Correction DM PGCD - lesiteduprofdemath

Correction DM PGCD
EXERCICE – 1 On peut aussi présenter sous forme de tableau
PGCD ( 675 ; 131) = PGCD(131 ;20) 675 = 5 x 131 + 20
= PGCD (20 ;11) 131 = 6 x 20 + 11
= PGCD (11 ;9) 20 = 1 x 11 + 9
= PGCD(9 ;2) 11 = 1 x 9 + 2
= PGCD(2 ;1) 9 = 4 x 2 + 1
= 1 2 = 2 x 1 + 0
PGCD (2076 ; 6055 ) = PGCD (2076 ; 1903) 6055=2x2076+1903
= PGCD (1903 ; 173) 2076=1x1903 + 173
= 173 1903=11x173 + 0
PGCD(3757 ; 68782) = 289 ( Par l’algorithme d’Euclide ) . La fraction 3 757 / 68 782 est donc simplifiable par 289.
On trouve 13 / 238
EXERCICE – 2 Les 224 paysages et les 288 portraits sont partagés en un certain nombre ( le nombre de panneaux
cherché). Ce nombre est donc un diviseur de 224 et de 288. On cherche le plus grand nombre de panneau, donc on
cherche le plus grand diviseur commun à 224 et 288. C’est le PGCD.
L’algorithme d’Euclide donne PGCD(224 ;288) = 32
On peut donc faire 32 panneaux au maximum contenant chacun 224/32 = 7 paysages et 288/32 = 9 portraits
Les autres nombres possibles de panneaux sont les diviseurs communs à 224 et 288
Diviseurs: 224 112 56 32 28 16 288 144 96 72 48 36 32 24 18
1 2 4 7 8 14 1 2 3 4 6 8 9 12 16
On peut donc faire 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 panneaux
EXERCICE – 3 Page 20 n°54 Le téléphone de Laura sonne au bout de 15 mn , puis 30 mn , puis 45 mn , … tous les
multiples de 15. Pour celui d’ Anna c’est 12 mn , 24 mn , 36 mn , … tous les multiples de 12.
On cherche donc le premier multiple commun à 15 et 12 : le PPCM
Multiple : 15 15 , 30 , 45 , 60 , 75 12 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72
diviseur
dividende
Quotient
reste
675
131
5
20
131
20
6
11
20
11
1
9
11
9
1
2
9
2
4
1
2
1
2
0
diviseur
dividende
Quotient
reste
6055
2076
2
1903
2076
1903
1
173
1903
173
11
0

Le PPCM est 60. Donc au bout d’une heure, les deux téléphones sonneront en même temps.
EXERCICE – 4 Page 24 n°94 Les joueurs se partagent 180 et 170 jetons. Le nombre de joueurs divisent donc 180 et 170.
On cherche ainsi les diviseurs communs à 180 et 170
180 90 60 45 36 30 20 18 15 170 85 34 17 il peut y avoir 2 , 5 , 10 joueurs
1 2 3 4 5 6 9 10 12 1 2 5 10