Table des matières - Martin DEL HIERRO

Table des matières
20 Espaces Vectoriels de dimension finie 3
20.1 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
20.1.1 Définition et Caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
20.1.2 Cardinal d’une famille libre ou génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
20.1.3 Calcul de bases et de dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
20.2 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
20.3 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
20.3.1 Définition et Théorème du Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
20.3.2 Application aux isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
20.3.3 Application aux formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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2TABLE DES MATIÈRES
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Lycée J-B. Say - Martin Del Hierro

Chapitre 20
Espaces Vectoriels de dimension finie
Préambule
Avec un léger abus de notation on empruntera les notations liées aux ensembles pour les utiliser de
facon intuitive dans le cadre des familles de vecteurs.
Ainsi on a les définitions
Card (xi)i∈I:= Card I
(x1, . . . , xn)t(y1, . . . , yp) := (x1, . . . , xn, y1, . . . , yp)
y∈(xi)i∈I⇐⇒ y∈ {xi|i∈I}
ϕ³(xi)i∈I´:= ³ϕ(xi)´i∈I
20.1 Dimension d’un espace vectoriel
20.1.1 Définition et Caractérisations
Définition 20.1.1 On dit qu’un espace vectoriel Eest de dimension finie lorsqu’il admet une famille
génératrice de cardinal1fini ♠
Exemple: R,C,−→ Pet −→ Esont des R-espace vectoriel de dimension finie
Exemple: C,Cn[X]sont des C-espace vectoriel de dimension finie
Exercice: Montrer que F(I, R)n’est pas unR-espace vectoriel de dimension finie
Dans toute la suite de ce chapitre, Edésigne (sauf mention du contraire) un K-espace vectoriel de
dimension finie.
Théorème 20.1.1 (de la base incomplète) Soit Gune famille génératrice finie de E.
Si Lest une sous-famille libre de G(L ≺ G),
Alors on peut compléter Len une base Bà l’aide de vecteurs de G
L
|{z}
libre ≺ B
|{z}
base ≺ G
|{z}
generatrice
En particulier :
Toute famille libre d’un espace vectoriel de dimension finie peut être complétée en une base.
De même :
De toute famille génératrice d’un espace vectoriel de dimension finie on peut extraire une
base. ♣
1Cardinal désigne ici le cardinal de l’ensemble des indices associé à la famille
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4CHAPITRE 20. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
Démonstration On ne traite que la cas Lnon vide.
On note G= (g1, . . . , gm)et L= (g1, . . . , gp)(quitte à permuter l’ordre des vecteurs).
Puisque {Card I|[[1, p]] ⊂I⊂[[1, m]] et (gi)i∈Ilibre}est une partie de Nnon vide (contient p) et
majorée (par m), on peut trouver un plus grand élément nqui est donc associée à un certain ensemble
fini Iqui vérifie
Card I=n[[1, p]] ⊂I⊂[[1, m]] et B:= (gi)i∈I
Par définition Best libre, montrons qu’elle est génératrice.
En effet tout vecteur de Gest CL des vecteurs de B, puisque si gj∈ G avec j∈[[1, m]]
•Si j∈IAlors gj∈ B et donc gj∈V ect(B)
•Si j /∈IAlors B t (gj)est une sur-famille de la famille libre B, de cardinal n+ 1, et donc par
définition du plus grand élément Bt(gj)n’est plus une famille libre. On peut donc trouver (λi)i∈I
et µnon tous nuls tel que X
i∈I
λigi+µgj= 0
µne pouvant être nul (ce qui contredirait le caractère libre de B) on trouve
gj=1
µX
i∈I
λigi∈V ect(B)
Conclusion :
On a d’après ce qui précède (avec des notations abusives)
G ⊂ V ect(B)
et donc Gétant génératrice
E=V ect(G)⊂V ect(B)
et donc l’autre inclusion étant évidente E=V ect(B), i.e. Best génératrice
De façon plus particulière si Eest de dimension finie, il admet une famille génératrice (e1, . . . , eq)et
donc si (x1, . . . , xr)est une famille libre il suffit d’appliquer ce qui précède à
L= (x1, . . . , xr)et G= (x1, . . . , xr, e1, . . . , eq)
puisque tout sur-famille d’une famille génératrice est encore génératrice
Enfin la dernière assertion s’applique à partir d’une famille génératrice Gen regardant L=∅(ou
encore Lconstitué d’un vecteur non nul de G)•
Théorème 20.1.2 (Existence de bases) Tout espace vectoriel de dimension finie admet au moins une
base (de cardinal fini) ♣
Démonstration Soit Eest de dimension finie
•Si E={0}Alors B=∅est une base de E
•Si E6={0}Alors tout vecteur non nul xforme une famille libre (x)qui peut être complété en une
base de Ed’après le théorème de la base incomplète
•
Remarque: On a alors l’équivalence :
Eest de dimension finie si et seulement si Eadmet une base de cardinal fini
Théorème 20.1.3 (Existence d’un supplémentaire)
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie.
Tout sous-espace vectoriel Aadmet (au moins) un supplémentaire ♣
Démonstration D’après 20.2.1 on sait que Aest de dimension finie.
Soit BA= (e1, . . . , ep)une base de A, cette basse est une famille libre de Equi peut donc être complétée
en une base B:= (e1, . . . , ep, ep+1, . . . , en)de E.
Posons B:= V ect(ep+1, . . . , en)et montrons que E=A⊕B
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20.1. DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL 5
•E=A+B
En effet ∀x∈E, ∃(λ1, . . . , λn)∈Kn;x=λ1x1+. . . +λpxp
| {z }
∈A
+λp+1xp+1 +. . . +λnxn
| {z }
∈B
•A∩B={0}
En effet soit x∈A∩B, on peut alors trouver (λ1, . . . , λn)∈Kntel que
x=λ1x1+. . . +λpxp=λp+1xp+1 +. . . +λnxn
Et donc λ1x1+. . .+λpxp−λp+1xp+1−. . .−λnxn= 0 d’o grâce au caractère libre de B, on λ1=. . . =λn= 0
et donc x= 0 •
20.1.2 Cardinal d’une famille libre ou génératrice
Lemme 20.1.4 Soit F= (x1, . . . , xn)une famille de nvecteurs de E(avec n∈N∗).
M= (y1, . . . , yn+1)une famille de n+ 1 vecteurs vecteurs de Evérifiant :
∀i∈[[1, n + 1]], yi∈V ect(F)
Alors Mest une famille liée
i.e. Toute famille de de n+ 1 vecteurs qui sont CL de nmêmes vecteurs de E, est une famille liée ♣
Démonstration Posons pour tout n∈N∗la propriété P(n) : "Toute famille de de n+ 1 vecteurs qui
sont CL de nmêmes vecteurs de E, est une famille liée"
• P(1) est manifestement vraie puisque 2 vecteurs colinéaires à un même troisième sont colinéaires
entre eux.
•Soit nun entier de N∗fixé. Supposons P(n)vrai et montrons que P(n+ 1) l’est aussi.
Soit F0= (x0, x1, . . . , xn)une famille de n+ 1 vecteurs de Eet M0= (y0, y1, . . . , yn+1)une famille n+ 2
vecteurs qui sont CL des vecteurs de F0.
?Si pour tout i∈[[0, n + 1]] le coefficient αide yirelativement à x0est nul alors
∀i∈[[0, n + 1]], yi∈V ect(x1, . . . , xn
| {z }
F
)
Mais alors d’après P(n), la famille M:= (y1, . . . , yn+1)est liée, et il en va donc de même de la sur-famille
F0
?Si pour un certain i∈[[0, n + 1]] αiest non nul alors, si par exemple i= 0 (les autre cas étant
analogues) on a
y0=α0x0+
n
X
k=1
λkxk
α0, λ1, . . . , λnn+ 1 scalaires et α06= 0 D’où
∀k∈[[1, n + 1]], yk−αk
α0
y0∈V ect(x1, . . . , xn
| {z }
F
)
Et donc d’après P(n)la famille de n+ 1 vecteurs (y1−α1
α0y0, . . . , yn+1 −αn+1 α0y0)est liée.
On peut donc trouver µ1, . . . , µn+1 non tous nuls tel que
n+1
X
k=1
µk(yk−αk
α0
y0) = 0
Soit Ã−Pn+1
k=1 αkµk
α0!y0+
n+1
X
k=1
µkyk= 0
où les coefficients : −Pn+1
k=1 αkµk
α0, µ1, . . . , µn+1 sont non tous nuls... CQFD
•Conclusion : On a donc montré par récurrence.... •
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