26. :
Donner la fonction de transfert du bloc B(p) et la valeur du coefficient du bloc C en incr./rad.
Exprimer numériquement, en fonction de k, la fonction de transfert en boucle ouverte H 0(p) .
Fonction de transfert du bloc : B(p) = 1 / p ;
Valeur du coefficient du bloc C = 360 . 50 / 2π = 2865 inc. / rd.
Expression numérique de la fonction de transfert en boucle ouverte
0,436
1250
H0(p) =k⋅
⋅ 1 ⋅2865=k⋅
.
1+1,455.10−2 p p
(1+1,455.10−2 p)⋅ p
Question 27. :
Tracer sur le document réponses figure R 27, les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte pour k = 1.
Le système est-il stable en boucle fermée pour cette valeur de k ? Répondre au bas du document réponse 27 en
justifiant.
Diagrammes de Bode du système en boucle ouverte pour k = 1.
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GAIN
100
Stabilité en boucle
fermée pour cette valeur de
k:
On relève une amplitude de
0 dB pour ω = 300 rd / s.
La phase est de –167° donc
la marge de phase est Mφ =
13 °. Le système est stable,
mais cette stabilité est
insuffisante car cette marge
est inférieure à 45°.
PHAS
50
0
-50
-100
-150
-200
100
101
5
102
5
103
5
PULS
Question 28. :
Quelle est l’influence de la prise en compte de L sur la stabilité en boucle fermée ? (répondre sur le document réponses
sous la figure R28). L’hypothèse consistant à négliger L est-elle vérifiée ?
Déterminer, et expliquer à partir de constructions faites sur le diagramme de Black document réponses figure R28, la
valeur k45 de k qui permet d’obtenir la marge de phase de 45 ° spécifiée dans le cahier des charges.
Influence de la prise en compte de L sur la stabilité en boucle fermée :
100
GAIN
80
60
40
20
-359
-358
-356
-353
-350
-340
.25
.5
1
2.3
4
6
12
0
-22,3
-1
-2
dB -4
-7
-10
0 -20
-.5
-1
-2
-3
-5
-10
-20
-20
-30
-40
30 -310 -290 -270 -250 -230 -210 -190 -170 -150 -130 -110 -90
-180
-60
-300
-250
-200
-150
-100
-70
-50
-30
-40
-50
0
-50
PHAS
Lorsque L n’est pas négligée,
la marge de phase reste de
13°, la diminution de phase
provoquée par la présence de
L se manifeste dans les
pulsations beaucoup plus
hautes que 300 rd/s.
L’hypothèse consistant à
négliger L est vérifiée .
Valeur k45 de k qui permet
d’obtenir la marge de phase de
45 ° :
La marge de phase de 45° est
obtenue pour ω = 68,6 rd / s,
l’amplitude est alors de 22,3
dB au lieu de 0 db.
La valeur de k45 est donc de
10 -22,3/20 = 0,0767.
4-2-5 Etude de la précision de la boucle d’asservissement de position angulaire
Question 29. :
Calculer, pour la valeur k45 de k établie précédemment, l’écart statique εcons ∞ en incréments lorsque la consigne est un
échelon de position : Cons(t) = 1.u(t).
Ecart statique pour une consigne en échelon : cet écart est nul car il y a une intégration dans la
boucle d’asservissement.
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Question 30. :
Calculer, pour la valeur k45 de k établie précédemment, l’écart statique εpert ∞ en incréments entre la consigne et la
mesure lorsque la perturbation est l’échelon de couple résistant Cr.u(t) induit par les frottements secs.
La chaîne cinématique de transmission est telle qu’il faut 150 incréments pour que la crémaillère se déplace de 1 mm,
quelle est l’incidence de cet écart sur la position de l’instrument ?
Conclure par rapport aux exigences du cahier des charges.
Proposer une modification du bloc K qui annulerait cet écart.
Ecart statique pour un échelon de perturbation : il n’y a pas d’intégration en amont de la
perturbation donc :
ε pert = 0,436.R/ kc .Cr = 0,436.10/ 2,1.0,2 =12 inc.
kamont
0,436.0,077
Ecart de position sur l’instrument : εinstr = 12/150=0,08 mm.
Il y a conformité avec le cahier des charges car εinstr < 0,2 mm.
Pour annuler cet écart, il faut placer une intégration dans le bloc K mais cela n’est pas nécessaire
ici.
4-3 Vérification des performances de la chaîne de positionnement de l’instrument
4-3-2 Analyse du déplacement en translation de la crémaillère
Question 31. :
Exprimer le coefficient du bloc H2 ; préciser l’unité.
Valeur du coefficient du bloc H2 = Φ1 / 2 = 19,2 . 10-3 m / rd .
Question 32. :
Quelle relation doit vérifier le produit P des gains des blocs C1 , H1 , H2 ? Justifier.
Exprimer le coefficient c1 en incréments par mètre du bloc C1 .
Le produit des gains des blocs C1.H1.H2 doit être égal à 1 pour avoir les mêmes échelles de
variation des déplacements de la main et de la crémaillère. P = 149220.0,00035. 19,2 . 10-3=1.
Cette condition est vérifiée ici.
Valeur du coefficient c1 = 2865 / (19,2 . 10-3) = 149220 inc. / m.
Question 33. :
Exprimer le nouveau coefficient c2 du bloc C1 ainsi que le nouveau produit P1 .
Valeur du nouveau coefficient c2 = c1 / 10 = 14922 inc. / m.
Le nouveau produit des gains est P1 = 0,1.
4-3-3 Analyse du déplacement de l’instrument chirurgical par rapport à la crémaillère
Question 34. :
Etablir, à partir de cette figure R34, l’expression de la fonction de transfert H3(p) ; déterminer les valeurs
caractéristiques : Gain statique, coefficient d’amortissement et pulsation propre.
Fonction de transfert H3(p) :
Le premier dépassement relatif est D = 11 / 20 = 0,55 donc ξ = 0,2.
Le temps de réponse à 5 % est de 0,55 s et pour ξ = 0,2 on lit : tr5% . ω0 = 15 donc ω0 = 27 rd / s.
Le gain statique est Gs1 = 1 .
Dinstrum(p)
1
1
La fonction de transfert est : H3(p) =
=
=
Dcrém(p) 1+ 2⋅0,2 p+ 1 p² 1+0,015p+0,0014p²
27
(27)²
Question 35. :
Le critère de la bande passante de 4 Hz à –3 dB est-il satisfait ? répondre et justifier sur le document réponses.
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Bande passante à –3 dB : pour un système du second ordre, la pulsation de coupure à –3 dB se situe
au voisinage de ω = ω0 = 27 rd/s soit f = 27/6,28 = 4,3 Hz.
Le critère de la bande passante de 4 Hz est respecté.
Question 36. :
Le solide S1 est dans la position d’équilibre ; écrire l’équation d’équilibre.
On isole S1, il est soumis à l’action de la pesanteur et à celle du ressort.
Equation d’équilibre : le PFS en projection sur z donne : -m1.g - k0.a0 = 0.
Question 37. :
Le solide S1 est déplacé de sa position d’équilibre puis abandonné à son propre poids. Déterminer l’équation
différentielle du mouvement autour de la position d’équilibre.
Après avoir mis l’équation différentielle du mouvement sous forme canonique :
••
•
A⋅ z (t)+ B ⋅ z(t)+ z(t)=0 , exprimer le coefficient d’amortissement ζ3 et la pulsation propre ω03 du mouvement en
fonction de k0, f0, m1 .
Equation du mouvement autour de la position d’équilibre :
Le PFD en projection sur z donne : -m1.g - k0.(a0 + z) – f0.dz/dt = m1.d²z/dt²
soit, d’après la condition d’équilibre, m1.d²z/dt² + f0.dz/dt + k0.z = 0
d 2 z f0
et sous forme canonique : m1. + .dz + z =0
k0 dt² k0 dt
f0
Pulsation propre : ω03 = k0 ;
Coeff d’amortissement : ζ 3= 1. .ω0 = 1.f0. 1
m1
2
2 k0
k0.m1
Question 38. :
Pour la valeur de ω03 calculée précédemment, déterminer la valeur minimale de la raideur k0 (en N/m) qui permettrait de
respecter le critère de la bande passante à –3 dB de 4 Hz.
(On notera que ω-3dB > ω03 ).
Valeur minimale de la raideur du ressort : f3= 1 . k0 donc
2.π m1
k0 =4.π².m1.f32 =4.9,87.1,6.16=1010 N / m .
4-3-4 Analyse du déplacement de l’instrument par rapport au déplacement de la main.
Question 39. :
Mettre en évidence sur le document réponses et donner les valeurs numériques :
de l’écart dynamique maximal ; de l’écart de traînage (ou de vitesse) εv en régime établi, du retard de traînage. Le cahier
des charges est-il satisfait pour ce dernier critère ?
Déplacement de l’instrument par rapport à la main.
Déplacements (m)
Ecart dynamique maximal : 0,005 m
0,0025 m
0.05
Ecart de traînage : 0,0025 m
0,02 s
0.04
Retard de traînage : 0,02 s
0.03
Conformité par rapport au cahier des
0.02
charges ? Respect du CDCF quant au
retard de traînage
0,005 m
0.01
0
0
0.1
0.2
Corrigé PT SIA – 2005
0.3
0.4
0.5
TEMPS (s)
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Question 40. :
Déterminer à partir de cette courbe, l’amplitude du mouvement pris par l’instrument. Quelle est la conséquence de ce
mouvement sur la plaie chirurgicale ?
Amplitude du mouvement de l’instrument : Le gain mesuré pour une période de 0,25 s soit une
pulsation de 25,12 rd / s est de 8,5 dB soit 10 8,5/20 = 2,66. L’amplitude est plus que doublée, le
patient risque de ne pas apprécier mais heureusement, il dort pendant l’opération.
4-3-5 Amélioration des performances dynamiques.
Question 41. :
Tracer sur le document réponses figure R41, les trois courbes asymptotiques d’amplitude de ces filtres avec des
couleurs différentes.
Sachant que les mouvements dont la période est inférieure à 1 s ne doivent pas être atténués de plus de 1 dB, choisir le
numéro 1, 2 ou 3 du filtre qui atténue de 8 à 10 dB le tremblement de la main de période 0,25s.
Tracer sur cette figure, dans une autre couleur, l’allure de la courbe d’amplitude corrigée par ce filtre.
Le niveau de 4 Hz, de la bande passante à –3dB du critère de rapidité est-il toujours respecté ?
Tracé des diagrammes asymptotiques d’amplitude des filtres :
N° 1 ⇒ T1 N° 2 ⇒ T2 N° 3 ⇒ T3
8,5 dB
2
3
1
H(p) et 2
6,28 rd/s
25 rd/s
Choix du filtre :
Le N° 1 coupe à 1 / 0,04 = 25 rd / s donc ne supprime pas le pic à 8,5 dB : il ne convient pas ;
Le N° 3 coupe à 1 / 0,5 = 2 rd / s donc en dessous de 6,28 rd / s (1 Hz) : il ne convient pas ;
Le N° 2 coupe à 1 / 0,1 = 10 rd / s et élimine à peu près correctement le pic à 8,5 db.
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Voici la courbe de gain réelle après filtrage :
GAIN
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
100
2
5
101
2
102
5
PULS
5- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE
"FS 4 :
5-1 Etude de résistance
Les caractéristiques mécaniques du matériau sont :
- Module d'élasticité longitudinal : E = 130 000 N.mm-2
- Contrainte de limite élastique : Re = 1700 N.mm-2
- Masse volumique : 1550 kg.m-3
Question 42. :
Comparer l'utilisation de ce matériau par rapport à un tube de même section en acier S235 ? (On comparera la raideur et
la résistance) ;
La comparaison de la raideur s’effectue à partir du module d’élasticité longitudinal E :
E acier = 220 000 N.mm-2 donc la raideur du matériau utilisé est plus faible que celle de l’acier,
d’un facteur 0,6.
La comparaison de la résistance s’effectue à partir de la contrainte de limite élastique Re :
Re acier = 235 N.mm-2 donc la résistance du matériau utilisé est 7 fois plus élevée que celle de
l’acier.
Figure 5-3
Question 43. :
Donner l'expression littérale du moment quadratique "ISy", de la
section de tube par rapport à l'axe Sy et calculer sa valeur en mm4 .
Z
De
Y
Di
Isy = π (De4 − Di 4) = 527 mm4
64
S
diamètre extérieur : De = 12 mm ;
diamètre intérieur : Di = 10 mm.
Surface : St = 34,6 mm2 .
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On suppose que chacun des quatre tubes de longueur "Lt" = 600 mm, est sollicité équitablement sous l'effet de l'action
"Fop" exercée par l'opérateur sur la plaque EE’J’J.
Question 44. :
Tracer le diagramme du moment de flexion le long d'un tube et
calculer la valeur maximale de celui-ci.
(On utilisera le repère (X,Z) de la figure 5-4 dans lequel l’axe de la
poutre est porté par X).
Mf maxi = Lt x Fop/4 = 15 Nm
Figure 5-4
Z
Mf(x)
X
O
Fop/4
Lt = 600
Question 45. :
Déterminer la contrainte normale maximale dans un tube ;
Conclure par rapport au cahier des charges.
Mfmaxi De
⋅
= 170 N.mm-2 (ou Mpa)
2
ISy
Le coefficient de sécurité est s = 1700 / 170 = 10
D’où conformité par rapport au cahier des charges qui impose 5.
σ maxi =
5-2 Etude des déformations
Question 46. :
Déterminer l'expression littérale, puis donner la valeur numérique de la raideur " K Z S1 " de la structure à 4 tubes (figure
5-2).
La raideur d’un tube est 3⋅E⋅I3 SY ; la raideur des 4 tubes placés en parallèle est 4 fois plus grande :
Lt
SY
⋅
E⋅
I
12
K Z S1 =
= 3,8 N mm-1
3
Lt
5-2-1 Evolution de la structure du bras inférieur (E, F) :
Une structure en treillis triangulaire (E, F, H),
Figure 5-7
constitués de tubes est utilisée pour
augmenter la rigidité du bras inférieur (E, F)
E
(voir la figure 5-6).
Hypothèse de travail : on considère que
90
Fz inf
l’assemblage entre les tubes au point E d'une
part, et entre les tubes et le reste de la
structure aux points F et H d'autre part, se
comporte comme une liaison rotule ; le
modèle d'étude est donné figure 5-7 .
Tous les calculs seront effectués pour un effort FZ inf = 100 N.
F
Z0
Y0
600
H
Question 47. :
Déterminer la nature et la valeur numérique des sollicitations existant dans le tube EF, puis dans le tube EH (un
raisonnement rigoureux est exigé) ;
Effectuons l’inventaire des actions exercées sur le nœud E :
- l’action Fzinf ;
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-
l’action de la poutre EF : c’est une force portée par la direction EF (par isolement de la
poutre EF qui n’est soumise qu’à deux actions, et application du principe fondamental de la
statique).
- L’action de la poutre EH : c’est une force portée par le direction EH (même raisonnement)
Traçons le triangle des forces :
FEF→E
Ceci montre :
a
La poutre EF en compression :
Fz inf
La poutre EH en extension.
FEH→E
Et on a les efforts normaux :
NEF = - FEF = - Fzinf / tg(a) = - 667 N
NEH = + FEH = + Fzinf / sin(a) = + 674 N
(avec tg(a)=0,15)
Question 48. :
Déterminer les valeurs numériques (en mm) des allongements δ FE et δ HE (valeurs algébriques) des
tubes EF et EH.
δ FE =
l FE ⋅ N FE
= - 0,0889 mm et
E ⋅ St
δ HE =
l HE ⋅ N HE
= 0,0909 mm
E ⋅ St
Question 49. :
Donner l'expression (algébrique) en mm du déplacement vertical δ Z inf de l'extrémité E de la partie de la structure
triangulaire en fonction de δ FE et δ HE .
Calculer numériquement δ Z inf ; En déduire la raideur " K Z inf " de cette partie de structure triangulaire .
Après déformation, la position du point E est située à l’intersection des deux cercles :
- cercle de centre F et de rayon R1= lFE +δ FE = 599,911 mm
- cercle de centre H et de rayon R2= lHE +δ HE = 606,803 mm
Ecrivons l’équation de chaque cercle dans le repère (F,Y0,Z0) (avec h=HF=90 mm):
y 2 + z 2 = R12
et y 2 +(z +h)2 = R22
et résolvons le système ainsi constitué ; on obtient : z = 1 (R22 − R12 −h2)
2h
l’application numérique nous donne : δ Z inf = 1,38 mm donc Kzinf = 72,5 N.mm-1
5-2-2 Evolution de la structure du bras supérieur (J, L) :
L'utilisation d'un logiciel de calcul par éléments
finis a permis d'obtenir, sous l'effet d'un effort
FZ sup = 100 N,
•
la déformée proposée sur la figure 5-8
Figure 5-8
N
Z0
M
J
L
δ Z sup
•
les réactions suivantes aux appuis, sur
la structure :
Y0
Fz sup
Résultante / y0
Résultante / z0
Moment / x0
Point M
- 298 N
- 50 N
15 Nm
Point L
298 N
- 50 N
15 Nm
Question 50. :
Tracer le long des poutres (N, M) et (J, L), les diagrammes de l'effort normal, de l'effort tranchant et du moment
fléchissant. (on travaillera avec la convention du torseur de cohésion qui utilise les actions exercées par la partie située à
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droite de la section fictive, sur la partie située à gauche de celle-ci). En déduire une figure qui précise les actions (forces
et moments orientés, avec les valeurs numériques) exercées aux points J et N par les tubes, sur le tronçon JN.
Poutre (N,M) :
Poutre (J, L) :
Effort normal
Effort normal
M
N
tronçon JN :
298 N
L
J
- 298 N
N
- 15 Nm
-50N
Effort tangentiel
Effort tangentiel
M
N
L
J
- 50 N
Moment fléchissant
-298N
- 50 N
Moment fléchissant
15 Nm
M
N
- 15 Nm
J
-50N
15 Nm
298N
- 15 Nm
L
J
- 15 Nm
Le logiciel a aussi donné le déplacement δ Z sup = 13,4 mm de l'extrémité J de la partie de la structure rectangulaire sous
l'effet d'un effort FZ sup = 100 N .
Question 51. :
En déduire la raideur " K Z sup " de cette partie de structure rectangulaire, ainsi que la raideur " K Z S2 " de la structure
complète (comprenant deux parties supérieures rectangulaires et deux parties inférieures triangulaires).
On déduit la raideur K Z sup = 7,46 N.mm-1
(Nota : on observe qu’elle est 10 fois plus faible que
celle de la structure triangulée HEF) ;
La raideur totale est la somme des deux raideurs, et multipliée par 2 du fait de la double structure.
Donc K Z S2 = 2 ( 7,46 + 72,5) = 160 N.mm-1
Nota : les résultats de la question 38 conduisaient à un besoin d’une raideur de 1 N.mm-1 pour une
bande passante de 4 Hz ; celle-ci pourra donc être nettement améliorée.
6- OPTIMISATION DE LA COMMANDE
Question 52. :
La relation R12 est une relation causale (ou « unilatérale » ou « orientée ») ;
expliquer pourquoi, en exprimant la grandeur de sortie en fonction de la grandeur d’entrée ; préciser comment
s’effectue la transformation d’énergie dans le système concerné.
T
La relation est causale car on exprime la grandeur de sortie : V1(T)=V1(0) − 1 ∫ (Fa(t)+Fr(t))dt
m1 0
par une fonction intégrale des grandeurs d’entrée (la grandeur de sortie est fonction uniquement des
valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrée).
On peut aussi dire que la relation R12 est causale car l’ordre de dérivation de la grandeur de sortie
(V) est supérieur à l’ordre de dérivation de la grandeur d’entrée (F).
Il y a accumulation d’énergie sous forme cinétique.
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Question 53. :
Les relations R6 et R7 sont des relations dites « rigides » ou « non strictement causales » ; expliquer pourquoi.
φ1
φ1
Les relations R6 : V0(t)= ⋅ωréd(t) et R7 : Car(t)= ⋅Far(t) sont dites « rigides » car elles peuvent être
2
2
inversées par ωréd(t)= 2 ⋅V0(t) et Far(t)= 2 ⋅Car(t) tout en respectant le principe de causalité (la
φ1
φ1
grandeur de sortie est fonction uniquement des valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrée).
Question 54. :
Donner l’expression de la relation R10 qui décrit le comportement de l’amortisseur ; indiquer la nature (causale ou
rigide) de cette relation.
Relation R10 : Fa(t)= f0 ⋅∆V(t) ; c’est une relation rigide.
Question 55. :
Donner la relation R11 qui décrit le comportement du ressort ; indiquer la nature (causale ou rigide) de cette relation ;
préciser comment s’effectue la transformation d’énergie dans le système concerné.
Relation R11 : Fr(t)=Fr(0)+k0(Z1(t)−Z0(t))
T
ou encore : Fr(T)= Fr(0)+k0 ∫ ∆V(t)dt ; c’est une relation causale ;
0
il y a accumulation d’énergie sous forme potentielle.
Question 56. :
Le processeur associé aux relations R6 et R7 est un élément de couplage de type « modulateur » ; que peut-on dire de la
forme prise par l’énergie de part et d’autre de cet élément ?
Les énergies de part et d’autre sont de même nature (mécanique).
Question 57. :
Le processeur associé aux relations R2 et R3 est un élément de couplage de type « gyrateur » ; que peut-on dire de la
forme prise par l’énergie de part et d’autre de cet élément ?
Les énergies de part et d’autre sont de nature différente : mécanique et électrique.
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7- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE
"FS 6"
Question 58. :
Après avoir analysé le principe de fonctionnement du capteur inductif et du codeur, établir sur la figure R58 du
document réponses, le grafcet de prise d’origine (graphe POM) selon un point de vue partie commande, relatif au
mouvement de translation de l’outil …
Grafcet de prise d’origine :
Fin du corrigé.
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