Nombres entiers et rationnels cours 3e

Nombres entiers et rationnels cours 3e
F.Gaudon
2 septembre 2004
Table des mati`eres
1 Diviseurs de nombres entiers 2
2 Application `a la simplification de fractions 3
3 Recherche pratique du PGCD de deux nombres entiers na-
turels 4
3.1 Propri´et´es utiles (Hors Programme) . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Utilisation de l’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Utilisation de l’algorithme des diff´erences successives . . . . . 5
4 Synth`ese sur les nombres 6
4.1 Nombres entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Nombres entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 Nombres d´ecimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5 Nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1

1 Diviseurs de nombres entiers
D´efinition :
Soient aet bdeux nombres entiers positifs. On dit que adivise bsi il
existe un nombre ntel que a×n=b.
D´efinition :
Soient aet bdeux nombres entiers positifs.
Un diviseur commun `a aet best un nombre entier qui divise `a la fois a
et b.
Exemple :
diviseurs de 8 : 1, 2, 4 et 8 ;
diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 ;
diviseurs communs de 8 et 12 : 1, 2 et 4.
Remarque :
Etant donn´es deux nombres, le nombre 1 est toujours un diviseur commun
de ces deux nombres.
Propri´et´e et d´efinition :
Deux nombres aet bentiers naturels non nuls admettent toujours au
moins un diviseur commun. Le plus grand diviseur commun s’appelle le
P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) des nombres aet b. On le note
P GCD(a;b).
Preuve :
1 est toujours est un diviseur commun d’o`u l’existence d’au moins un
diviseur commun. Les diviseurs communs de aet bsont inf´erieurs `a aet b,
il y en a donc un nombre fini d’o`u l’existence d’un plus grand diviseur
commun.
Exemple :
PGCD(8 ;12)=4
D´efinition :
2

Lorsque le plus grand diviseur commun de deux nombres aet best ´egal
`a 1, on dit que les nombres aet bsont premiers entre eux.
Exemple :
– 2 et 3 sont premiers entre eux ainsi que 13 et 12 ;
– 2 et 4 ne sont pas premiers entre eux car 2 est un diviseur commun `a 2 et
4.
2 Application `a la simplification de fractions
D´efinition :
Une fraction a
b(avec b6= 0) est dite irr´eductible lorsque aet bsont
premiers entre eux.
Exemple :
12
8=4×3 4×2=3 2
12
8n’est pas irr´eductible mais 3 2l’est.
Propri´et´e :
Pour rendre une fraction a
b(avec b6= 0) irr´eductible, on la simplifie par
le plus grand diviseur commun `a aet b.
Preuve :
Soit dle PGCD de aet b. Il existe donc un nombre rtel que dr =aet un
nombre stel que ds =b. On a donc
a
b=dr ds =r s
Il reste `a justifier que r
sest irr´eductible c’est `a dire que ret ssont premiers
entre eux c’est `a dire encore que le plus grand diviseur commun `a ret sest
1. Soit donc un diviseur ncommun `a ret s. Il existe donc r0tel que r=r0n
et il existe s0tel que s=s0n. D’o`u a=dnr0et b=dns0et donc dn est un
diviseur commun `a aet b. Comme dest le plus grand, dn =ddonc n= 1.
3

3 Recherche pratique du PGCD de deux nombres
entiers naturels
3.1 Propri´et´es utiles (Hors Programme)
Propri´et´e :
Si kest un diviseur commun aux deux nombres aet balors il divise aussi
a−bet a+b.
Preuve :
Si kest un diviseur commun de aet b, il existe deux nombres entiers
positifs net ptels que a=kn et b=kp donc a+b=kn +kp c’est `a dire
a+b=k(n+p) en factoriasant par k. Cela montre que kdivise aussi a+b.
On a de mˆeme a−b=k(n−p) ce qui montre que kest un diviseur de a−b.
Propri´et´e :
Soient aet bdeux nombres entiers avec a > b et b6= 0. Si rest le reste de
la division euclidienne de apar b, alors P GCD(a;b) = P GCD(b;r).
Preuve :
rest le reste de la division euclidienne de apar bdonc il existe un nombre
entier rtel que a=bq +r. On appelle dle PGCD de aet de b.ddivise aet
bdonc il divise bq et adonc il divise aussi a−bq. Mais a−bq =rdonc d
est un diviseur de ret b. Il reste `a montrer que c’est le plus grand diviseur
commun `a ret b. On consid`ere donc un diviseur commun k`a ret b. Il
divise donc bq et rdonc c’est un diviseur de bq +ret de bc’est `a dire de a
et de b. Comme dest le plus grand diviseur commun `a aet b,k < d donc d
est bien le plus grand diviseur commun `a bet r.
3.2 Utilisation de l’algorithme d’Euclide
On suppose que a > b.
´etape 1 On divise a par b et on obtient le reste r ;
´etape 2 si le reste r vaut 0, alors l’algorithme est termin´e, PGCD(a ;b)=b ;
´etape 3 si le reste r est non nul, alors on recommence `a l’´etape 1 avec le
nombre b `a la place de a et le nombre r `a la place de b.
4

Preuve partielle :
Il existe deux entiers naturels qet rtels que a=bq +ravec r < b (division
euclidienne). Si r= 0, a=bq et b= 1bdonc best le PGCD de aet b. Si
r6= 0, alors il existe q2et r2tels que b=q2r+r2avec r2< r < b Si r26= 0,
on continue le proc´ed´e. Comme les restes rsont des entiers positifs ou nuls
d´ecroissants, l’un des restes rdevra ˆetre nul et i s’agit de montrer que
l’avant dernier reste non nu et l’on peut montrer que dest le PGCD de aet
b.
Exemple :
PGCD de 1078 et 322
division a b r
1078 = 322 ×3 + 112 1078 322 112
322 = 112 ×2 + 98 322 112 98
112 = 98 ×1 + 14 112 98 14
98 = 14 ×7 98 14 0
Donc PGCD(1078 ;322)=14 ;
3.3 Utilisation de l’algorithme des diff´erences succes-
sives
Technique :
Le PGCD de deux nombres est le mˆeme que le PGCD su plus petit et de
la diff´erence des deux.
Par diff´erences successsives, on diminue donc les deux nombres, jusqu’`a ce
que la diff´erence fasse 0
Exemple :
Calcul du PGCD de 576 et 168 :
diff´erences
576 168 408
408 168 240
240 168 72
168 72 96
96 72 24
72 24 48
48 24 24
24 24 0
5