Structures algébriques et topologiques sur l`ensemble des fonctions
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Structures algébriques et topologiques sur l’ensemble des fonctions moyennes et généralisation de la moyenne AGM Bakir FARHI Université A. Mira de Béjaia 18 mars 2014 B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 1 / 34 Plan 1 Généralités 2 Une structure algébrique 3 La symétrie fonctionnelle 4 Une structure topologique 5 Généralisation de la moyenne AGM 6 Un important problème ouvert B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 2 / 34 Généralités Généralités Définition. Soit D un domaine symétrique non vide de R2 . Une fonction moyenne sur D est une fonction réelle M sur D qui vérifie les trois axiomes suivants: 1 ∀(x, y ) ∈ D, on a: min(x, y ) ≤ M(x, y ) ≤ max(x, y ). 2 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = M(y , x). 3 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = x =⇒ x = y . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 3 / 34 Généralités Généralités Définition. Soit D un domaine symétrique non vide de R2 . Une fonction moyenne sur D est une fonction réelle M sur D qui vérifie les trois axiomes suivants: 1 ∀(x, y ) ∈ D, on a: min(x, y ) ≤ M(x, y ) ≤ max(x, y ). 2 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = M(y , x). 3 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = x =⇒ x = y . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 3 / 34 Généralités Généralités Définition. Soit D un domaine symétrique non vide de R2 . Une fonction moyenne sur D est une fonction réelle M sur D qui vérifie les trois axiomes suivants: 1 ∀(x, y ) ∈ D, on a: min(x, y ) ≤ M(x, y ) ≤ max(x, y ). 2 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = M(y , x). 3 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = x =⇒ x = y . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 3 / 34 Généralités Généralités Définition. Soit D un domaine symétrique non vide de R2 . Une fonction moyenne sur D est une fonction réelle M sur D qui vérifie les trois axiomes suivants: 1 ∀(x, y ) ∈ D, on a: min(x, y ) ≤ M(x, y ) ≤ max(x, y ). 2 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = M(y , x). 3 ∀(x, y ) ∈ D, on a: M(x, y ) = x =⇒ x = y . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 3 / 34 Généralités Généralités Exemples connus Exemples connus. La moyenne arithmétique. Elle est notée A et définie sur R2 par: x +y A(x, y ) = . 2 La moyenne géométrique. Elle est notée G et définie sur ]0, +∞[2 √ par: G(x, y ) = xy . La moyenne harmonique. Elle est notée H et définie sur ]0, +∞[2 2xy . par: H(x, y ) = x +y B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 4 / 34 Généralités Généralités Exemples connus Exemples connus. La moyenne arithmétique. Elle est notée A et définie sur R2 par: x +y A(x, y ) = . 2 La moyenne géométrique. Elle est notée G et définie sur ]0, +∞[2 √ par: G(x, y ) = xy . La moyenne harmonique. Elle est notée H et définie sur ]0, +∞[2 2xy . par: H(x, y ) = x +y B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 4 / 34 Généralités Généralités Exemples connus Exemples connus. La moyenne arithmétique. Elle est notée A et définie sur R2 par: x +y A(x, y ) = . 2 La moyenne géométrique. Elle est notée G et définie sur ]0, +∞[2 √ par: G(x, y ) = xy . La moyenne harmonique. Elle est notée H et définie sur ]0, +∞[2 2xy par: H(x, y ) = . x +y B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 4 / 34 Généralités Généralités Exemples connus Exemples connus. La moyenne arithmétique. Elle est notée A et définie sur R2 par: x +y A(x, y ) = . 2 La moyenne géométrique. Elle est notée G et définie sur ]0, +∞[2 √ par: G(x, y ) = xy . La moyenne harmonique. Elle est notée H et définie sur ]0, +∞[2 2xy par: H(x, y ) = . x +y B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 4 / 34 Généralités Généralités Exemples connus La moyenne arithmético-géométrique de Gauss. Elle est notée AGM et définie sur ]0, +∞[2 par le procédé suivant. Pour tout (x, y ) ∈ ]0, +∞[2 , AGM(x, y ) est la limite commune des deux suites adjacentes (xn )n∈N et (yn )n∈N définies par: x0 = x , y0 = y xn + yn (∀n ∈ N) . xn+1 = 2 √ yn+1 = xn yn B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 5 / 34 Généralités Généralités Le théorème de Gauss Le théorème de Gauss. Théorème. Pour tous x, y > 0, on a: π AGM(x, y ) = 2 Z π = 2 Z B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) +∞ p 0 0 !−1 dt (t 2 + x 2 )(t 2 + y 2 ) π 2 dθ p x 2 cos2 θ + y 2 sin2 θ Fonctions moyennes !−1 . 18 mars 2014 6 / 34 Généralités Généralités Exemples moins connus Exemples moins connus. La moyenne logarithmique. Elle est notée L et définie sur ]0, +∞[2 par: si x = y x L (x, y ) := . x −y si x 6= y log x − log y On peut représenter L sous la forme intégrale: Z y −1 dt 1 (∀x, y > 0, x 6= y ). L (x, y ) = y −x x t B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 7 / 34 Généralités Généralités Exemples moins connus Les moyennes de Holder. La moyenne de Holder Hp (p ∈ R∗ ) est définie sur ]0, +∞[2 par: p 1/p x + yp Hp (x, y ) := . 2 Exemples. On a: H1 = A, H−1 = H et lim Hp = G. p→0 Proposition. Pour tous p, q ∈ R∗ , on a: p ≥ q =⇒ Hp ≥ Hq . Conséquence. On a: A ≥ G ≥ H. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 8 / 34 Généralités Généralités Exemples moins connus Les moyennes de Lehmer. La moyenne de Lehmer d’indice t (t ∈ R) est la moyenne notée Lt et définie sur ]0, +∞[2 par: Lt (x, y ) := xt + yt . x t−1 + y t−1 Les moyennes A, G et H sont des cas particuliers de la moyenne de Lehmer. On a plus précisément: A = L1 , G = L1/2 et H = L0 . Proposition. Pour tous t, s ∈ R, on a: t ≥ s =⇒ Lt ≥ Ls . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 9 / 34 Généralités Généralités Fonctions moyennes normales Conséquence. On a: A ≥ G ≥ H. Fonctions moyennes normales. Soient I un intervalle non vide de R et P : I → R une fonction strictement positive. On appelle fonction moyenne normale sur I 2 , de fonction poids P, la fonction M : I 2 → R définie par: M(x, y ) = B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) xP(x) + yP(y ) . P(x) + P(y ) Fonctions moyennes 18 mars 2014 10 / 34 Généralités Généralités Comparaison de moyennes normales N. B: Les moyennes de Lehmer sont des cas particuliers de moyennes normales (il suffit de prendre P(x) = x t−1 ). D’où A, G et H sont des moyennes normales. Comparaison de fonctions moyennes normales. La proposition suivante généralise la proposition 1. Proposition 1. Soient M1 et M2 deux fonctions moyennes normales sur I 2 (où I est un intervalle non vide de R) et P1 et P2 leurs fonctions poids respectives. Alors, on a équivalence entre: 1 M1 ≤ M2 sur I 2 . 2 La fonction PP12 est décroissante sur I . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 11 / 34 Généralités Généralités Propriétés de certaines moyennes Quelques propriétés importantes de certaines moyennes. Soit M une fonction moyenne sur un domaine symétrique et non vide D de R2 . Définition. 1 M est dite homogène si elle satisfait: M(λx, λy ) = λM(x, y ) 2 (pour tout (x, y ) ∈ D et tout λ ∈ R tel que (λx, λy ) ∈ D). M est dite croissante (resp. décroissante) si la fonction d’une variable x 7→ M(x, y ) est croissante (resp. décroissante) pour tout y fixé. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 12 / 34 Généralités Généralités Propriétés de certaines moyennes Exemples. Les moyennes A, G, H et L sont toutes homogènes et croissantes. Les moyennes de Holder sont toutes homogènes et croissantes. Proposition 2. Toute moyenne continue, normale et homogène sur ]0, +∞[2 est une moyenne de Lehmer. Proposition 3. Si M est une moyenne homogène et croissante alors la fonction: M(x 2 , y 2 ) (x, y ) 7−→ M(x, y ) est une moyenne. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 13 / 34 Généralités Généralités Propriétés de certaines moyennes Exemple. Pour la moyenne logarithmique L , on a: L (x 2 , y 2 ) = A(x, y ) L (x, y ) B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) (∀x, y ∈]0, +∞[). Fonctions moyennes 18 mars 2014 14 / 34 Une structure algébrique Une structure de groupe abelien Une structure de groupe abélien. Soit D un domaine symétrique non vide de R2 . On note par MD l’ensemble des fonctions moyennes sur D et par AD l’ensemble des fonction antisymétriques sur D (i.e. des fonctions f : D → R tel que f (x, y ) = −f (y , x), ∀(x, y ) ∈ D). On définit: ϕ : MD −→ AD M 7−→ ϕ(M)(x, y ) := ( M(x,y )−x log − M(x,y si x 6= y )−y 0 . si x = y Les axiomes des fonctions moyennes montrent que ϕ est bien définie et qu’elle est bijective. On peut transporter donc, par ϕ, la structure du groupe abélien (AD , +) sur MD . On définit ? sur MD par: B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 15 / 34 Une structure algébrique Une structure de groupe abelien ∀M1 , M2 ∈ MD : M1 ? M2 := ϕ−1 (ϕ(M1 ) + ϕ(M2 )) . Théorème 4. Soit D un domaine symétrique et non vide de R2 . Alors, la loi ? sur MD définie par: ∀M1 , M2 ∈ MD , ∀(x, y ) ∈ D: (M1 ? M2 )(x, y ) ( := x(M1 (x,y )−y )(M2 (x,y )−y )+y (M1 (x,y )−x)(M2 (x,y )−x) (M1 (x,y )−x)(M2 (x,y )−x)+(M1 (x,y )−y )(M2 (x,y )−y ) si x 6= y 0 si x = y . est une loi de composition interne sur MD et (MD , ?) est un groupe abélien ayant pour élément neutre la moyenne arithmétique A sur D. De plus, l’application ϕ : MD → AD (définie précédemment) constitue un isomorphisme de groupe. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 16 / 34 Une structure algébrique Une structure de groupe abelien Images par ϕ de quelques moyennes usuelles. On a: ϕ(A) = 0 1 1 ϕ(G) = log x − log y 2 2 ϕ(H) = log x − log y . Plus généralement, M est une fonction moyenne normale sur D si et seulement si son image ϕ(M) est de la forme: h(x) − h(y ) (où h est une fonction d’une variable). D’où le: Corollaire 5. L’ensemble des fonctions moyennes normales sur un domaine symétrique non vide D de R2 est un sous-groupe de MD . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 17 / 34 Une structure algébrique Une structure de groupe abelien Symétries centrales sur le groupe (MD , ?). Soit M0 une moyenne fixée sur D. La symétrie par rapport à M0 (au sens de la loi ?) est l’application involutive SM0 : MD → MD , définie par: ∀M1 , M2 ∈ MD : déf SM0 (M1 ) = M2 ⇐⇒ M1 ? M2 = M0 ? M0 . L’expression explicite de SM0 est donnée par la: Proposition 6. Soient D un domaine symétrique et non vide de R2 et M0 et M1 deux fonctions moyennes sur D. Alors, on a: SM0 (M1 ) = x(M1 − x)(M0 − y )2 − y (M0 − x)2 (M1 − y ) . (M1 − x)(M0 − y )2 − (M0 − x)2 (M1 − y ) B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 18 / 34 Une structure algébrique Une structure de groupe abelien Étude de quelques cas usuels. Proposition 7. Pour toute moyenne M sur un domaine symétrique convenable de R2 , on a: 1 SA (M) = x + y − M = 2A − M. xy G2 2 SG (M) = = . M M xyM HM 3 SH (M) = = . (x + y )M − xy 2M − H 4 SH = SG ◦ SA ◦ SG . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 19 / 34 La symétrie fonctionnelle La symétrie fonctionnelle La symétrie fonctionnelle. On prend D = I 2 où I est un intervalle non vide de R. Définition. Étant donnés M0 , M1 et M2 trois moyennes sur D tel que M1 et M2 prennent leurs valeurs dans I , on dira que M2 est un symétrique fonctionnel de M1 par rapport à M0 si l’équation fonctionnelle suivante est vérifiée: M0 (M1 (x, y ), M2 (x, y )) = M0 (x, y ) (∀(x, y ) ∈ D). Cette équation s’écrit en abrégé: M0 (M1 , M2 ) = M0 . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 20 / 34 La symétrie fonctionnelle La symétrie fonctionnelle Sous certaines hypothèses raisonnables sur M0 , on obtient l’existence et l’unicité du symétrique fonctionnel par rapport à M0 de toute moyenne sur D. On a la Proposition 8. Soit M0 une moyenne sur I 2 . On suppose que M0 est strictement croissante et que l’on a pour tous x, y ∈ I : x ≤ y =⇒ M0 (x, I ) ⊂ M0 (y , I ). Alors, toute moyenne sur I 2 possède un unique symétrique fonctionnel par rapport à M0 . Notation. Le symétrique fonctionnel d’une moyenne M par rapport à une moyenne M0 (lorsqu’il existe et qu’il est unique) se note: σM0 (M). B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 21 / 34 La symétrie fonctionnelle La symétrie fonctionnelle Exemples. 1 Les moyennes A et H sont symétrique au sens fonctionnel par rapport à la moyenne G. 2 Les moyennes A et G sont symétriques au sens fonctionnel par rapport à la moyenne AGM. Etude de quelques cas usuels. Proposition 9. Pour toute moyenne M sur un domaine symétrique convenable D de R2 , on a: 1 σA (M) = x + y − M = SA (M). xy 2 σG (M) = = SG (M). M xyM 3 σH (M) = = SH (M). (x + y )M − xy B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 22 / 34 La symétrie fonctionnelle La symétrie fonctionnelle Coı̈ncidence: σA = SA , σG = SG et σH = SH . Problème ouvert: Décrire l’ensemble n o M ∈ M]0,+∞[2 : σM = SM . Cet ensemble contient au moins les trois moyennes A, G et H. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 23 / 34 Une structure topologique Une structure d’espace métrique Une structure d’espace métrique. Soit D un domaine symétrique de R2 contenant au moins un point (x0 , y0 ), avec x0 6= y0 . On définit d : M2D → [0, +∞] par: M1 (x, y ) − M2 (x, y ) d(M1 , M2 ) : sup (∀M1 , M2 ∈ MD ). x − y (x,y )∈D x6=y Proposition 10. L’application d constitue une distance sur MD . De plus, l’espace métrique (MD , d) est identique à la boule fermée de centre A et de rayon 21 . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 24 / 34 Une structure topologique Une structure d’espace métrique Calcul de la distance entre deux moyennes en se servant de l’isomorphisme ϕ. Proposition 11. Soient M1 et M2 deux fonctions moyenne sur D. En posant f1 := ϕ(M1 ) et f2 := ϕ(M2 ), on a: e f1 − e f2 1 1 d(M1 , M2 ) = sup f1 − . = sup f e f1 + 1 e f2 + 1 D (e + 1)(e 2 + 1) D B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 25 / 34 Une structure topologique Une structure d’espace métrique Localisation de certaines moyennes sur MD = B(A, 12 ). Corollaire 12. Soit M une fonction moyenne sur D. Alors, en posant s := sup ϕ(M), on a: D d(M, A) = 1 es − 1 · . 2 es + 1 En particulier, M est située sur la frontière de MD si et seulement si sup ϕ(M) = +∞. D Application. À l’exception de la moyenne arithmétique A, toute moyenne de Lehmer est située sur le frontière de MD . En particulier, les moyennes G et H sont situées sur la frontière de MD . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 26 / 34 Une structure topologique Une structure d’espace métrique Exemple: calcul de d(G, H). En utilisant la proposition 11, on trouve: d(G, H) = sup t>0 t2 − t . (t + 1)(t 2 + 1) C’est un nombre algébrique de degré 4; il est plus précisément une racine de l’équation algébrique: x 4 + 10x 3 + 3x 2 − 14x + 2 = 0. Numériquement, on trouve: d(G, H) ' 0, 15. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 27 / 34 Généralisation de la moyenne AGM Généralisation de la moyenne AGM Le milieu fonctionnel de deux moyennes. Soient D un domaine symétrique et non vide de R2 et M1 et M2 deux fonctions moyennes sur D. Définition. Un milieu fonctionnel de M1 et M2 est une fonction moyenne M sur D, vérifiant l’équation fonctionnelle: M(M1 , M2 ) = M. Ce qui est équivalent à dire que M1 et M2 sont symétriques (au sens fonctionnel) par rapport à M. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 28 / 34 Généralisation de la moyenne AGM Généralisation de la moyenne AGM Exemples. 1 Le milieu fonctionnel des deux moyennes A et H est la moyenne G. 2 Le milieu fonctionnel des deux moyennes A et G est la moyenne AGM. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 29 / 34 Généralisation de la moyenne AGM Généralisation de la moyenne AGM Construction d’un milieu fonctionnel de deux moyennes. Soient D un domaine symétrique et non vide de R2 et M1 et M2 deux fonctions moyennes sur D. Pour tout (x, y ) ∈ D, on considère les deux suites réelles (xn )n∈N et (yn )n∈N définies par: x = x , y0 = y 0 xn+1 = M1 (xn , yn ) yn+1 = M2 (xn , yn ) (∀n ∈ N). On montre que si (xn )n et (yn )n convergent et ont une même limite, notée M(x, y ) alors: B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 30 / 34 Généralisation de la moyenne AGM Généralisation de la moyenne AGM 1 2 3 M est une fonction moyenne sur D. M est un milieu fonctionnel de M1 et M2 . M est l’unique milieu fonctionnel de M1 et M2 . B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 31 / 34 Généralisation de la moyenne AGM Généralisation de la moyenne AGM Deux résultats. Théorème 13. Soient I un intervalle non vide de R et M1 et M2 deux fonctions moyennes sur I 2 , à valeurs dans I et tel que d(M1 , M2 ) < 1. Alors, il existe un unique milieu fonctionnel de M1 et M2 et il peut être construit comme limite commune de deux suites définies comme précédemment. Corollaire 14. Soient I un intervalle non vide de R et M une fonction moyenne sur I 2 , à valeur dans I . Alors, il existe un unique milieu fonctionnel de A et M et il peut être construit comme limite commune de deux suites définies comme précédemment. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 32 / 34 Généralisation de la moyenne AGM Généralisation de la moyenne AGM Théorème 15. Soient I un intervalle non vide de R et M1 et M2 deux fonctions moyennes sur I 2 , à valeurs dans I . On suppose que M1 et M2 sont continues sur I 2 . Alors, il existe un unique milieu fonctionnel de M1 et M2 et il peut être construit comme limite commune de deux suites définies comme précédemment. B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Fonctions moyennes 18 mars 2014 33 / 34 Un important problème ouvert Un important problème ouvert Problème ouvert. Déterminer une expression du milieu fonctionnel de deux fonctions moyennes M1 et M2 sous une forme intégrale généralisant la formule de Gauss pour le milieu fonctionnel (AGM) des deux moyennes Arithmétique (A) et Géométrique (G). Rappel de la formule de Gauss. Pour tous x, y > 0, on a: !−1 Z +∞ dt π p AGM(x, y ) = 2 (t 2 + x 2 )(t 2 + y 2 ) 0 π = 2 B. Farhi (Université A. Mira de Béjaia) Z 0 π 2 dθ p x 2 cos2 θ + y 2 sin2 θ Fonctions moyennes !−1 . 18 mars 2014 34 / 34
