En régime permanent final constant - PCSI

Elec. Régimes libres et transitoires
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V - Application 2 : Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension
1°) Comportement limite des bobines
a- Au moment du basculement d’un interrupteur
Considérons une bobine, où ne circule initialement aucune intensité, à laquelle on impose un échelon de
courant à un instant donné t0. Comme l’intensité dans la bobine est continue, on doit avoir à cet instant :
iL(t0+) = iL(t0-) = 0. En conséquence :
à l’instant où l’on impose un échelon de courant à une bobine où ne circule initialement aucune intensité,
la bobine est équivalente à un fil coupé (courant nul, quelle que soit la tension à ses bornes).
b- En régime permanent final constant
Une fois que l’on a atteint le régime permanent final constant (ce qui suppose que le générateur soit
continu et que l’on attende un temps long par rapport à ), on sait que l’intensité dans la bobine sera
constante iL = cste. Donc u L  L
di L
 0 . En conséquence :
dt
en régime permanent final constant, la bobine est équivalente à un fil (tension nulle, quel que soit le
courant qui y circule).
2°) Mise en équation et résolution
On considère le circuit suivant; à t = 0, on bascule l'interrupteur.
i
R
E
uR
L
Condition initiale : juste avant de basculer l'interrupteur, l'intensité dans la bobine est nulle : i(t = 0-) = 0.
Dans une bobine, il y a nécessairement continuité de l’intensité.
Il peut être astucieux de chercher à établir une équa diff en i.
Pour des t > 0, u L  u R  E
L
di
 RiE
dt
di R
E
 i
dt L
L
soit :
C’est une équa diff du 1er ordre, linéaire, à coeff constants, avec second membre.
i(t) = ihomo(t) + ipart(t)
solution de l'équa diff homogène associée :
di hom o R
 R 
 i hom o  0 donc i hom o (t )  A exp   t 
dt
L
 L 
solution particulière de l'équa diff avec second membre : le second membre est constant, je peux donc
chercher une solution particulière constante également :


Donc : i (t )  A exp  
di part
dt

R
E
i part 
L
L
E
R
convient.
R  E
t   . Pour déterminer la constante, on utilise le fait qu’il y a nécessairement
L  R
continuité de l'intensité dans la bobine : à t = 0, i(t = 0+) = i(t = 0-) = 0.
D’autre part, i(t  0)  A 
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donc i part 
E
R
donc : A = - E/R
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Finalement,  t  0, i(t ) 
E
 t 
1  exp    
R
  
en posant :  = L/R
i
Régime permanent final constant
E/R
Régime transitoire
t
état initial
On passe de l’état initial(t < 0) à un régime permanent final constant (t >> ) en passant par un régime
transitoire.
Le régime transitoire du circuit (R,L) série a un temps caractéristique de l’ordre de  = L/R.
Cherchons la tension aux bornes de la bobine pour t > 0 : u L  L
di
 t
 E exp   
dt
 
uL
E
t
Rq : il y a discontinuité de la tension aux bornes de la bobine. Comme uR = R i, et que i est continue à
cause de la bobine, il se trouve que la tension aux bornes de R est continue, et c'est donc uC qui "encaisse" la
discontinuité de tension aux bornes de l'ensemble R+L, imposée par le basculement de l'interrupteur.
3°) Etude énergétique
A l’instant initial (t = 0), aucun courant ne circule, la bobine ne contient pas d’énergie. En régime
permanent le courant a une intensité non nulle, la bobine a accumulé de l’énergie. Si l’intensité du courant
est non nulle en régime permanent alors il y a des pertes d’énergie au niveau du conducteur ohmique et
cette perte est en permanence compensée un apport d’énergie réalisé par le générateur. En conséquence, on
ne peut pas déterminer les énergies échangées entre les différents dipôles entre t = 0 et le régime
permanent. Il faut s’arrêter à un instant t0 quelconque et donc intégrer entre 0 et t0.
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