1°) Vocabulaire - Maths M. Chenivesse

Chapitre : probabilités
1°) Loi de probabilité sur un ensemble fini
On appelle expérience aléatoire une expérience faisant apparaître au hasard des résultats.
définition
E = {x1, x2, …..,xn} est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. ( E est l’ univers)
Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi positif ou nul de
telle façon que p1 + p2 + ….. + pn = 1.
Le nombre pi est appelé probabilité de l’issue xi.
exemple 1 : Une urne contient 6 boules (indiscernables au toucher) numérotées de 1 à 6.On tire au hasard une
boule : c’est une expérience aléatoire.
On modélise cette expérience en lui associant la loi de probabilité :
issue
1
2
3
4
5
6
probabilité
exemple 2 : On lance un dé qui a une face 1, deux faces 2 et trois faces 3. Modéliser cette expérience en lui
associant une la loi de probabilité
issue
1
2
3
probabilité
Remarque : dans l’exemple 1, toutes les probabilités sont égales : on est dans une situation d’équiprobabilité.
On dit alors que la loi est équirépartie.
Dans ce cas, la probabilité d’une issue est
n
1
où n est le nombre total d’issues.
théorème
Loi des grands nombres :
Pour une expérience donnée, réalisée sur une grande série, la distribution des fréquences se
rapproche de la loi de probabilité.
exemple 3:
En lançant un dé pipé ( ou truqué ) 1000 fois, on a obtenu les résultats suivants :
face
1
2
3
4
5
6
pourcentage
15%
15%
15%
15%
15%
25%
Déterminer la loi de probabilité associé à cette expérience :
face
1
2
3
4
5
6
probabilité
Simulation d'une expérience aléatoire à la calculatrice :
On va utiliser la fonction randomize ( générateur de nombre aléatoire d'un calculatrice ).
On va simuler un lancé de dés puis on va afficher le fréquence d'apparition du nombre 6.
Programme: voir page 18 du livre
Variables : n , k, S et I des nombres entiers
Début :
Demander n
S prend la valeur 0.
Pour I allant de 1 à n
faire :
k prend la valeur troncature de 6 × random + 1
si k = 6 alors S prend la valeur S + 1
fin faire
Afficher la fréquence S/n
Fin

2°) Évènements
définition
E est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire, muni d’une loi de probabilité.
Un événement A est une partie de E.
exemple : On considère l’exemple 1 ( tirage d’une boule dans une urne).
– Si A est l’événement : « la face est paire »,
A = { ; ; }.
 B est l’événement : « la face est un multiple de 3 »,
B = { }.
définition
Soient A et B deux événements.
 L’événement « A et B », noté A  B, est constitué des issues qui réalisent à la fois
A et B. On dira aussi A inter B.
 L’événement « A ou B », noté A  B, est constitué des issues qui réalisent au
moins un des événements A ou B.
 L’événement contraire de A, noté
A
, est constitué des issues qui ne réalisent pas
A.
 Les événements A et B sont incompatibles s’ils n’ont aucune issue en commun :
A  B = . (On dit aussi qu’ils sont disjoints.)
 On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Soient C et K les événements suivants :
B : « la carte est un cœur. » K : « la carte est un roi .»
Quels sont les évènements B  K : B  K :
B
pas B  K ; pas B  K ?
3°) Calcul de probabilités
définition avec A est un événement :
La probabilité de A, notée p(A) est la somme des probabilités des issues qui réalisent A. est appelé
événement impossible : p() = 0.
 E est appelé événement certain : p(E) = 1.
 Un événement constitué d’une seule issue est un événement élémentaire.
 0  p(A)  1.
exemple : On considère la loi de probabilité du dé pipé ci-dessus.
– Si A est l’événement : « la face est paire », p(A) =
– B est l’événement : « la face est un multiple de 3 », p(B) =
théorème
Loi de Laplace :
Dans le cas d’une loi équiprobable, la probabilité d’un événement A est :
p(A) =
Edeélémentsdnombre Adeélémentsdnombre ''
=
possiblescasdenombre
favorablescasdenombre
exemple suite : On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. A : « la carte est le roi de cœur. »
C : « la carte est un cœur. » K : « la carte est un roi .»
Alors : p(A) = , p(C) = , p(K) = p(C p (
C
) = ; p (
K
) =
théorème
 p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
 p(
A
) = 1 – p(A)
 Si A et B sont incompatibles, p(A  B) = p(A) + p(B).