Structures algébriques et topologiques sur l`ensemble des fonctions

Structures alg´ebriques et topologiques sur
l’ensemble des fonctions moyennes et
g´en´eralisation de la moyenne AGM
Bakir FARHI
Universit´e A. Mira de B´ejaia
18 mars 2014
B. Farhi (Universit´e A. Mira de B´ejaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 1 / 34

Plan
1G´en´eralit´es
2Une structure alg´ebrique
3La sym´etrie fonctionnelle
4Une structure topologique
5G´en´eralisation de la moyenne AGM
6Un important probl`eme ouvert
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G´en´eralit´es
G´en´eralit´es
D´efinition. Soit Dun domaine sym´etrique non vide de R2. Une
fonction moyenne sur Dest une fonction r´eelle Msur Dqui v´erifie
les trois axiomes suivants:
1∀(x,y)∈D, on a: min(x,y)≤M(x,y)≤max(x,y).
2∀(x,y)∈D, on a: M(x,y) = M(y,x).
3∀(x,y)∈D, on a:
M(x,y) = x=⇒x=y.
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G´en´eralit´es
G´en´eralit´es
D´efinition. Soit Dun domaine sym´etrique non vide de R2. Une
fonction moyenne sur Dest une fonction r´eelle Msur Dqui v´erifie
les trois axiomes suivants:
1∀(x,y)∈D, on a: min(x,y)≤M(x,y)≤max(x,y).
2∀(x,y)∈D, on a: M(x,y) = M(y,x).
3∀(x,y)∈D, on a:
M(x,y) = x=⇒x=y.
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G´en´eralit´es
G´en´eralit´es
D´efinition. Soit Dun domaine sym´etrique non vide de R2. Une
fonction moyenne sur Dest une fonction r´eelle Msur Dqui v´erifie
les trois axiomes suivants:
1∀(x,y)∈D, on a: min(x,y)≤M(x,y)≤max(x,y).
2∀(x,y)∈D, on a: M(x,y) = M(y,x).
3∀(x,y)∈D, on a:
M(x,y) = x=⇒x=y.
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