formes quadratiques sur un corps - IMJ-PRG

Bruno Kahn
FORMES QUADRATIQUES SUR UN
CORPS

Bruno Kahn
Institut de Math´ematiques de Jussieu, 175–179 rue du Chevaleret, 75013 Paris,
France.
E-mail : [email protected]
Classification math´ematique par sujets (2000). — 11E04, 11E81.
Mots clefs. — Formes quadratiques, corps de fonctions de quadriques, d´eploiement
g´en´erique.
Avec un appendice de A. Laghribi.

FORMES QUADRATIQUES SUR UN CORPS
Bruno Kahn
R´esum´e. — Ce livre expose la th´eorie des formes quadratiques sur un corps, en
mettant l’accent sur la technique de Pfister-Arason-Knebusch d’extensions aux corps
de fonctions de quadriques.
Abstract (Quadratic forms over a field). — This book presents the theory of
quadratic forms over a field, focusing on the Pfister-Arason-Knebusch technique of
extensions to function fields of quadrics.

TABLE DES MATI` ERES
Avant-propos.................................................................. ix
1. La th´eorie de Witt......................................................... 1
1.1. D´efinitions et notations................................................... 1
1.2. Les th´eor`emes de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. L’anneau de Witt........................................................ 6
1.4. Quelques exemples d’anneaux de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Un th´eor`eme de E. Artin et T.A. Springer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Exercices................................................................. 12
2. La th´eorie de Pfister....................................................... 15
2.1. Formes de Pfister. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Applications aux sommes de carr´es ; le niveau d’un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Formes de Pfister li´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Th´eor`emes de Cassels-Pfister. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Exercices................................................................. 27
3. Corps de fonctions de quadriques........................................ 29
3.1. Corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Formes devenant hyperboliques sur le corps des fonctions d’une quadrique . . 30
3.3. Le th´eor`eme d’Arason-Pfister. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4. Exercices................................................................. 34
4. La th´eorie de Knebusch................................................... 35
4.1. Hauteur.................................................................. 35
4.2. Formes de hauteur 1...................................................... 36
4.3. Degr´e ; les id´eaux Jn..................................................... 37
4.4. Retour `a la section 3.2................................................... 40
4.5. Exercices................................................................. 41