La loi de correspondance de Langlands enfin démontrée

A28
Maths-2000
La loi de correspondance de Langlands enfin démontrée
La correspondance de Langlands est un programme ambitieux
élaboré à la fin des années 60 qui sous-tend de nombreuses
recherches en arithmétique et en géométrie algébrique. Une avancée
spectaculaire dans cette direction a été accomplie au Laboratoire de
Mathématique en 2000.
La loi classique de réciprocité quadratique de Carl Friedrich
Gauss compare des relations entre deux nombres premiers distincts p et
q. Elle relie l'existence (ou la non-existence) d'entiers x, tels que x2 -p
soit divisible par q, à l'existence d'entiers y tels que y2 -q soit divisible
par p. Au cours des XIXe et XXe siècles, des lois similaires ont vu le
jour. De plus en plus générales, elles s'appliquent à des équations de
degré supérieur à 2 et nécessitent, pour leur formulation, de remplacer
les nombres rationnels et entiers par des éléments des corps de nombres
et de leurs anneaux d'entiers. Elles partagent le caractère de la loi de
réciprocité, qui est de relier deux informations apparemment sans
rapport l'une avec l'autre.
En 1967, le mathématicien canadien Robert Langlands a
imaginé un programme ambitieux qui englobe les lois de réciprocité
connues. Parmi les notions qui entrent dans la vision de Langlands
figurent le groupe de Galois (ensemble des symétries d'une équation),
les adèles (nombres idéaux qui incorporent toutes les manières
possibles de compléter les nombres rationnels), les fonctions L (qui
généralisent la fameuse fonction zeta de Riemann), les formes
automorphes (fonctions caractérisées par des conditions d'invariance et
de croissance). La loi conjecturée par Langlands consiste à dire qu'un
objet algébrique (représentation linéaire d'un groupe de Galois) et un
objet analytique (représentation linéaire de dimension infinie d'un
groupe de matrices à coefficients adéliques liée à une forme
automorphe) ont la même fonction L.
Le programme de Langlands organise toute une branche des
recherches en arithmétique. Il a donné lieu à de nombreux travaux, mais
seuls des résultats très partiels ont été obtenus. Néanmoins, parmi les
conséquences de ces derniers figure la preuve du théorème de Fermat
par Andrew Wiles en 1994.
En 2000, Laurent Lafforgue du Laboratoire de Mathématique
d’Orsay a démontré une version géométrique de la loi de
correspondance de Langlands, dans laquelle les nombres sont remplacés
par des fonctions sur une courbe. C'est un feu d'artifice où fusent
géométrie, analyse, algèbre et arithmétique, qui a valu à Laurent
Lafforgue la Médaille Fields (équivalent en mathématiques du prix
Nobel) en 2002. Ces résultats marquent sans conteste une étape majeure
en mathématique.
Découverte due à L. Lafforgue [AB1], [AB2]
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Références :
[AB1] L. Lafforgue, Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'ArthurSelberg et correspondance de Langlands. Proceedings of the
International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002),
Higher Ed. Press, Beijing (2002) 383.
[AB2] Mashaal, Maurice, De Langlands à Lafforgue. Lettre du SPM
40, CNRS (novembre 2002) 5
http://www.spm.cnrsdir.fr/actions/publications/lettres/lettres2002.htm#
L40