M7. Force centrale conservative. Mouvement newtonien.

¤ PCSI ¤
M7. Force centrale conservative.
Mouvement newtonien.
M7.1. Mouvement hyperbolique d'un satellite artificiel.
Un satellite artificiel A, de masse m = 2000 kg, est placé sur une orbite circulaire d'attente, de rayon ro = R + h
autour de la Terre (h = 180 km). Lorsque le satellite atteint un point M de cette trajectoire, on lui communique
un excédent de vitesse. La nouvelle vitesse v1 est tangente à l'orbite circulaire et vaut 14 km/s.
1. Exprimer, en fonction de ro, la valeur vo de la vitesse lorsque le satellite est sur son orbite d'attente.
Calculer numériquement vo ainsi que l’énergie mécanique.
2. Montrer que la nouvelle trajectoire est contenue dans un plan que l'on déterminera et calculer la
nouvelle valeur de l'énergie.
3. Etablir que l'équation de la trajectoire s'écrit dans ce plan : r = p/ (1 + e cos), e et p étant deux
constantes dont on donnera la signification, r la coordonnée radiale et  l'angle que fait le rayon
vecteur avec le rayon vecteur initial.
4. Exprimer p en fonction du moment cinétique et calculer sa valeur. En déduire e.
Données :
Rayon de la Terre ro = 6400 km ; masse de la Terre M = 6.1024 kg ;
Constante de la gravitation G = 6,67.10-11SI.
M7.2. Satellites.
Un satellite artificiel A, de masse m, décrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayon r.
1. Expliquer pourquoi le mouvement est uniforme.
2. Déterminer, en fonction de r, la vitesse du satellite ainsi que sa période de révolution.
3. Trouver, en fonction de r, l'énergie cinétique Ec, l'énergie potentielle Ep et l'énergie mécanique Em
(on adoptera comme origine de Ep sa valeur lorsque r est infini). Tracer les graphes Ec(r), Ep(r) et
Em(r).
4. Quelle est l'énergie potentielle de A au sol? Quelle est son énergie cinétique lorsqu'il repose sans
vitesse en un point du sol de latitude ?
Le satellite A est sur une orbite géostationnaire.
5. Montrer qu'un tel satellite doit être contenu dans le plan équatorial terrestre et trouver la valeur rs du
rayon de l'orbite. En déduire sa vitesse.
6. Donner l'expression, en fonction de r et , de l'énergie nécessaire pour placer ce satellite sur une telle
orbite.
M7.3. Position d'une base de lancement.
Un satellite est placé sur une orbite circulaire de rayon a contenue dans le plan équatorial.
1. Déterminer les énergies potentielle Ep, cinétique Ec et totale Et du satellite.
2. Avant d'être placé sur son orbite, le satellite est posé sur le sol, en un point P de latitude. Sa vitesse
est la vitesse d'entraînement Ve due à la rotation de la Terre, supposée sphérique et de rayon R.
Déterminer l'expression de Ve en fonction de T, vitesse angulaire de rotation de la Terre, R et .
Déterminer les énergies potentielle Ep', cinétique Ec' et totale Et' du satellite au point P.
3. Pour placer le satellite sur son orbite, il faut lui fournir l'énergie: E = Et - Et'. Montrer que E varie
avec  (on distinguera les deux sens possibles de rotation du satellite sur son orbite). Où doit-on
choisir les bases de lancement, et quel sens de rotation doit-on donner au satellite, pour que l'énergie
E soit minimale?
M7.4. Chute d’un météorite.
Un météorite, de masse m, a, très loin de la Terre, une vitesse vo de module vo portée par une droite  située à
une distance b du centre O de la Terre. On suppose que le météorite est soumis uniquement au champ
gravitationnel terrestre et qu’il n’y a jamais de forces de frottement. Soit A le point de la trajectoire tel que la
distance Terre-météorite soit minimale. On note OA = d. On supposera que la Terre reste immobile dans un
référentiel galiléen.
On veut déterminer à partir de quelle valeur de b le météorite s’écrasera sur la Terre. On notera G la constante
de gravitation, M la masse de la Terre, supposée sphérique, homogène, de masse volumique , de rayon R.
1. Donner l’expression de la force de gravitation en un point P de la trajectoire tel que
OP  r . Calculer l’énergie potentielle Ep(r) du météorite en ce point.
On prendra Ep() = 0.
2. Quelles sont les grandeurs physiques conservées au cours du mouvement ? On donnera une
justification. En déduire que la trajectoire est plane.
3. Donner l’expression de la vitesse en coordonnées polaires. Montrer qu'en A, point de la trajectoire le
plus proche de O, la vitesse v1 (de norme v1) est orthogonale à OA.
4. En explicitant la question 2), trouver deux relations liant b, d, G, M, vo, v1.
5. En déduire l'expression de d en fonction de G, M, b, vo.
6. Soit R le rayon de la Terre. Quelle condition doit satisfaire b pour que le météorite de vitesse initiale
vo rencontre la Terre ?
7. Application numérique: Calculer la valeur maximum de b qui satisfait à la condition énoncée en 6)
pour une valeur donnée vo de la vitesse à grande distance de la Terre.
G = 6,67. 10-11 S.l.  = 5,52. 103 kg.m-3. M = 5,98.1024 kg. vo= 11.103 m.s-1