CONTENUS

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
I. NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
Les nombres entiers sont les nombres qui peuvent s’écrire sans virgule.
Exemples : 5 ; 4 ;
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sont des nombres entiers.
Les nombres décimaux les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres derrière la
virgule.
Exemples : 6,7 ;
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;
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sont des nombres décimaux.
Les nombres rationnels les nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient de deux entiers.
Exemples :
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et
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sont des nombres rationnels.
ATTENTION : Certains nombres n’entrent dans aucune de ces catégories. On dit qu’ils sont irrationnels.
Exemples : 2 et  sont des nombres irrationnels.
II. DIVISEURS COMMUNS A DEUX NOMBRES ENTIERS.
1. Diviseurs d’un nombre entier :
a et b sont deux nombres entiers.
On dit que b est un diviseur de a quand le reste de la division de a par b est nul (autrement dit, le
quotient qu’on obtient en calculant a : b à la machine est entier)
Exemple :
2, 3, 4 et 6 sont des diviseurs de 12 :
12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2
1 et 12 sont également des diviseurs de 12 car :
12 : 1 = 12 12 : 12 = 1
Par contre, 5 et 7 ne sont pas des diviseurs de 12 :
12 : 5 = 2,4 12 : 7  1,714285714…
Les diviseurs de 12 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont les diviseurs de 12.
2. Diviseurs communs à deux nombres entiers (Exemple) :
1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont les diviseurs de 12.
1, 2, 3, 6, 9 et 18 sont les diviseurs de 18.
Alors 1, 2, 3 et 6 sont les diviseurs communs à 12 et 18.
3. PGCD :
On appelle PGCD le Plus Grand Diviseur Commun (ou « Commun Diviseur ») à deux nombres entiers.
Le PGCD de 12 et 18 est … 6.
Propriétés : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs, avec a > b.
 PGCD ( a ; a ) = a  PGCD ( a ; 1 ) = 1
 PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a )

 Si b est un diviseur de a, alors PGCD ( a ; b ) = b
Exemples :
 PGCD ( 103 ; 103 ) = 103  PGCD ( 47 ; 1 ) = 1
 PGCD ( 31 ; 27 ) = PGCD ( 27 ; 31 )
 On a 85 = 17 × 5 donc PGCD ( 85 ; 17 ) = 17
III. METHODES DE CALCUL DU PGCD DE DEUX ENTIERS
1. Calcul à l’aide de l’algorithme des soustractions successives
Propriété : a et b désignent deux entiers strictement positifs avec a > b.
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b)
Exemple : Calcul du PGCD ( 145 ; 58 )
145 – 58 = 87 d’où PGCD (145 ; 58 ) = PGCD ( 87 ; 58 )
87 – 58 = 29 d’où PGCD ( 87 ; 58 ) = PGCD ( 58 ; 29 )
58 – 29 = 29 d’où PGCD ( 58 ; 29 ) = PGCD ( 29 ; 29 )
Comme PGCD ( 29 ; 29 ) = 29 alors PGCD ( 145 ; 58 ) = 29
2. Calcul à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Propriété : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs, avec a > b.
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Exemple : Calcul du PGCD ( 224 ; 80 )
224 = 80 × 2 + 64 d’où PGCD ( 224 ; 80 ) = PGCD ( 80 ; 64 )
80 = 64 × 1 + 16 d’où PGCD ( 80 ; 64 ) = PGCD ( 64 ; 16 )
64 = 16 × 4 + 0. Ainsi 16 est un diviseur de 64. D’où PGCD ( 64 ; 16 ) = 16.
Donc PGCD ( 224 ; 80 ) = 16
IV. FRACTIONS IRREDUCTIBLES.
1. Nombres premiers entre eux :
On dit que deux nombres sont premiers entre eux quand ils ont pour unique diviseur commun 1.
Cela revient à dire que leur PGCD est 1.
Exemple : PGCD ( 15 ; 22 ) = 1 donc 15 et 22 sont premiers entre eux.
2. Fraction irréductible :
Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exemples :
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est une fraction irréductible. Par contre,
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est « réductible ». En effet
Error!
=
Error!
=
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.
En simplifiant par le PGCD des deux nombres, on obtient une nouvelle fraction qui, elle, est irréductible.