0 – Rappels de première sur les droites et systèmes

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C. Jourdain

Chap. 4 – Mathématiques Terminales S.T.G.

Optimisation

1) Variation et coefficient directeur

► Toute droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées), a une équation de la forme : x = constante

Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = a x + b.

 Parmi elles, celles qui passent par l’origine ont une équation de la forme : y = a x

 Parmi elles, celles qui sont horizontales ont une équation de la forme : y = b

► Soit (D) une droite du plan, non parallèle à l’axe des ordonnées, on appelle y = ax + b l’équation réduite de (D), où a est

appelé le coefficient directeur ou la pente de (D) et b l’ordonnée à l’origine.

► Si a > 0, (D) « monte », et si a < 0, (D) « descend ».

► Deux droites parallèles on même coefficient directeur.

2) Méthodes de calculs

1ère méthode : numérique : on connaît deux points A (xA ;yA ) et B (xB ;yB ) de (D).

On calcule : a =

Error!

. Puis b en remplaçant dans l’équation : b = yA – a xA.

2ème méthode : graphique : Le graphe de D est donné.

► a est le quotient de l’accroissement y de l’image (vertical) par l’accroissement x de la variable (horizontal).

► La valeur de b sur le graphique est donc l’ordonnée du point d’abscisse 0 (point d’intersection de D avec l’axe des

ordonnées). Si la lecture graphique simple n’est pas possible, utiliser la 1ère méthode.

3) Résolution d’un système de façon graphique

Exemple : Déterminer les solutions éventuelles des systèmes suivants :

{ 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 6, { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 18 et { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) Résolution d’un système par le calcul

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Exemple : Résoudre le système : { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1

On le résous par l’une des deux méthodes suivantes :

Par substitution :

Isolons y dans (1) : y =  2 x  2. Reportons cette

expression dans (2) : 5 x + 4 (  2 x  2) = 1, soit :  3 x 

8 = 1. Résolvons l’équation : x = 3 et par suite : y = 4.

Par combinaison :

On multiplie (1) par  4 et (2) par 1. on a donc :

{  8 x  4 y = 8 ;5 x + 4 y = 1. En additionnant on

obtient : 3 x = 9, soit x = 3, puis y = 4.

Conclusion : le système admet une unique solution : ( 3 ;4).

Faire les exercices : n°1 p 70, n°8 p 71 – n°13 p 71, n°17 p 72, n°23 p 72 – n°29 p 73

I – Régionnement du plan avec une droite

Activité : On s’arrête à la frontière !

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,

Error!

D est l’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; y) telles que 3x + 2y = 4.

1. a) En exprimant y en fonction de x, constater que l’ensemble D est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées,

d’équation réduite y =  1,5 x + 2.

b) Représenter graphiquement cette droite dans le repère ci-dessous.

2. On désigne par B l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) telles que 3x + 2y  4.

a) Tracer sur le graphique précédent l’ensemble des points de B, d’abscisse x = 0.

b) Reprendre la question précédente successivement pour x = 4, x =  2, x = 1 et x = 2.

c) Indiquer avec une couleur sur le graphique l’ensemble B.

3. Indiquer avec une autre couleur l’ensemble H des points de coordonnées (x ; y) telles que 3x + 2y  4.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

le plan est rapporté à un repère (O,

Error!

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Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.

a, b et c sont des nombres réels tels que l’un au moins des nombres a ou b n’est pas nul.

1) Droite d’équation ax + by = c

► L’ensemble D des points de coordonnées (x ; y) telles que ax + by = c est une droite ; ax + by = c est UNE équation de D.

On l’appelle équation cartésienne, pour la distinguer de la forme y = mx + p, qui est l’équation réduite de la droite.

 Si b  0, l’équation s’écrit alors : y = –

Error!

x +

Error!

 Si b = 0, alors nécessairement, a  0, et l’équation s’écrit alors : x =

Error!

(droite parallèle à l’axe des ordonnées)

2) Demi-plans et frontière

► Une droite (D) partage le plan en deux demi plans de frontière (D)

► L’expression a x + b y = c permet de partager le plan en trois régions :

 a x + b y = c pour tout point M(x ; y) de la droite (D)

 a x + b y > c pour tout point M(x ; y) de l’un de ces demi-plans

 a x + b y < c pour tout point M(x ; y) de l’autre demi-plan.

Applications : Résoudre graphiquement chacune des inéquations suivantes :

a) 2x + y < 1 b) x > 4 c) y   1

a)……………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………… b)..….………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

c)……………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Faire les exercices : n°31, 32, 34 p 72 – n°38 à 41 p 73 – n°50 p 73 – n°56 p 74, 75

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II – Régionnement du plan avec plusieurs droites

Activité : On s’arrête aux frontières !

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,

Error!

) (unité 1 cm)

1. a) Tracer la droite D1 d’équation 2x + y = 2, puis faire apparaître sur le graphique le demi-plan caractérisé par l’inéquation

2x + y  2 (hachurer l’autre demi-plan).

b) Sur le graphique précédent, tracer la droite D2 d’équation x + y = 0, puis faire apparaître sur le graphique le demi-plan

caractérisé par l’inéquation x + y  0 (hachurer l’autre demi-plan).

c) Sur le graphique précédent, tracer la droite D3 d’équation x = 1, puis faire apparaître sur le graphique le demi-plan

caractérisé par l’inéquation x  1 (hachurer l’autre demi-plan).

d) Observer la forme de la région non hachurée obtenue.

2. En réalisant rapidement les tracés, reprendre trois fois successivement la question 1. en remplaçant :

a) l’inéquation 2x + y  2 par 2x + y  2, sans changer les deux autres ;

b) les deux inéquations 2x + y  2 et x + y  0 respectivement par 2x + y  2 et x + y  0, sans changer la troisième.

c) les trois inéquations 2x + y  2, x + y  0 et x  1 respectivement par 2x + y  2, x + y  0 et x  1.

.……………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

le plan est rapporté à un repère (O,

Error!

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► L’intersection de plusieurs demi-plans, caractérisés respectivement par des inéquations linéaires I1, I2, …, est une région

polygonale convexe du plan (qui peut être l’ensemble vide), constituée de l’ensemble des points de coordonnées solutions du

système d’inéquations linéaires { I1 ; I2 ; …. On dit que cette région est caractérisée par le système d’inéquations précédent.

► « Polygonale » signifie que la frontière est constituée de droites, demi-droites ou segments de droites.

► « Convexe » signifie que quels que soient deux points de la région, le segment de droite qui les joints est totalement inclus

dans la région.

exemple: Déterminer le système d’inéquations qui caractérise la partie du plan

non hachurée.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Applications :

1] Résoudre graphiquement le système d’inéquations :

{ x   3 ;x + 4y  2 ; x – y  1

……………………………………………………………

2] Déterminer un système d’inéquations caractérisant

l’intérieur du triangle ABC, côtés compris.

……………………………………………………………

Faire les exercices : n°58, 61 p75 – n°64 p 75 – n° 71 p 76 – n° 76 p 77 – Q.C.M. : n°77 p77

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