Lois de probabilité TS 1. Dénombrement Soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 ) et p un entier ( p ≥ 1 ) . Une suite ordonnée de p éléments de E , non nécessairement distincts, est appelée liste de p éléments de E . Si l’on impose à une liste de p éléments de E de ne contenir que des éléments deux à deux distincts, on ne peut espérer que la liste contienne plus de n éléments. La notion de liste de p éléments de E deux à deux distincts n’a de sens que pour 1 ≤ p ≤ n . • Proposition soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥ 1 ) pour tout entier p ( p ≥ 1 ), le nombre de listes de p éléments de E est : np . pour tout entier p , 1 ≤ p ≤ n , le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est : n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) ( p facteurs ). Preuve : elle repose entièrement sur le principe de choix multiplicatif . • Définition on appelle permutation d’un ensemble E de n éléments, toute liste de n éléments de E deux à deux distincts. le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ( n ≥ 1 ) est le nombre noté n ! = n × ( n – 1) × … × 2 × 1 . ( lire « factorielle n » ) Remarques : on convient que 0 ! = 1 , on a la relation ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) × n ! le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est : n! n ( n – 1) … ( n – p + 1 ) = (n − p) ! 2. Combinaisons • Définition soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 ≤ p ≤ 1 on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments. n le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté p ( lire « p parmi n » ). n Remarques : = n 1 pour n =1 n n n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a : = p n =1 0 n ( n − 1) ... ( n − p + 1) et p! = n n = p n − p n n − 1 n − 1 pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n – 1, on a = + (relation de Pascal ) p p p − 1 • Théorème : soit a et b des nombres complexes et n un entier ( n ≥ 1 ) . On a : n n ∑ p a b = a p =0 n a ) un tirage de 3 boules avec remise correspond à une liste de 3 éléments parmi 10 ; leur nombre est donc : b ) un tirage de 3 boules sans remise correspond à une liste de 3 éléments deux à deux distincts parmi 10 ; leur nombre est donc : Ex : voici les six permutations de l’ensemble E = { 1 , 2 , 3 } : (1,2,3) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1) 1!=1 2!=2 3!=6 4 ! =24 5 ! = 120 n n n n −1 n + a n −1 b + a n − 2 b 2 + ... + a b +b 1 2 n − 1 n Cette formule du binôme explique le nom de coefficients binomiaux donnés aux p 6 ! = 720 7 ! = 5 040 8 ! = 40 320 9 ! = 362 880 10 ! = 3 628 800 Ex : au Loto, combien y a-t-il de tirages de 6 numéros parmi 49 ? un tirage de 6 numéros parmi les numéros 1,2, …,49 est une combinaison de 6 éléments parmi 49. Le nombre de tirages possibles est donc : 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 =13 983 816 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 n! p !(n − p) ! pour n et p entiers, 0 ≤ p ≤ n , on a : (a+b)n= Ex : une urne contient 10 boules numérotées de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages possibles de 3 boules : a ) avec remise ? b ) sans remise ? Le triangle de Pascal 3. Exemples de lois discrètes • Loi de Bernoulli : une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires de probabilités respectives p et q , avec p + q = 1 . 1 1 ) et FACE ( q = ). 2 2 - tirage d’une boule dans une urne contenant 70 boules blanches et 30 boules rouges, avec pour issues contraires : S : « tirer une boule blanche », de probabilité p = 0,7 ( Succès ) E = S : « tirer une boule rouge », de probabilité q = 0,3 ( Echec ) Ex : - lancer d’une pièce de monnaie équilibrée, avec pour issues contraires : PILE ( p = • Soit une épreuve de Bernoulli d’issues contraires S ( probabilité p ) , E ( probabilité q ) et X la variable aléatoire à valeurs dans 1 si l'issue de l'épreuve est S ( probabilité p ) { 0 , 1 } définie ainsi : X = 0 si l'issue de l'épreuve est E ( probabilité q = 1 − p ) par définition , la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p . Le calcul de l’espérance et de la variance de X est immédiat E ( X ) = p et V ( X ) = p q . • Loi binomiale : un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes d’issues contraires S ( probabilité p ) et E ( probabilité q ) avec p + q = 1 . La variable aléatoire X à valeurs dans { 0 , 1 , … , n } : « nombre de succès » suit, par définition , la loi binomiale de paramètres n et p notée B( n , p ) Remarques :- la répétition des n épreuves de Bernoulli peut-être « décalée dans le temps » ( lancer n fois de suite la même pièce de monnaie ) ou « simultanée » ( lancer n pièces de monnaie identiques dès lors que les lancers sont indépendants ). - les issues élémentaires d’un schéma de Bernoulli sont les listes de n lettres , chaque lettre étant S ou E . par exemple, pour n = 5 la liste SSESE est l’issue : succès à la première épreuve, succès à la deuxième, échec à la troisième, succès à la quatrième et échec à la cinquième. • Caractéristiques de la loi binomiale : soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B( n , p ) n pour k = 0 , 1 , … , n la probabilité de ( X = k ) est p k q n–k . k l’espérance et la variance de X sont E ( X ) = n p et V ( X ) = n p q . Preuve : Remarques : 4. Lois continues soit des variables aléatoires prenant une infinité non dénombrable de valeurs réelles. ( les valeurs de la variable ne peuvent être indexées par l’ensemble des entiers naturels ) , on les appelle des variables aléatoires continues . • Loi , espérance , variance et écart type la loi de probabilité d’une variable aléatoire X continue ne peut plus être définie par la probabilité d’obtenir chacune des valeurs de X , car celle-ci est nulle, mais, par la probabilité pour que X soit comprise entre deux valeurs distinctes. On étudie uniquement les variables aléatoires continues dont la loi de probabilité PX est déterminée par une fonction f . PX est alors qualifiée de loi continue . On appelle fonction densité de probabilité toute fonction f définie sur un intervalle [ α ; β ] de R vérifiant les conditions : - f continue sur l’intervalle [ α ; β ] . - pour tout x de [ α ; β ] , f (x) ≥ 0 . - ∫α f ( x ) dx =1 β l’aire de la portion de plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d’équation x = α et x = β est égale à 1 Remarque : lorsque f est définie sur un intervalle non borné, par exemple [ α ; + ∞ [ , la condition portant sur l’aire sous la courbe s’écrit lim x →+ ∞ ∫α f ( t ) dt =1 . x Ex : soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f (x) = 3x2 . f est une fonction densité de probabilité sur [ 0 ; 1 ] car f est continue et positive sur [ 0 ; 1 ] et ∫ 1 0 1 3x 2 dx = x 3 =1. 0 Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I de R et f une fonction densité de probabilité définie sur I . On dit que la loi PX de X admet f comme densité de probabilité lorsque, pour tout intervalle [a ; b] de R inclus dans I , on a : PX ( [a ; b] ) = ∫ f ( x ) dx . b a P( a ≤ X ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx . b a Remarques :- on dit aussi que la variable aléatoire X suit la loi PX de densité f . β - soit I = [ α ; β ] , alors PX ( I ) = 1 car ∫ f ( x ) dx =1 et pour tout intervalle [a ; b] inclus dans I , 0 ≤ PX ( [a ; b] ) ≤ 1 . - les événements à considérer pour une loi continue sont les intervalles et les réunions finies d’intervalles de I . PX ( [a ; b] ) = PX ( [a ; b[ ) =PX ( ]a ; b] )=PX ( ]a ; b[ ) . α soit X une variable aléatoire continue dont la loi admet une densité f définie sur un intervalle [ α ; β ] de R : E(X)= β ∫α x. f ( x ) dx et V ( X ) = β ∫α ( x − E (X) ) 2 σ ( X) = . f ( x ) dx . On a aussi : V ( X ) = E ( X 2 ) – [ E ( X ) ]2 = β ∫α x 2 V (X) . f ( x ) dx – [ E ( X ) ]2 Remarque : lorsque f est définie sur un intervalle non borné, par exemple [ α ; + ∞ [ , E ( X ) et V ( X ) sont définies, sous réserve de l’existence des limites, par : E ( X ) = lim ∫ x x →+ ∞ α t. f ( t ) dt et V ( X ) = lim ∫ x x →+ ∞ α ( t − E ( X ) ) . f ( t ) dt . 2 • Loi uniforme sur [ a ; b ] on appelle loi uniforme sur [a ; b] , 1 . b−a β − α longueur de J la probabilité d’un intervalle J = [ α ; β ] est calculée par le rapport des longueurs = b − a longueur de I dans le cas de la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] , la probabilité d’un intervalle est alors la longueur de cet intervalle . la loi de probabilité P dont la densité f est une fonction constante sur I . On a alors f (t) = - 1 1 et V ( X ) = 2 12 la loi uniforme généralise au « continu » ce que la loi équirépartie est au « discret » , elle intervient dans de nombreuses situations notamment dans le « choix d’un point au hasard sur un segment ( ou un intervalle ) I ». E(X)= . • Loi exponentielle soit λ un réel strictement positif et f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : f (x) = λ e − λ x f est une fonction densité de probabilité . Preuve : soit λ un réel strictement positif . La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : f (x) = λ e − λ x , est appelée loi exponentielle de paramètre λ . Remarques : - soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ , alors PX ( [a ; b] ) = - P( X ≤ t ) = 1 − e − λ t et P( X > t ) = e − λ t Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ ( λ > 0 ) , 1 1 E(X)= et V(X)= 2 d’où E ( X ) = σ ( X) λ Loi de durée de vie sans vieillissement λ λ ∫ f ( t ) dt = − e b a − t b = e − λ a − e − λ b . a