Chapitre : probabilités 1°) Loi de probabilité sur un ensemble fini On appelle expérience aléatoire une expérience faisant apparaître au hasard des résultats. définition E = {x1, x2, …..,xn} est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. ( E est l’ univers) Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi positif ou nul de telle façon que p1 + p2 + ….. + pn = 1. Le nombre pi est appelé probabilité de l’issue xi. exemple 1 : Une urne contient 6 boules (indiscernables au toucher) numérotées de 1 à 6.On tire au hasard une boule : c’est une expérience aléatoire. On modélise cette expérience en lui associant la loi de probabilité : issue 1 2 3 4 5 6 probabilité exemple 2 : On lance un dé qui a une face 1, deux faces 2 et trois faces 3. Modéliser cette expérience en lui associant une la loi de probabilité issue 1 2 3 probabilité Remarque : dans l’exemple 1, toutes les probabilités sont égales : on est dans une situation d’équiprobabilité. On dit alors que la loi est équirépartie. Dans ce cas, la probabilité d’une issue est théorème 1 où n est le nombre total d’issues. n Loi des grands nombres : Pour une expérience donnée, réalisée sur une grande série, la distribution des fréquences se rapproche de la loi de probabilité. exemple 3: En lançant un dé pipé ( ou truqué ) 1000 fois, on a obtenu les résultats suivants : face pourcentage 1 2 3 4 5 6 15% 15% 15% 15% 15% 25% Déterminer la loi de probabilité associé à cette expérience : face 1 2 3 4 5 6 probabilité Simulation d'une expérience aléatoire à la calculatrice : On va utiliser la fonction randomize ( générateur de nombre aléatoire d'un calculatrice ). On va simuler un lancé de dés puis on va afficher le fréquence d'apparition du nombre 6. Programme: Variables : n , k, S et I des nombres entiers Début : Demander n S prend la valeur 0. Pour I allant de 1 à n faire : k prend la valeur troncature de 6 × random + 1 si k = 6 alors S prend la valeur S + 1 fin faire Afficher la fréquence S/n Fin voir page 18 du livre 2°) Évènements définition E est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire, muni d’une loi de probabilité. Un événement A est une partie de E. exemple : On considère l’exemple 1 ( tirage d’une boule dans une urne). – Si A est l’événement : « la face est paire », A = { ; ; }. B est l’événement : « la face est un multiple de 3 », B={ }. définition Soient A et B deux événements. L’événement « A et B », noté A B, est constitué des issues qui réalisent à la fois A et B. On dira aussi A inter B. L’événement « A ou B », noté A B, est constitué des issues qui réalisent au moins un des événements A ou B. L’événement contraire de A, noté A , est constitué des issues qui ne réalisent pas A. Les événements A et B sont incompatibles s’ils n’ont aucune issue en commun : A B = . (On dit aussi qu’ils sont disjoints.) On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Soient C et K les événements suivants : B : « la carte est un cœur. » K : « la carte est un roi .» Quels sont les évènements B K : B K : B pas B K ; pas B K ? 3°) Calcul de probabilités définition avec A est un événement : La probabilité de A, notée p(A) est la somme des probabilités des issues qui réalisent A. est appelé événement impossible : p() = 0. E est appelé événement certain : p(E) = 1. Un événement constitué d’une seule issue est un événement élémentaire. 0 p(A) 1. exemple : On considère la loi de probabilité du dé pipé ci-dessus. – Si A est l’événement : « la face est paire », p(A) = – B est l’événement : « la face est un multiple de 3 », p(B) = théorème Loi de Laplace : Dans le cas d’une loi équiprobable, la probabilité d’un événement A est : nombre d 'éléments de A nombre de cas favorables p(A) = nombre = d 'éléments de E nombre de cas possibles exemple suite : On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. A : « la carte est le roi de cœur. » C : « la carte est un cœur. » K : « la carte est un roi .» Alors : p(A) = , p(C) = , p(K) = p(C p ( C ) = ;p( K )= théorème p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) p( A ) = 1 – p(A) Si A et B sont incompatibles, p(A B) = p(A) + p(B).