Document

Lois de probabilité TS
1. Dénombrement
Soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 ) et p un entier ( p ≥ 1 ) .
Une suite ordonnée de p éléments de E , non nécessairement distincts, est appelée
liste de p éléments de E .
Si l’on impose à une liste de p éléments de E de ne contenir que des éléments deux à
deux distincts, on ne peut espérer que la liste contienne plus de n éléments. La notion
de liste de p éléments de E deux à deux distincts n’a de sens que pour 1 ≤ p ≤ n .
• Proposition soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 )
 pour tout entier p ( p ≥ 1 ), le nombre de listes de p éléments de E est : n
p
.
 pour tout entier p , 1 ≤ p ≤ n , le nombre de listes de p éléments de E deux à
deux distincts est : n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) ( p facteurs ).
Preuve : elle repose entièrement sur le principe de choix multiplicatif .
• Définition on appelle permutation d’un ensemble E de n éléments, toute liste de n
éléments de E deux à deux distincts.
 le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ( n ≥ 1 ) est le nombre
noté n ! = n × ( n – 1) × … × 2 × 1 . ( lire « factorielle n » )
Remarques : on convient que 0 ! = 1 , on a la relation ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) ×
××
× n !
 le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est :
n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) =
( )
−
!
!
n
n p
Ex :
une urne contient 10 boules numérotées
de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages
possibles de 3 boules :
a ) avec remise ? b ) sans remise ?
a ) un tirage de 3 boules avec remise
correspond à une liste de 3 éléments parmi
10 ; leur nombre est donc :
b ) un tirage de 3 boules sans remise
correspond à une liste de 3 éléments deux
à deux distincts parmi 10 ;
leur nombre est donc :
Ex : voici les six permutations de
l’ensemble E = { 1 , 2 , 3 } :
( 1 , 2 , 3 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 3 , 1 , 2 )
( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 2 , 1 )
1 ! = 1 6 ! = 720
2 ! = 2 7 ! = 5 040
3 ! = 6 8 ! = 40 320
4 ! =24 9 ! = 362 880
5 ! = 120 10 ! = 3 628 800
2. Combinaisons
• Définition soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 ≤ p ≤ 1
on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.
le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté
n
p
( lire « p parmi n » ).
Remarques :
1 et 1
1 0
= = =
n n n
nn
 pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :
n
p
=
(
)
(
)
1 ... 1
!
n n n p
p
− − +
=
( )
−
!
! !
n
p n p
 pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a :
n
p
=
−
n
n p
 pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n – 1, on a
n
p
=
−
n
p
1
+
−
−
n
p
1
1
(relation de Pascal )
• Théorème : soit a et b des nombres complexes et n un entier ( n ≥ 1 ) . On a :
( a + b )
n
= = ...
n
n n n n n
p
n n n n
a b a a b a b a b b
p n
− − −
=
+ + + + +
−
∑1 2 2 1
0
1 2 1
Cette formule du binôme explique le nom de coefficients binomiaux donnés aux
n
p
Ex :
au Loto, combien y a-t-il de tirages de 6
numéros parmi 49 ?
un tirage de 6 numéros parmi les numéros
1,2, …,49 est une combinaison de 6
éléments parmi 49. Le nombre de tirages
possibles est donc :
49 48 47 46 45 44
6 5 4 3 2 1
× × × × ×
=
× × × × ×
=13 983 816
Le triangle de Pascal

3. Exemples de lois discrètes
• Loi de Bernoulli : une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires de probabilités respectives
p et q , avec p + q = 1 .
Ex : - lancer d’une pièce de monnaie équilibrée, avec pour issues contraires : PILE ( p =
1
2
) et FACE ( q =
1
2
) .
- tirage d’une boule dans une urne contenant 70 boules blanches et 30 boules rouges, avec pour issues contraires :
S : « tirer une boule blanche », de probabilité p = 0,7 ( Succès )
E =
S
: « tirer une boule rouge », de probabilité q = 0,3 ( Echec )
• Soit une épreuve de Bernoulli d’issues contraires S ( probabilité p ) , E ( probabilité q ) et X la variable aléatoire à valeurs dans
{ 0 , 1 } définie ainsi : X =
si l'issue de l'épreuve est S ( probabilité )
si l'issue de l'épreuve est E ( prob
abilité 1 )
p
q p
= −
1
0
par définition , la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p .
Le calcul de l’espérance et de la variance de X est immédiat E ( X ) = p et V ( X ) = p q .
• Loi binomiale : un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes d’issues
contraires S ( probabilité p ) et E ( probabilité q ) avec p + q = 1 .
La variable aléatoire X à valeurs dans { 0 , 1 , … , n } : « nombre de succès » suit, par définition ,
la loi binomiale de paramètres n et p notée B( n , p )
Remarques :- la répétition des n épreuves de Bernoulli peut-être « décalée dans le temps » ( lancer n fois de suite la même pièce
de monnaie ) ou « simultanée » ( lancer n pièces de monnaie identiques dès lors que les lancers sont indépendants ).
- les issues élémentaires d’un schéma de Bernoulli sont les listes de n lettres , chaque lettre étant S ou E .
par exemple, pour n = 5 la liste SSESE est l’issue : succès à la première épreuve, succès à la deuxième, échec à la troisième,
succès à la quatrième et échec à la cinquième.
• Caractéristiques de la loi binomiale : soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B( n , p )
 pour k = 0 , 1 , … , n la probabilité de ( X = k ) est
n
k
p
k
q
n–k
.
 l’espérance et la variance de X sont E ( X ) = n p et V ( X ) = n p q .
Preuve :
Remarques :

4. Lois continues soit des variables aléatoires prenant une infinité non dénombrable de valeurs réelles.
( les valeurs de la variable ne peuvent être indexées par l’ensemble des entiers naturels ) , on les appelle des variables aléatoires continues .
• Loi , espérance , variance et écart type
la loi de probabilité d’une variable aléatoire X continue ne peut plus être définie par la probabilité d’obtenir chacune des valeurs
de X , car celle-ci est nulle, mais, par la probabilité pour que X soit comprise entre deux valeurs distinctes.
On étudie uniquement les variables aléatoires continues dont la loi de probabilité P
X
est déterminée par une fonction f .
P
X
est alors qualifiée de loi continue .
 On appelle fonction densité de probabilité toute fonction f définie sur un intervalle [ α ; β ] de R vérifiant les conditions :
- f continue sur l’intervalle [ α ; β ] .
- pour tout x de [ α ; β ] , f (x) ≥ 0 .
-
( )
x dx
f
β
α
∫
=1
l’aire de la portion de plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d’équation x = α et x = β est égale à 1 .
Remarque : lorsque f est définie sur un intervalle non borné, par exemple [ α ;
+ ∞
[ ,
la condition portant sur l’aire sous la courbe s’écrit
( )
x
x +
lim t dt
f
α
→ ∞
∫
=1 .
Ex : soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f (x) = 3x
2
. f est une fonction densité de probabilité sur [ 0 ; 1 ]
car f est continue et positive sur [ 0 ; 1 ] et
3
3x dx x =
∫
1
1
2
0
0
=1.
 Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I de R
et f une fonction densité de probabilité définie sur I . On dit que la loi P
X
de X admet f comme densité de probabilité
lorsque, pour tout intervalle [a ; b] de R inclus dans I , on a : P
X
( [a ; b] ) =
( )
x dx
b
a
f
∫
. P( a ≤ X ≤ b ) =
( )
x dx
b
a
f
∫
.
Remarques :- on dit aussi que la variable aléatoire X suit la loi P
X
de densité f .
- soit I = [ α ; β ] , alors P
X
( I ) = 1 car
( )
x dx
f
β
α
∫
=1 et pour tout intervalle [a ; b] inclus dans I , 0 ≤ P
X
( [a ; b] ) ≤ 1 .
- les événements à considérer pour une loi continue sont les intervalles et les réunions finies d’intervalles de I .
- P
X
( [a ; b] ) = P
X
( [a ; b[ ) =P
X
( ]a ; b] )=P
X
( ]a ; b[ ) .
 soit X une variable aléatoire continue dont la loi admet une densité f définie sur un intervalle [ α ; β ] de R :
E ( X ) =
( )
x. x dx
f
β
α
∫
et V ( X ) =
( ) ( )
2
x (X) . x dx
E f
β
α
−
∫
.
(
)
X
σ
σσ
σ =
( )
X
V
On a aussi : V ( X ) = E ( X
2
) – [ E ( X ) ]
2
=
( )
2
x . x dx
f
β
α
∫
– [ E ( X ) ]
2
Remarque : lorsque f est définie sur un intervalle non borné, par exemple [ α ;
+ ∞
[ , E ( X ) et V ( X ) sont définies,
sous réserve de l’existence des limites, par : E ( X ) =
( )
x
x +
lim t. t dt
f
α
→ ∞
∫
et V ( X ) =
( )
(
)
( )
x
x +
lim t X . t dt
E f
α
→ ∞
−
∫
2
.
• Loi uniforme sur [ a ; b ] on appelle loi uniforme sur [a ; b] ,
la loi de probabilité P dont la densité f est une fonction constante sur I . On a alors f (t) =
1
b a
−
.
- la probabilité d’un intervalle J = [ α ; β ] est calculée par le rapport des longueurs
J
I
longueur de
b a longueur de
β α −=
−
- dans le cas de la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] , la probabilité d’un intervalle est alors la longueur de cet intervalle .
E ( X ) =
1
2
et V ( X ) =
1
12
la loi uniforme généralise au « continu » ce que la loi équirépartie est au « discret » , elle intervient dans de nombreuses situations
notamment dans le « choix d’un point au hasard sur un segment ( ou un intervalle ) I ».

• Loi exponentielle soit λ un réel strictement positif et f la fonction définie sur [ 0 ;
+ ∞
[ par : f (x) = λ
λλ
λ
x
e
λ
λλ
λ
−
−−
−
f est une fonction densité de probabilité .
Preuve :
 soit λ un réel strictement positif . La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction f définie sur [ 0 ;
+ ∞
[ par :
f (x) = λ
λλ
λ
x
e
λ
λλ
λ
−
−−
−
, est appelée loi exponentielle de paramètre λ
λλ
λ .
Remarques :
- soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ , alors
P
X
( [a ; b] ) =
( )
t dt
b
a
f
∫
=
t a
e e e
b
b
a
λ λ λ
− − −
− = −
.
- P( X ≤ t ) =
t
1 e
λ
−
− et P( X > t ) =
t
e
λ
−
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ ( λ > 0 ) ,
E ( X ) =
1
λ
et V ( X ) =
2
1
λ
d’où E ( X ) =
(
)
X
σ
σσ
σ
Loi de durée de vie sans vieillissement