Modules et groupes finis - Centre de mathématiques Laurent Schwartz

Modules et groupes finis
Anna Cadoret
Cours de Master `a l’Ecole Polytechnique - version 2014

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Pr´eambule
On supposera connues ici les d´efinitions de base concernant les groupes, anneaux, corps et alg`ebres. Les anneaux
consid´er´es seront toujours associatifs et unitaires.
Les trois premiers cours seront consacr´es aux modules sur les anneaux (non n´ecessairement commutatifs) et les
deux cours suivants aux groupes finis. Dans les quatre derniers cours, nous nous int´eresserons `a la classification
des modules sur les alg`ebres semisimples de dimension finie sur un corps (parfait) et en donnerons plusieurs
applications `a la th´eorie des repr´esentations des groupes finis.
Ce cours doit beaucoup aux notes d’un cours de M2 donn´e par P. Baumann `a l’Universit´e de Strasbourg [B09].
Tout au long du cours, nous utiliserons informellement le langage cat´egoriel (dont le lecteur trouvera un petit
lexique en appendice de ce cours) afin d’introduire progressivement ce formalisme qui est devenu le language
quotidien de l’alg´ebriste moderne.
Commen¸cons par un petit exemple, illustrant comment les notions d’alg`ebre et de groupe fini sont intimement
li´ees. Etant donn´e un anneau commutatif A, `a tout groupe fini Gon peut associer une A-alg`ebre A[G] comme
suit. La structure de A-module est donn´ee par
A[G] = M
g∈G
Ag
et la structure multiplicative est donn´ee par le ’produit de convolution’ :
X
g∈G
a(g)g∗X
g∈G
a0(g)g=X
g∈G
(X
γ∈G
a(γ)a0(γ−1g))g.
A[G] est un anneau associatif unitaire d’´el´ement neutre 1 ·eGpour la multiplication (eGd´esignant l’´el´ement
neutre de G). Notons que l’application
ιG:G→A[G]×
g→1A·g
est un morphisme de groupes injectif.
Si f:G→G0est un morphisme de groupes, on v´erifie que le morphisme de A-modules induit
A[f] : A[G]→A[G0]
est un morphisme d’anneaux et que si Gf →G0f0 →G00 sont des morphismes de groupes, on a A[f0◦f] = A[f0]◦A[f].
Autrement dit
A[−] : Grp →Alg/A
est un foncteur de la cat´egorie Grp des groupes finis sur la cat´egorie Alg/A des A-alg`ebre. En outre, ce foncteur
est fid`ele, c’est `a dire que pour tous groupes finis G,G0, l’application
A[−] : HomGrp(G, G0)→HomAlg/A (A[G], A[G0])
est injective (on notera qu’elle n’est pas surjective en g´en´eral, comme le montre l’exemple G=Z/2, A=Z/4
donc que ce foncteur n’est pas plein).
Le morphisme de groupes ιG:G→A[G]×introduit ci-dessus satisfait la propri´et´e universelle suivante :
pour toute A-alg`ebre Bet morphisme de groupe φ:G→B×il existe un unique morphisme de A-alg`ebres
Φ : A[G]→Btel que Φ ◦ιG=φ. Inversement, tout morphisme de A-alg`ebres Φ : A[G]→Binduit un
morphisme de groupes φ:= Φ ◦ιG|B×:G→B×. Ces constructions sont inverses l’une de l’autre et d´efinissent
une bijection fonctorielle en B:
HomGrp(G, B×) ˜→HomAlg/A (A[G], B).

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En termes cat´egoriels, on dit que les foncteurs A[−] : Grp →Alg/A et (−)×:Alg/A →Grps sont adjoints. Dans
le cas particulier o`u A=kest un corps et B=Mn(k), on obtient par exemple :
HomGrp(G, GLn(k)) ˜→HomAlg/k (k[G], Mn(k)),
ce qui montre que les repr´esentations lin´eaires de dimension nde Gsur kcorrespondent bijectivement aux
k[G]-modules de k-dimension n.
Le foncteur A[−] : Grp →Alg/A va plus g´en´eralement permettre de ramener les probl`emes de th´eorie des
groupes finis (par exemple la classification de leurs repr´esentations, le calcul de leurs groupes de cohomologie) `a
des probl`emes sur les A-alg`ebres, de type fini comme A-module (par exemple, la classification de leurs modules,
le calcul de leur groupes de cohomologie), en g´en´eral plus facile `a traiter grˆace `a la structure A-lin´eaire. C’est
un exemple du ’principe de lin´earisation’.

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Table des mati`eres
1 Modules sur un anneau 7
1.1 D´efinition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Op´erationssurlesmodules ....................................... 9
1.2.1 Sous A-module, intersection, module engendr´e par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Limites .............................................. 9
1.2.3 Produitstensoriels ........................................ 12
1.3 Conditionsdefinitude .......................................... 16
1.4 Atomisation d’un A-modules I : Modules ind´ecomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Modulesind´ecomposables .................................... 18
1.4.2 Th´eor`eme de Krull-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Modules de type fini sur les anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Atomisation II : Modules simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 A-modules simples et semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Suites de composition et th´eor`eme de Jordan-Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.3 Extensions ............................................ 29
2 Groupes finis - compl´ements 33
2.1 Echauffement : le groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Th´eor`emes de Sylow, p-groupes..................................... 34
2.2.1 Th´eor`emesdeSylow ....................................... 34
2.2.2 p-groupes ............................................. 36
2.3 Extensions................................................. 37
2.3.1 Atomisation d’un groupe (fini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Groupesfinissimples....................................... 37
2.3.3 Extensions, produits semidirects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Repr´esentations lin´eaires des groupes finis 45
3.1 Anneauxsemisimples........................................... 45
3.1.1 Anneauxsemisimples ...................................... 45
3.1.2 Th´eor`emesdestructure ..................................... 46
3.2 R´ecoltes : repr´esentations lin´eaires des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Nombre et dimensions des repr´esentations simples de K[G] ................. 52
3.2.2 Th´eoriedescaract`eres ...................................... 52
3.2.3 Une application `a la th´eorie des groupes finis : le th´eor`eme de Burnside . . . . . . . . . . 58
3.3 Repr´esentationsinduites......................................... 60
3.3.1 Foncteurs de restriction et d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Restriction des repr´esentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3 Caract`ere d’une repr´esentation induite et crit`ere d’irr´eductibilit´e de Mackey . . . . . . . . 62
3.3.4 Repr´esentations lin´eaires irr´eductibles de GL2(Fq) (2 6 |q)................... 65
4 Appendice : Un peu de vocabulaire cat´egoriel 69
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