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Lois de probabilité
TS
1. Dénombrement
Soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 ) et p un entier ( p ≥ 1 ) .
Une suite ordonnée de p éléments de E , non nécessairement distincts, est appelée
liste de p éléments de E .
Si l’on impose à une liste de p éléments de E de ne contenir que des éléments deux à
deux distincts, on ne peut espérer que la liste contienne plus de n éléments. La notion
de liste de p éléments de E deux à deux distincts n’a de sens que pour 1 ≤ p ≤ n .
• Proposition soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 )
pour tout entier p ( p ≥ 1 ), le nombre de listes de p éléments de E est : np .
pour tout entier p , 1 ≤ p ≤ n , le nombre de listes de p éléments de E deux à
deux distincts est : n ( n – 1) … ( n – p + 1 )
( p facteurs ).
Preuve : elle repose entièrement sur le principe de choix multiplicatif .
• Définition on appelle permutation d’un ensemble E de n éléments, toute liste de n
éléments de E deux à deux distincts.
le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ( n ≥ 1 ) est le nombre
noté n ! = n × ( n – 1) × … × 2 × 1 . ( lire « factorielle n » )
Remarques : on convient que 0 ! = 1 , on a la relation ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) × n !
le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est :
n!
n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) =
(n − p) !
2. Combinaisons
• Définition soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 ≤ p ≤ 1
on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.
n 
le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté  
 p
( lire « p parmi n » ).
n
Remarques :   = n
1 
pour
n
  =1
n
n 
n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :   =
 p
n
  =1
0
n ( n − 1) ... ( n − p + 1)
et
p!
=
n  n

 =

 p n − p
 n   n − 1  n − 1 
pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n – 1, on a   = 
+
 (relation de Pascal )
 p   p   p − 1
• Théorème : soit a et b des nombres complexes et n un entier ( n ≥ 1 ) . On a :
n
n 
∑ p a b = a
p =0
 
n
a ) un tirage de 3 boules avec remise
correspond à une liste de 3 éléments parmi
10 ; leur nombre est donc :
b ) un tirage de 3 boules sans remise
correspond à une liste de 3 éléments deux
à deux distincts parmi 10 ;
leur nombre est donc :
Ex : voici les six permutations de
l’ensemble E = { 1 , 2 , 3 } :
(1,2,3)
(2,1,3)
(3,1,2)
(1,3,2)
(2,3,1)
(3,2,1)
1!=1
2!=2
3!=6
4 ! =24
5 ! = 120
n
n
n 
n −1
n
+   a n −1 b +   a n − 2 b 2 + ... + 
a b +b
1
2
n
−
1
 
 


n 
Cette formule du binôme explique le nom de coefficients binomiaux donnés aux  
 p
6 ! = 720
7 ! = 5 040
8 ! = 40 320
9 ! = 362 880
10 ! = 3 628 800
Ex :
au Loto, combien y a-t-il de tirages de 6
numéros parmi 49 ?
un tirage de 6 numéros parmi les numéros
1,2, …,49 est une combinaison de 6
éléments parmi 49. Le nombre de tirages
possibles est donc :
  49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44
=13 983 816
 =
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
 
n!
p !(n − p) !
pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :
(a+b)n=
Ex :
une urne contient 10 boules numérotées
de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages
possibles de 3 boules :
a ) avec remise ?
b ) sans remise ?
Le triangle de Pascal
3.
Exemples de lois discrètes
• Loi de Bernoulli : une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires de probabilités respectives
p et q , avec p + q = 1 .
1
1
) et FACE ( q =
).
2
2
- tirage d’une boule dans une urne contenant 70 boules blanches et 30 boules rouges, avec pour issues contraires :
S : « tirer une boule blanche », de probabilité p = 0,7
( Succès )
E = S : « tirer une boule rouge », de probabilité q = 0,3
( Echec )
Ex : -
lancer d’une pièce de monnaie équilibrée, avec pour issues contraires : PILE ( p =
• Soit une épreuve de Bernoulli d’issues contraires S ( probabilité p ) , E ( probabilité q ) et X la variable aléatoire à valeurs dans
 1 si l'issue de l'épreuve est S ( probabilité p )
{ 0 , 1 } définie ainsi : X = 
 0 si l'issue de l'épreuve est E ( probabilité q = 1 − p )
par définition , la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p .
Le calcul de l’espérance et de la variance de X est immédiat
E ( X ) = p et V ( X ) = p q .
• Loi binomiale : un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes d’issues
contraires S ( probabilité p ) et E ( probabilité q ) avec p + q = 1 .
La variable aléatoire X à valeurs dans { 0 , 1 , … , n } : « nombre de succès » suit, par définition ,
la loi binomiale de paramètres n et p notée B( n , p )
Remarques :- la répétition des n épreuves de Bernoulli peut-être « décalée dans le temps » ( lancer n fois de suite la même pièce
de monnaie ) ou « simultanée » ( lancer n pièces de monnaie identiques dès lors que les lancers sont indépendants ).
- les issues élémentaires d’un schéma de Bernoulli sont les listes de n lettres , chaque lettre étant S ou E .
par exemple, pour n = 5 la liste SSESE est l’issue : succès à la première épreuve, succès à la deuxième, échec à la troisième,
succès à la quatrième et échec à la cinquième.
• Caractéristiques de la loi binomiale : soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B( n , p )
n
pour k = 0 , 1 , … , n la probabilité de ( X = k ) est   p k q n–k .
k 
l’espérance et la variance de X sont
E ( X ) = n p et V ( X ) = n p q .
Preuve :
Remarques :
4.
Lois continues
soit des variables aléatoires prenant une infinité non dénombrable de valeurs réelles.
( les valeurs de la variable ne peuvent être indexées par l’ensemble des entiers naturels ) , on les appelle des variables aléatoires continues .
• Loi , espérance , variance et écart type
la loi de probabilité d’une variable aléatoire X continue ne peut plus être définie par la probabilité d’obtenir chacune des valeurs
de X , car celle-ci est nulle, mais, par la probabilité pour que X soit comprise entre deux valeurs distinctes.
On étudie uniquement les variables aléatoires continues dont la loi de probabilité PX est déterminée par une fonction f .
PX est alors qualifiée de loi continue .
On appelle fonction densité de probabilité toute fonction f définie sur un intervalle [ α ; β ] de R vérifiant les conditions :
-
f continue sur l’intervalle [ α ; β ] .
-
pour tout x de [ α ; β ] , f (x) ≥ 0 .
-
∫α f ( x ) dx =1
β
l’aire de la portion de plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d’équation x = α et x = β est égale à 1
Remarque : lorsque f est définie sur un intervalle non borné, par exemple [ α ; + ∞ [ ,
la condition portant sur l’aire sous la courbe s’écrit lim
x →+ ∞
∫α f ( t ) dt =1 .
x
Ex : soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f (x) = 3x2 . f est une fonction densité de probabilité sur [ 0 ; 1 ]
car f est continue et positive sur [ 0 ; 1 ] et
∫
1
0
1
3x 2 dx =  x 3  =1.
0
Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I de R
et f une fonction densité de probabilité définie sur I . On dit que la loi PX de X admet f comme densité de probabilité
lorsque, pour tout intervalle [a ; b] de R inclus dans I , on a : PX ( [a ; b] ) =
∫ f ( x ) dx .
b
a
P( a ≤ X ≤ b ) =
∫ f ( x ) dx .
b
a
Remarques :- on dit aussi que la variable aléatoire X suit la loi PX de densité f .
β
-
soit I = [ α ; β ] , alors PX ( I ) = 1 car ∫ f ( x ) dx =1 et pour tout intervalle [a ; b] inclus dans I , 0 ≤ PX ( [a ; b] ) ≤ 1 .
-
les événements à considérer pour une loi continue sont les intervalles et les réunions finies d’intervalles de I .
PX ( [a ; b] ) = PX ( [a ; b[ ) =PX ( ]a ; b] )=PX ( ]a ; b[ ) .
α
soit X une variable aléatoire continue dont la loi admet une densité f définie sur un intervalle [ α ; β ] de R :
E(X)=
β
∫α x. f ( x ) dx
et V ( X ) =
β
∫α ( x − E (X) )
2
σ ( X) =
. f ( x ) dx .
On a aussi : V ( X ) = E ( X 2 ) – [ E ( X ) ]2 =
β
∫α x
2
V (X)
. f ( x ) dx – [ E ( X ) ]2
Remarque : lorsque f est définie sur un intervalle non borné, par exemple [ α ; + ∞ [ , E ( X ) et V ( X ) sont définies,
sous réserve de l’existence des limites, par : E ( X ) = lim
∫
x
x →+ ∞ α
t. f ( t ) dt et V ( X ) = lim
∫
x
x →+ ∞ α
( t − E ( X ) ) . f ( t ) dt .
2
• Loi uniforme sur [ a ; b ] on appelle loi uniforme sur [a ; b] ,
1
.
b−a
β − α longueur de J
la probabilité d’un intervalle J = [ α ; β ] est calculée par le rapport des longueurs
=
b − a longueur de I
dans le cas de la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] , la probabilité d’un intervalle est alors la longueur de cet intervalle .
la loi de probabilité P dont la densité f est une fonction constante sur I . On a alors f (t) =
-
1
1
et V ( X ) =
2
12
la loi uniforme généralise au « continu » ce que la loi équirépartie est au « discret » , elle intervient dans de nombreuses situations
notamment dans le « choix d’un point au hasard sur un segment ( ou un intervalle ) I ».
E(X)=
.
• Loi exponentielle soit λ un réel strictement positif et f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : f (x) = λ e − λ x
f est une fonction densité de probabilité .
Preuve :
soit λ un réel strictement positif . La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par :
f (x) = λ e − λ x , est appelée loi exponentielle de paramètre λ .
Remarques :
- soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ , alors
PX ( [a ; b] ) =
-
P( X ≤ t ) = 1 − e − λ t et P( X > t ) = e − λ t
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ ( λ > 0 ) ,
1
1
E(X)=
et
V(X)= 2
d’où
E ( X ) = σ ( X)
λ
Loi de durée de vie sans vieillissement
λ
λ
∫ f ( t ) dt = − e
b
a
−
t
b
 = e − λ a − e − λ b .
a