PPCM - Colegio Francia

PPCM FICHE 19
Définition
Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des multiples communs strictement
positifs de a et b n'est pas vide, puisqu'il contient au moins l'entier
ab
. Le plus petit multiple
(positif) commun de a et b s'appelle le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de a et de b et
se note
);( baPPCM
ou parfois
ba
.
Exemple Les multiples positifs de 24 sont 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, ...
Les multiples positifs de 36 sont : 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252,...
Le plus petit des multiples communs de 24 et 36 est 72.
Remarque
On peut prolonger la définition du PPCM de façon logique en posant
0);0()0;(  aPGCDaPGCD
si a est un entier naturel. En particulier :
0)0;0( PPCM
.
On peut étendre la définition à tous les entiers relatifs en posant :
);();( baPGCDbaPGCD 
.
Théorème
L'ensemble des multiples communs entre deux entiers a et b est l'ensemble des multiples de
leur PPCM.
Plus symboliquement, quel que soit l'entier c :
ca
et
cb
si et seulement si
cbaPPCM );(
.
Démonstration
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, d leur PGCD. a et b s'écrivent donc :
ada 
et
bdb 
, avec
a
et
b
premiers entre eux.
Considérons le nombre
badbaba
d
ab
m
. Tout multiple de m est un multiple
commun de a et de b.
Réciproquement, si c est un multiple commun de a et de b.
bdkbkadkakc   2211
.
D'où :
bkak 
21
.
a
divise
bk 
2
et
a
et
b
sont premiers entre eux, donc, d'après le
théorème de Gauss,
a
divise
2
k
:
akk  32
d'où finalement
mkbakbkc 332 
.
On voit donc que les multiples communs de a et b sont les multiples de m.
Ceci montre que m (qui est positif) est le PPCM de a et de b.
En résumé :
a et b deux entiers naturels non nuls, d leur PGCD, m leur PPCM.
On peut écrire :
ada 
et
bdb 
, avec
a
et
b
premiers entre eux et
badbaba
d
ab
m
.
On a donc en particulier
abmd 
c'est-à-dire :
abbaPPCMbaPGCD  );();(
.
Remarque Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, leur PPCM est égal à
ab
.

Propriétés
Soit a, b deux entiers. k un entier naturel non nul.
);();( abPPCMbaPPCM 
);();( baPPCMkkbkaPPCM 
 Si a et b sont divisibles par k :
kbaPPCM k
b
k
a
PPCM );( );( 
Autre méthode de calcul du PGCD et du PPCM
Soit deux entiers naturels
k
a
k
aa pppn 
21 21
et
k
b
k
bb pppm 
21 21
décomposés en
utlisant les mêmes nombres premiers (quitte à compléter avec des exposants nuls).
Le PGCD de n et de m est l'entier
k
c
k
cc ppp 
21 21
où
i
c
est le plus petit des entiers
i
a
et
i
b
pour tout i compris entre 1 et k.
Le PPCM de n et de m est l'entier
k
d
k
dd ppp 
21 21
où
i
d
est le plus grand des entiers
i
a
et
i
b
pour tout i compris entre 1 et k.
Exemple
01213 131173293612 
et
10122 13117322763 
.
Le PGCD de 12 936 et 3 276 est donc
00112 131173284 
.
Le PPCM de 12 936 et 3 276 est donc
11223 1311732504504 
.
Ex 19.1 Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers pour en déduire le
PPCM :
9 et 12 40 et 50 150 et 441
980 et 42 40 et 63 35 280 et 59 400
Ex 19.2 Quel est le plus petit entier naturel n supérieur à 3 qui, divisé par 12 ou par 18, donne
le même reste 3 ?
Ex 19.3 En remarquant que
17083317 
calculer le PPCM des nombres suivants :
17 et 8 17 et 70 33 et 8 33 et 70
Ex 19.4 Calculer le PGCD des nombres suivants pour en déduire le PPCM.
84 et 63 1 764 et 1 512 12 936 et 1 584
48 et 44 432 et 288 1 600 et 1 568
Ex 19.5 Calculer le PGCD et le PPCM des nombres non nuls a et b définis
par :
nn
a55 2 
et
nn
b77 2 
où n est un entier naturel.
Ex 19.6 Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels les systèmes :
1.
252),(
1512
yxPPCM
xy
2.
60),(
300
yxPPCM
xy
3.
4401),(
276
yxPPCM
yx
4.
24),(
12816
yxPGCD
xy

5.
17),(
7341
yxPGCD
xy
Ex 19.7 Résoudre l'équation
111);(7);(2  baPPCMbaPGCD
où a et b désignent des
entiers naturels.
Ex 19.8 Trouver tous les couples
);( ba
d'entiers naturels (
ba 
) vérifiant :
78);(3);(2  baPGCDbaPPCM
et tels que a ne divise pas b.
Ex 19.9 a) Quels sont les entiers naturels dont le carré est un diviseur de 1980 ?
b) Soit a et b des entiers naturels non nuls dont le PGCD est noté d et le PPCM est noté m.
Déterminer a et b sachant que
1980522  dm
.