M11.1. Mouvement hyperbolique d`un satellite artificiel.

PCSI.
M7. Force centrale conservative.
Mouvement newtonien.
M11.1. Mouvement hyperbolique d'un satellite artificiel.
Un satellite artificiel A, de masse m = 2000 kg, est placé sur une orbite circulaire d'attente, de
rayon
ro = R + h autour de la Terre ( h = 180 km ). Lorsque le satellite atteint un point M de cette
trajectoire, on lui communique un excédent de vitesse. La nouvelle vitesse v1 est tangente à l'orbite
circulaire et vaut 14 km/s.
1. Exprimer, en fonction de ro, la valeur vo de la vitesse lorsque le satellite est sur son orbite
d'attente. Calculer numériquement vo ainsi que l’énergie mécanique.
2. Montrer que la nouvelle trajectoire est contenue dans un plan que l'on déterminera et
calculer la nouvelle valeur de l'énergie.
3. Etablir que l'équation de la trajectoire s'écrit dans ce plan : r = p/(1 + e cos), e et p étant
deux constantes dont on donnera la signification, r la coordonnée radiale et  l'angle que
fait le rayon vecteur avec le rayon vecteur initial.
4. Exprimer p en fonction du moment cinétique et calculer sa valeur. En déduire e.
Données : Rayon de la Terre ro = 6400 km ; masse de la Terre R = 6.1024 kg ; constante de la
gravitation G = 6,67.10-11SI.
M11.2. Satellites.
Un satellite artificiel A, de masse m, décrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayon r.
1. Expliquer pourquoi le mouvement est uniforme.
2. Déterminer, en fonction de r, la vitesse du satellite ainsi que sa période de révolution.
3. Trouver, en fonction de r, l'énergie cinétique Ec, l'énergie potentielle Ep et l'énergie
mécanique Em (on adoptera comme origine de Ep sa valeur lorsque r est infini). Tracer les
graphes Ec(r), Ep(r) et Em(r).
4. Quelle est l'énergie potentielle de A au sol? Quelle est son énergie cinétique lorsqu'il repose
sans vitesse en un point du sol de latitude ?
Le satellite A est sur une orbite géostationnaire.
5. Montrer qu'un tel satellite doit être contenu dans le plan équatorial terrestre et trouver la
valeur rs du rayon de l'orbite. En déduire sa vitesse.
6. Donner l'expression, en fonction de r et , de l'énergie nécessaire pour placer ce satellite
sur une telle orbite.
M11.3. Position d'une base de lancement.
Un satellite est placé sur une orbite circulaire de rayon a contenue dans le plan équatorial.
1. Déterminer les énergies potentielle Ep, cinétique Ec et totale Et du satellite.
2. Avant d'être placé sur son orbite, le satellite est posé sur le sol, en un point P de latitude .
Sa vitesse est la vitesse d'entraînement Ve due à la rotation de la Terre, supposée
sphérique et de rayon R.
Déterminer l'expression de Ve en fonction de T, vitesse angulaire de rotation de la Terre,
R et .
Déterminer les énergies potentielle Ep', cinétique Ec' et totale Et' du satellite au point P.
3. Pour placer le satellite sur son orbite, il faut lui fournir l'énergie: E = Et - Et'. Montrer que
E varie avec  (on distinguera les deux sens possibles de rotation du satellite sur son
orbite). Où doit-on choisir les bases de lancement, et quel sens de rotation doit-on donner
au satellite, pour que l'énergie E soit minimale?